Bei dieser Aufgabe gibt es zwei mögliche Lösungen.

Die beiden Kugeln können sich außen berühren (Fall 1) oder sie können sich innen berühren (Fall 2).

Fall 1: Bei einem äußeren Berührpunkt muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte $d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$ gleich der Summe der beiden Kugelradien sein: $d(M_1M_2)=r_1+r_2$

Berechne zunächst den Vektor $\overrightarrow{M_1M_2}$ und dann seinen Betrag.

$\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\9 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\3 \\ 6 \end{pmatrix}$

$d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7$

Gegeben ist der Kugelradius: $r_1=\sqrt{9}=3$ gesucht ist $r_2$.

$d(M_1M_2)=r_1+r_2\;\;\Rightarrow\;r_2=d(M_1M_2)-r_1=7-3=4$

Antwort: Die Kugel $K_2$ hat einen Radius von $r_2=4$ und die Kugelgleichung lautet: $K_2:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix}6 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}\right)^2=4^2=16$

Fall 2: Bei einem inneren Berührpunkt muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte $d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$ gleich dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien sein: $d(M_1M_2)=|r_1-r_2|$

Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte $d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=7$ wurde schon beim Fall 1 berechnet. Es muss also $d(M_1M_2)=|r_1-r_2|=7$ sein.

Der Radius $r_1=3\;\;\Rightarrow\;|3-r_2|=7$

Fall +

$3-r_2=7\;\;\Rightarrow\;r_2=-4$ ; Diese Lösung entfällt wegen $r>0$.

Fall -

$-3+r_2=7\;\;\Rightarrow\;r_2=10$

Antwort: Die Kugel $K_2$ hat einen Radius von $r_2=10$ und die Kugelgleichung lautet: $K_2:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix}6 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}\right)^2=10^2=100$

Die beiden Kugeln $\left(\vec x-\begin{pmatrix}6 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}\right)^2=16$ und $\left(\vec x-\begin{pmatrix}6 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}\right)^2=100$ berühren die Kugel $K_1:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\right)^2=9$.