Stelle zunächst die Gerade $ABAB$ auf. Die allgemeine Geradengleichung in der analystischen Geometrie lässt sich schreiben als

Dabei ist $\overrightarrow{p}\backslash overrightarrow\{p\}$ der Ortsvektor und $\overrightarrow{u}\backslash overrightarrow\{u\}$ der Richtungsvektor der Geraden.

Bestimme den Richtungsvektor der Geradengleichung, also $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$ ($\overrightarrow{BA}\backslash overrightarrow\{BA\}$ funktioniert auch).

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}6\\ 1\\ -12\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ -8\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{AB\}\; =\; \backslash overrightarrow\{B\}\; -\; \backslash overrightarrow\{A\}\; =\backslash begin\{pmatrix\}6\backslash \backslash 1\backslash \backslash -12\backslash end\{pmatrix\}\; -\; \backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash 1\backslash \backslash -4\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}4\backslash \backslash 0\backslash \backslash -8\backslash end\{pmatrix\}$

Als Ortsvektor der Geradengleichung kannst du $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ oder $\overrightarrow{B}\backslash overrightarrow\{B\}$ nehmen (hier wird $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ verwendet). Du erhältst dann die folgende Geradengleichung:

Setze jetzt den Ortsvektor des Punkts $CC$ für $\overrightarrow{x}\backslash overrightarrow\{x\}$ ein, um zu prüfen, ob $CC$ auf der Geraden liegt:

Jetzt erhältst du die folgenden drei Gleichungen, die du nach $\lambda \backslash lambda$ auflösen kannst:

$-2=\lambda \cdot 4⟹\lambda =-\frac{1}{2}-2=\backslash lambda\backslash cdot\; 4\backslash Longrightarrow\backslash lambda=-\backslash frac\{1\}\{2\}$

$0=\lambda \cdot 00=\backslash lambda\backslash cdot\; 0$

$4=\lambda \cdot (-8)⟹\lambda =-\frac{1}{2}4=\backslash lambda\backslash cdot(-8)\backslash Longrightarrow\backslash lambda=-\backslash frac\{1\}\{2\}$

Die drei Gleichungen sind für $\lambda =-\frac{1}{2}\backslash lambda=-\backslash frac\{1\}\{2\}$ erfüllt und somit liegt $CC$ auf der Geraden $ABAB$.

Setzt man nun $AA$ und $BB$ in die Geradengleichung ein, stellt man fest, dass für $AA$ $\lambda =0\backslash lambda=0$ und für $BB$ $\lambda =1\backslash lambda=1$.Es liegen also nur Punkte mit $\lambda \in [0;1]\backslash lambda\backslash in[0;1]$ auf der Strecke $[AB][AB]$. Da für $CC$ $\lambda =-\frac{1}{2}\backslash lambda=-\backslash frac\{1\}\{2\}$, liegt $CC$ nicht auf der Strecke $[AB][AB]$.

Du kannst zunächst zur Veranschaulichung eine Skizze wie die nebenstehende zeichnen. Aus Teilaufgabe a) weißt du schon, dass für den Punkt $AA$ auf der Geraden $ABAB$ $\lambda =0\backslash lambda=0$ und für $BB$ $\lambda =1\backslash lambda=1$. Da $DD$ dreimal so weit von $BB$ entfernt ist wie von $AA$, ist für den Punkt $DD$ $\lambda =\frac{1}{4}\backslash lambda=\backslash frac\{1\}\{4\}$.

Setze $\lambda =\frac{1}{4}\backslash lambda=\backslash frac\{1\}\{4\}$ in die Geradengleichung $ABAB$ ein, um $\overrightarrow{D}\backslash overrightarrow\{D\}$ zu erhalten:

$⟹\backslash Longrightarrow$ $DD$ hat die Koordinaten $(3\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }-6)(3|1|-6)$.