Aufgaben mit zwei Kugeln - lernen mit Serlo!

Welche Kugeln um den Mittelpunkt $M_{2} (6 ∣ 7 ∣ 9)$ berühren die Kugel

$K_1:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\right)^2=9$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenseitige Lage von zwei Kugeln

Bei dieser Aufgabe gibt es zwei mögliche Lösungen.

Die beiden Kugeln können sich außen berühren (Fall 1) oder sie können sich innen berühren (Fall 2).

Fall 1: Bei einem äußeren Berührpunkt muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte $d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$ gleich der Summe der beiden Kugelradien sein: $d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2}$

Berechne zunächst den Vektor $\overrightarrow{M_1M_2}$ und dann seinen Betrag.

$\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow{OM_2}-\overrightarrow{OM_1}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\9 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\3 \\ 6 \end{pmatrix}$

$d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7$

Gegeben ist der Kugelradius: $r_1=\sqrt{9}=3$ gesucht ist $r_{2}$ .

$d(M_1M_2)=r_1+r_2\;\;\Rightarrow\;r_2=d(M_1M_2)-r_1=7-3=4$

Antwort: Die Kugel $K_{2}$ hat einen Radius von $r_{2} = 4$ und die Kugelgleichung lautet: $K_2:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix}6 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}\right)^2=4^2=16$

Fall 2: Bei einem inneren Berührpunkt muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte $d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$ gleich dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien sein: $d (M_{1} M_{2}) = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$

Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte $d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=7$ wurde schon beim Fall 1 berechnet. Es muss also $d (M_{1} M_{2}) = ∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 7$ sein.

Der Radius $r_1=3\;\;\Rightarrow\;|3-r_2|=7$

Fall +

$3-r_2=7\;\;\Rightarrow\;r_2=-4$ ; Diese Lösung entfällt wegen $r > 0$ .

Fall -

$-3+r_2=7\;\;\Rightarrow\;r_2=10$

Antwort: Die Kugel $K_{2}$ hat einen Radius von $r_{2} = 10$ und die Kugelgleichung lautet: $K_2:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix}6 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}\right)^2=10^2=100$

Die beiden Kugeln $\left(\vec x-\begin{pmatrix}6 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}\right)^2=16$ und $\left(\vec x-\begin{pmatrix}6 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix}\right)^2=100$ berühren die Kugel $K_1:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\right)^2=9$ .

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