Analysis I - lernen mit Serlo!

Teilaufgabe a)

Wir untersuchen die Symmetrie des Graphen auf Punktsymmetrie, indem wir für $x$ , $- x$ einsetzen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot e^{-0{,}5x^2}$
$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle 2(-x)\cdot e^{-0{,}5(-x)^2}$
	↓	Beim Quadrieren bleibt der Term immer Positiv.
	$=$	$\displaystyle 2(-x)\cdot e^{-0{,}5x^2}$
	$=$	$\displaystyle -2x\cdot e^{-0{,}5x^2}$
	$=$	$\displaystyle -f\left(x\right)$

Außerdem bestimmen wir den Grenzwert gegen $+\infty$ :

$\displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\;2x\cdot e^{-0{,}5x^2}$
	↓	Forme die Potenz um.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{2x}{e^{0{,}5x^2}}$
	↓	Zähler und Nenner gehen jeweils gegen $+\infty$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{\overbrace{\;2x\;}^{+\infty}}{\underbrace{e^{0{,}5x^2}}_{+\infty}}$
	↓	Wegen der e-Funktion wächst der Nenner jedoch viel schneller und somit geht die Funktion insgesamt gegen null.
	$=$	$\displaystyle 0$

Teilaufgabe b)

Die Extrema der Funktion werden durch das Bilden und Nullsetzen der 1. Ableitung bestimmt.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(2x\cdot e^{-0{,}5x^2}\right)'$
	↓	Wende dafür die Produktregel an. Achte dabei darauf, bei der e-Funktion die Kettenregel anzuwenden.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-0{,}5x^2}+2x\cdot e^{-0{,}5x^2}\cdot(-x)$
	↓	Faktorisiere, um auf das Zwischenergebnis zu kommen.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-0{,}5x^2}\cdot(1-x^2)$
	↓	Setze die Ableitungsfunktion Null um die Extrema zu berechnen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-0{,}5x^2}\cdot(1-x^2)$
	↓	Da die e-Funktion keine Nullstellen hat, muss nur der zweite Faktor null werden.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-x^2$	$\displaystyle +x^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \pm 1$

Setze in $f (x)$ ein, um die dazugehörigen Funktionswerte zu erhalten: $f(1)=2\cdot e^{-0{,}5}=\frac{2}{\sqrt{e}}$

Nach Aufgabenstellung ist dies der Punkt des Hochpunkts: $H(1|\frac{2}{\sqrt{e}})$

Auf dieselbe Weise erhalten wir: $T\left(-1\vert-\frac2{\sqrt e}\right)$

Teilaufgabe c)

Änderungsrate

Für die mittlere Änderungsrate musst du die Steigung zwischen den beiden Punkten der Intervalle berechnen:

$m_{s}$ von $f$ im Intervall $[- 0,5; 0,5]$

$\displaystyle m_s$	$=$	$\displaystyle \frac{f\left(0{,}5\right)-f(-0{,}5)}{0{,}5-(-0{,}5)}$
	↓	Setze die Werte in die Funktion ein und fasse zusammen.
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}76$

Um die lokale Änderungsrate an der Stelle $x_{0} = 0$ zu berechnen, setze $0$ in die Ableitung $f^{'}$ ein:

$\displaystyle f'\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-0{,}5\cdot0^2}\cdot(1-0^2)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2$
	$=$	$\displaystyle m_T$

Berechne den prozentualen Anteil:

\displaystyle \frac{m_S}{m_T}=\frac{1{,}765}2=0{,}882\;\;\widehat{=\;}\;88{,}2\%

Daher ist die prozentuale Abweichung $100\%-88{,}2\%=11{,}8\%$ .

Teilaufgabe d)

Wir überprüfen die Integralfunktion:

\displaystyle f\left(x\right)=2x\cdot e^{-0{,}5x^2}

\displaystyle A(u)=2-2e^{-0{,}5\cdot u^2}

Das Integral beschreibt die Fläche zwischen der x-Achse und einem Graphen. Du müsstest das bestimmte Integral im Intervall $[0; u]$ berechnen und hierfür die Stammfunktion von $f (x)$ herausfinden. Da jedoch in der Aufgabenstellung nur verlangt ist, dass man zeigt, ob $A (u)$ diese Fläche beschreibt, ist es ausreichend nachzuweisen, ob die angegebene Funktion $A (u)$ tatsächlich die Stammfunktion $F (u)$ von der Funktion $f (u)$ ist.

Leite die Funktion $A (u)$ ab.

$\displaystyle A(u)'$	$=$	$\displaystyle \left(2-2e^{-0{,}5\cdot u^2}\right)'$
	↓	Wende die Kettenregel an
	$=$	$\displaystyle -2e^{-0{,}5\cdot u^2}\cdot(-u)$
	$=$	$\displaystyle 2u\cdot e^{-0{,}5\cdot u^2}$
	$=$	$\displaystyle f(u)$

Bestimmte den Grenzwert gegen $+\infty$ .

$\displaystyle \displaystyle\lim_{u\rightarrow\infty}\;A(u)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-2\cdot e^{-0{,}5u^2}$
	↓	Forme die Potenz um.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-\frac{2}{e^{0{,}5u^2}}$
	↓	Der Bruch geht gegen $0$ .
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-\frac{2}{\underbrace{e^{0{,}5u^2}}_{+\infty}}$
	↓	Somit geht die Funktion gegen 2.
	$=$	$\displaystyle 2$

Die Fläche unterhalb des Graphen nimmt immer zu, wird jedoch nie größer oder gleich $2\;\text{FE}$ .

Teilaufgabe e)

Gefragt ist nach der Fläche zwischen den beiden Graphen. Zunächst benötigt man die Grenzen der Integration, welche durch die Schnittpunkte der Funktionen gegeben sind.

\displaystyle h:y=\frac2{e^2}\cdot x

\displaystyle f(x)=2x\cdot e^{-0{,}5x^2}

Berechne die Schnittpunkte der Funktionen:

$\displaystyle \dfrac2{e^2}\cdot x$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot e^{-0{,}5x^2}$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \dfrac1{e^2}\cdot x$	$=$	$\displaystyle x\cdot e^{-0{,}5x^2}$	$\displaystyle -\dfrac x{e^2}$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\cdot e^{-0{,}5x^2}-\dfrac x{e^2}$
	↓	Faktorisiere die Gleichung.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(e^{-0{,}5x^2}-\dfrac1{e^2}\right)$
	↓	Der erste Faktor wird für $x = 0$ null.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$

Der zweite Faktor wird ebenfalls null gesetzt, um eine weitere Lösung zu finden:

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \dfrac1{e^{0{,}5x^2}}-\dfrac1{e^2}$
	↓	Dafür muss nur die Potenz des ersten Zählers $2$ werden, da $\dfrac1{e^2}-\dfrac1{e^2}=0$ .
$\displaystyle \textstyle0{,}5x^2$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :0{,}5$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle \textstyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

Zeichne die Gerade h.

Gesucht ist noch die Fläche $B$ . Dafür kannst du die Fläche, die die Gerade $h$ im Intervall $[0,2]$ mit der $x$ -Achse einschließt (die in der Zeichnung oben markierte Fläche) von der Fläche abziehen, die die Funktion $f$ im Intervall $[0,2]$ mit der $x$ -Achse einschließt ( $A (u)$ aus Teilaufgabe (d)).

\displaystyle \boldsymbol B=A{(2)}-\int_0^2(h{(x)})\;dx

Finde die Stammfunktion von $h (x)$ heraus.

$\displaystyle A{(2)}-\int_0^2(h{(x)})\;dx$	$=$	$\displaystyle 2-2e^{-0{,}5\cdot2^2}-\left[\dfrac{x^2}{e^2}\right]_0^2$
	$=$	$\displaystyle 2-2e^{-0{,}5\cdot2^2}-\left(\dfrac4{e^2}-\dfrac0{e^2}\right)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2-\dfrac{6}{e^2}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}19~\mathrm{FE}$