Geometrie I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Teilaufgabe a)

Koordinaten des Punkts C

Um die Koordinaten des Punktes C herauszufinden kannst du vom Ursprung nach $D$ und von $D$ nach $C$ mit dem Vektor $\overset\rightharpoonup{DC}$ gehen. Addiere den Vektor $\overset\rightharpoonup D\;$ mit $\overset\rightharpoonup{DC}$ .

$\displaystyle \overrightarrow{D}+\overrightarrow{DC}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{C}$
	↓	Der Vektor $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$
$\displaystyle \overrightarrow{D}+\overrightarrow{AB}$	$=$	$\displaystyle \overrightarrow{C}$

Berechne den Vektor $\overset\rightharpoonup{AB}$ .

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Setze $\overset\rightharpoonup{AB}$ in die obere Gleichung ein

$\displaystyle \overrightarrow{D}+\overrightarrow{AB}$	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{pmatrix}\begin{array}{c}20\\0\end{array}\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\\0\end{array}\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}20\\10\\6\end{pmatrix}$

$C\left(20\vert10\vert6\right)$

$ABCD$ = Quadrat $?$

Zeige, dass die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AD}$ senkrecht aufeinander liegen und gleichlang sind, um nachzuweisen, dass $ABCD$ ein Quadrat ist.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Das Skalarprodukt von zwei senkrecht aufeinander liegenden Vektoren muss $0$ sein.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Berechne den Betrag der Vektoren:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Die Seitenfläche $ABCD$ ergeben ein Quadrat.

Teilaufgabe b)

Ebene E=? in Normalenform:

Um eine Ebenenleichung in der Normalenform aufzustellen brauchst du zunächst einen Normalenvektor, den du aus zwei Vektoren aus der Ebene berechnest.Nehme $\overset\rightharpoonup{AB}$ und $\overset\rightharpoonup{AD}$ als Richtungsvektoren.Der Normalenvektor $\overset\rightharpoonup n$ ist das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Da für die Bestimmung nur die Richtung und nicht die Länge des Normalenvektors entscheidend ist, kannst du ihn kürzen. Das ist vor allem für das Weiterrechnen sehr vorteilhaft.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Setze den Normalenvektor in die Ebenengleichung ein. Nehme als Aufpunkt einen der Eckpunkte des Quadrats ABCD.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Um auf den Ergebnis der Aufgabenstellung zu kommen, kannst du die Ebenengleichung in die Koordinatenform umwandlen. Laut der Aufgabenstellung ist dies jedoch nicht explizit verlangt. Beachte, dass wenn du einen anderen Aufpunkt als $A$ genommen hast, dann auch als Skalarprodukt nicht auf $84$ kommen musst.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Teilaufgabe c)

Schnittwinkel zwischen der Ebene $E$ und $x_1x_2-$ Ebene:

Die $x_1x_2-$ Ebene hat den Normalenverktor $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ . Setze die Normalenvektoren in die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen ein.

$\displaystyle \cos\left(\varphi\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}{\sqrt{1^2}\;\times\;\sqrt{3^2+4^2}}$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle \frac4{\;5}$	$\displaystyle \left\|\,\,\cos^{-1}\right.$
$\displaystyle \varphi$	$=$	$\displaystyle 36{,}87^\circ$

Teilaufgabe d)

Ebene F = ?

Die Seiten ABCD und PQRS sind parallel zu einander. Somit müssen auch die Ebenen parallel sein und besitzen den selben Normalenvektor. Die Ebene F geht im Punkt P durch den Ursprung. Daher kommt als Skalarprodukt mit dem Normalenvektor 0 heraus.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Teilaufgabe e)

Volumen von Quadern

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Teilaufgabe f)

Volumeninhalt eines Quaders

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Berechnen die Länge der Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AP}$ . Die Höhe steht in der Angabe.

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle 10\cdot28\cdot6$
	$=$	$\displaystyle 1680 ~\text{VE}$
	↓	1LE $\widehat=$ 0,1m
	$=$	$\displaystyle 1{,}68m^3$

Teilaufgabe g)

Gesucht ist die Geradengleichung zu $h$ .

Da die Gerade durch die Punkte $H$ und den (Schnitt-)Mittelpunkt $M$ der Diagonalen $[AQ]$ und $[BP]$ verläuft, musst du erst den Mittelpunkt herausfinden.

$\displaystyle \overset\rightharpoonup M$	$=$	$\displaystyle \frac12\left(\overset\rightharpoonup B+\overset\rightharpoonup P\right)$
	↓	Setze die Ortsvektoren ein.
	$=$	$\displaystyle \frac12\begin{pmatrix}28\\10\\0\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}14\\5\\0\end{pmatrix}$

Berechne den Richtungsvektor $\overset\rightharpoonup{HM}$ :

$\overset\rightharpoonup{HM\;}=\begin{pmatrix}14-11\\5-3\\0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}$

Stelle die Geradengleichung auf:

$h:\;\overset\rightharpoonup X=\begin{pmatrix}11\\3\\6\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}$

Die Bohrung endet in einem Endpunkt $E$ :

Bestimme zuerst die Entfernung des Endpunktes $E$ vom Punkt $H$ . Aus der Aufgabe ist zu entnehmen, dass die Stange 1,4m lang ist und zu drei Viertel aus der Deckfläche herausragt. Somit liegt sie um ein Viertel in der Bohrung drinnen.

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Wenn du den Einheitsvektor als Richtungsvektor nimmst, kannst du vom Punkt $H$ aus 3,5 mal diesen Vektor gehen um auf den Punkt $E$ zu gelangen.

$\overset\rightharpoonup{HM\;}^o=\frac{\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}}{\left|\overset\rightharpoonup{HM}\right|}$

Berechne die Länge des Vektors $\overset\rightharpoonup{HM}$ .

$\overset\rightharpoonup{HM\;}^o=\frac{\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}}{\sqrt{3^2+2^2+\left(-6\right)^2}}=\frac{\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}}7$

Berechne die Koordinaten der Punkts $E$ :

$\displaystyle \overset\rightharpoonup E$	$=$	$\displaystyle \overset\rightharpoonup H+3{,}5\cdot\overset\rightharpoonup{HM}^o$
	↓	Setze ein.
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}11\\3\\6\end{pmatrix}+3{,}5\cdot\frac17\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}12{,}5\\4\\3\end{pmatrix}$

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \overset\rightharpoonup{AB}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}28-28\\0+10\end{array}\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{array}{c}0\\10\end{array}\\0\end{pmatrix}

Teilaufgabe h)

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