Geometrie I - lernen mit Serlo!

Teilaufgabe f)

\displaystyle V=\overline{AB}\cdot\overline{AP}\cdot h

Berechnen die Länge der Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AP}$ . Die Höhe steht in der Angabe.

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 10\cdot28\cdot6$
	$=$	$\displaystyle 1680 ~\text{VE}$
	↓	1LE $\widehat=$ 0,1m
	$=$	$\displaystyle 1{,}68m^3$

Teilaufgabe g)

Gesucht ist die Geradengleichung zu $h$ .

Da die Gerade durch die Punkte $H$ und den (Schnitt-)Mittelpunkt $M$ der Diagonalen $[A Q]$ und $[B P]$ verläuft, musst du erst den Mittelpunkt herausfinden.

$\displaystyle \overset\rightharpoonup M$	$=$	$\displaystyle \frac12\left(\overset\rightharpoonup B+\overset\rightharpoonup P\right)$
	↓	Setze die Ortsvektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac12\begin{pmatrix}28\\10\\0\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}14\\5\\0\end{pmatrix}$

Berechne den Richtungsvektor $\overset\rightharpoonup{HM}$ :

$\overset\rightharpoonup{HM\;}=\begin{pmatrix}14-11\\5-3\\0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}$

Stelle die Geradengleichung auf:

$h:\;\overset\rightharpoonup X=\begin{pmatrix}11\\3\\6\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}$

Die Bohrung endet in einem Endpunkt $E$ :

Bestimme zuerst die Entfernung des Endpunktes $E$ vom Punkt $H$ . Aus der Aufgabe ist zu entnehmen, dass die Stange 1,4m lang ist und zu drei Viertel aus der Deckfläche herausragt. Somit liegt sie um ein Viertel in der Bohrung drinnen.

\displaystyle \overline{HE}=\frac14m=\frac7{20}m=0{,}35m

Wenn du den Einheitsvektor als Richtungsvektor nimmst, kannst du vom Punkt $H$ aus 3,5 mal diesen Vektor gehen um auf den Punkt $E$ zu gelangen.

$\overset\rightharpoonup{HM\;}^o=\frac{\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}}{\left|\overset\rightharpoonup{HM}\right|}$

Berechne die Länge des Vektors $\overset\rightharpoonup{HM}$ .

$\overset\rightharpoonup{HM\;}^o=\frac{\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}}{\sqrt{3^2+2^2+\left(-6\right)^2}}=\frac{\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}}7$

Berechne die Koordinaten der Punkts $E$ :

$\displaystyle \overset\rightharpoonup E$	$=$	$\displaystyle \overset\rightharpoonup H+3{,}5\cdot\overset\rightharpoonup{HM}^o$
	↓	Setze ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}11\\3\\6\end{pmatrix}+3{,}5\cdot\frac17\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}12{,}5\\4\\3\end{pmatrix}$

\displaystyle E\left(12{,}5\vert4\vert3\right)

Teilaufgabe f)

Teilaufgabe g)

Teilaufgabe h)