Aufgaben mit zwei Kugeln
Hier findest du Aufgaben zu Kugeln. Lerne, die gegenseitige Lagebeziehung zwischen Kugeln zu untersuchen!
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Gegeben sind zwei Kugeln K1 mit M1(2∣4∣5) und r1=3 und K2 mit M2(1∣−2∣4) und r2=5.
Zeige, dass die beiden Kugeln K1 und K2 sich schneiden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Lagebeziehung der beiden Kugeln
Gegeben sind die beiden Kugelradien: r1=3 und r2=5
Berechne:
∣r1−r2∣=∣3−5∣=∣−2∣=2
d(M1M2)=M1M2
r1+r2=3+5=8
Zu 2. Berechne den Vektor M1M2=1−24−245=−1−6−1
Berechne d(M1M2)=M1M2=(−1)2+(−6)2+(−1)2=38≈6,2
Setze die berechneten Werte in die Schnittpunktsbedingung ein:
∣r1−r2∣<d(M1M2)<r1+r2⇒2<6,2<8
Antwort: Die Schnittpunktsbedingung ist erfüllt, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich.
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Ist der Betrag der Differenz der beiden Kugelradien kleiner als der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte und dieser Abstand wiederum kleiner als die Summe der beiden Kugelradien, dann schneiden sich die beiden Kugeln.
Schnittpunktsbedingung: ∣r1−r2∣<d(M1M2)<r1+r2
Bestimme eine Gleichung der Schnittebene E.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichungen
Kugel K1:
M1(2∣4∣5), r1=3
K1: (x−m1)2=r12
Setze M1 und r1 in K ein.
↓ K1: x−2452 = 32 ↓ Vereinfache.
x1x2x3−2452 = 9 ↓ Fasse zusammen.
x1−2x2−4x3−52 = 9 ↓ Rechne das Skalarprodukt aus.
(x1−2)2+(x2−4)2+(x3−5)2 = 9 ↓ Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
x12−4x1+4+x22−8x2+16+x32−10x3+25 = 9 ↓ Fasse die linke Seite zusammen.
x12+x22+x32−4x1−8x2−10x3+45 = 9 −45 x12+x22+x32−4x1−8x2−10x3 = −36 Antwort: Die Gleichung der Kugel K1 lautet: x12+x22+x32−4x1−8x2−10x3=−36
Kugel K2:
M2(1∣−2∣4), r2=5
K2: (x−m2)2=r22
Setze M2 und r2 in K ein.
↓ K2: x−1−242 = 52 ↓ Vereinfache.
x1x2x3−1−242 = 25 ↓ Fasse zusammen.
x1−1x2+2x3−42 = 25 ↓ Rechne das Skalarprodukt aus.
(x1−1)2+(x2+2)2+(x3−4)2 = 25 ↓ Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
x12−2x1+1+x22+4x2+4+x32−8x3+16 = 25 ↓ Fasse die linke Seite zusammen.
x12+x22+x32−2x1+4x2−8x3+21 = 25 −21 x12+x22+x32−2x1+4x2−8x3 = 4 Antwort: Die Gleichung der Kugel K2 lautet: x12+x22+x32−2x1+4x2−8x3=4
Schnitt der beiden Kugeln berechnen
Die Kugel 1 entspricht Gleichung (I) und die Kugel 2 entspricht Gleichung (II). Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen.
Berechne die Differenz der beiden Gleichungen.
(I):−(II):x12x12++x22x22++x32x32−−4x12x1−+8x24x2−−10x38x3==−36 40+0+0−2x1−12x2−2x3=−40
−2x1−12x2−2x3 = −40 :(−2) x1+6x2+x3 = 20 Antwort: Die Gleichung der Schnittebene lautet E:x1+6x2+x3=20.
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Dargestellt sind die Kugeln K1 mit Mittelpunkt M1 und K2 mit Mittelpunkt M2.
Die Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis (rot), der den Mittelpunkt M′ und den Radius r′ hat. Der Schnittkreis liegt in der Schnittebene E.
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Erstelle von beiden Kugeln die Vektorgleichung und wandle sie in eine Koordinatendarstellung um. Die Differenz der beiden Kugelgleichungen liefert die Gleichung der gesuchten Schnittebene E.
Berechne den Mittelpunkt M′ des Schnittkreises der beiden Kugeln und den Schnittkreisradius r′.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenseitige Lage zweier Kugeln
Berechnung des Mittelpunkt M′
Stelle die Gleichung der Lotgeraden gLot durch den Mittelpunkt M1 auf die Ebene E auf.
Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M1 und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene E: n=161
gLot:X=245+t⋅161
oder
gLot:X=x1x2x3=2+t4+6t5+t
Berechne den Mittelpunkt M′, indem du die Lotgerade gLot mit der Ebene E schneidest:
gLot∩E
↓ E:x1+6x2+x3 = 20 ↓ Setze x1=2+t,x2=4+6t,x3=5+t in E ein.
(2+t)+6⋅(4+6t)+(5+t) = 20 ↓ Löse die Klammern auf.
2+t+24+36t+5+t = 20 ↓ Fasse zusammen.
38t+31 = 20 −31 ↓ Löse nach t auf.
38t = −11 :38 t = −3811 Zur Berechnung des Mittelpunktes M′ setzt du t=−3811 in die Gleichung der Lotgeraden ein.
XM′=245−3811⋅161=2−38114−38665−3811=3865194338179
Antwort: Der Mittelpunkt M′ hat die Koordinaten M′(3865194338179).
Berechnung des Schnittkreisradius r′
In der Abbildung ist nur die Kugel K1 dargestellt.
Den Schnittkreisradius r′ kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand d der Ebene E vom Mittelpunkt M1 ist der Betrag des Vektors M1M′ und der Kugelradius von K1 ist r=3.
Berechne zuerst den Vektor M1M′ und dann dessen Betrag.
M1M′=3865194338179−245=−3811−1933−3811
d=M1M′=(−3811)2+(−1933)2+(−3811)2=38121≈1,78
r2 = d2+r′2 ↓ Nach r′ auflösen.
r′ = r2−d2 ↓ Setze r=3 und d=38121 ein.
= 32−(38121)2 ↓ Berechne die Quadrate.
= 9−38121 ↓ Vereinfache.
= 38221 ≈ 2,41 Antwort: Der Radius r′ des Schnittkreises beträgt 38221≈2,41LE.
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Mittelpunkt M′
Erstelle die Gleichung der Lotgeraden gLot durch den Mittelpunkt M1 auf die Ebene E.
Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt M1 und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene E. Schneide die Lotgerade mit der Ebene E und du erhältst als Lösung einen Wert für den Geradenparameter. Diesen Wert setzt du in die Gleichung der Lotgeraden ein, um die Koordinaten des Mittelpunktes M′ zu erhalten.
Schnittkreisradius r′
Den Schnittkreisradius r′ kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand d der Ebene E vom Mittelpunkt M1 ist der Betrag des Vektors M1M′. Berechne d=M1M′. Der Kugelradius r der ersten Kugel ist gegeben. Dann gilt: r′=r2−d2
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Gegeben sind die Kugeln K1:x−7−202=4 und K2:x−7142=9
Zeige, dass sich die beiden Kugeln außen in einem Punkt B berühren und gib seine Koordinaten an. Bestimme auch die Tangentialebene ET der beiden Kugeln.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene
Kugeln berühren sich
Berechne den Vektor M1M2 und dann seinen Betrag d(M1M2)=M1M2.
M1M2=714−7−20=034
d(M1M2)=M1M2=02+32+42=25=5
r1=4=2 und r2=9=3⇒r1+r2=2+3=5
Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt 5 und die Summe der beiden Kugelradien beträgt auch 5.
d(M1M2)=r1+r2=5⇒ Die beiden Kugeln berühren sich außen.
Berechnung von B
Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:
OB=OM1+r1⋅n0
Dabei ist
n0=M1M2M1M2
OB=OM1+r1⋅n0=OM1+r1⋅M1M2M1M2
Dabei ist r1=2, M1M2=5 und n0=51⋅034.
OB=7−20+2⋅51⋅034=7+0−2+560+58=7−5458
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten B(7−5458).
Berechnung von ET
Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors n0 und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt B) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von n0 erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.
E:(x−p)∘n0 = 0 ↓ Setze B und n0 ein.
x−7−5458∘51⋅034 = 0 ↓ Das ist die Hessesche Normalenform der Tangentialebene.
x1x2x3−7−5458∘51⋅034 = 0 ↓ Umwandlung in die Koordinatenform.
x1−7x2+54x3−58∘51⋅034 = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
51⋅((x1−7)⋅0+(x2+54)⋅3+(x3−58)⋅4) = 0 ↓ Löse die Klammern auf.
51⋅(0+3x2+512+4x3−532)) = 0 ↓ Vereinfache.
51⋅(3x2+4x3−520)) = 0 ↓ Vereinfache.
51⋅(3x2+4x3−4)) = 0 Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene ET lautet: 51⋅(3x2+4x3−4)=0 bzw. Tangentialebene ET als Koordinatengleichung: 3x2+4x3=4
Wenn zwei Kugeln sich außen berühren sollen, dann muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte gleich der Summe der beiden Kugelradien sein.
Zur Berechnung des Berührpunktes erstellst du eine Vektorgleichung OB=OM1+r1⋅n0 mit n0=M1M2M1M2.
Für die Berechnung der Tangentialebene ET benutze den Vektor n0 und einen Punkt der Ebene (hier den Berührpunkt B).
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Gegeben sind die Kugeln K1:x−8152=1600 und
K2:x−31−72=729
Zeige, dass sich die beiden Kugeln innen in einem Punkt B berühren und gib seine Koordinaten an. Bestimme auch die Tangentialebene ET der beiden Kugeln.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene
Kugeln berühren sich
Berechne den Vektor M1M2 und dann seinen Betrag d(M1M2)=M1M2.
M1M2=31−7−815=−50−12
d(M1M2)=M1M2=(−5)2+02+(−12)2=169=13
r1=1600=40 und r2=729=27⇒∣r1−r2∣=∣40−27∣=13
Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt 13 und die Differenz der beiden Kugelradien beträgt auch 13.
d(M1M2)=∣r1−r2∣=13⇒ Die beiden Kugeln berühren sich innen.
Berechnung von B
Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:
OB=OM1+r1⋅n0
Dabei ist
n0=M1M2M1M2
OB=OM1+r1⋅n0=OM1+r1⋅M1M2M1M2
Dabei ist r1=40, M1M2=13 und n0=131⋅−50−12.
OB=815+40⋅131⋅−50−12=8−132001+05−13480=−13961−13415
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten B(−13961−13415).
Berechnung von ET
Mit dem eben berechneten Einheitsvektor n0=131⋅−50−12und dem Berührpunkt B(−13961−13415), der ein Punkt der Ebene ET ist, kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden.
Hinweis: Bei Verwendung des Einheitsvektors erhält man die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.
(x−b)∘n0 = 0 ↓ Setze B und n0 ein.
ET:x−−13961−13415∘131⋅−50−12 = 0 ↓ Das ist die Hessesche Normalenform der Ebene.
x1+1396x2−1x3+13415∘131⋅−50−12 = 0 ↓ Für die Umwandlung in die Koordinatenform berechne das Skalarprodukt.
131⋅((x1+1396)⋅(−5)+(x2−1)⋅0+(x3+13415)⋅(−12)) = 0 ↓ Löse die Klammern auf.
131⋅(−5x1−13480+0−12x3−134980) = 0 ↓ Fasse zusammen.
131⋅(−5x1−12x3−135460) = 0 ↓ Vereinfache.
131⋅(−5x1−12x3−420) = 0 Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene ET lautet: 131⋅(−5x1−12x3−420)=0 oder nur als Koordinatenform ET:5x1+12x3=−420.
Wenn zwei Kugeln sich innen berühren sollen, dann muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte gleich dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien sein.
Zur Berechnung des Berührpunktes erstellst du eine Vektorgleichung OB=OM1+r1⋅n0 mit n0=M1M2M1M2. n0 ist ein Einheitsvektor.
Für die Berechnung der Tangentialebene ET benutze den Vektor n0 und den berechneten Berührpunkt B.
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Welche Kugeln um den Mittelpunkt M2(6∣7∣9) berühren die Kugel
K1:x−4432=9 ?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenseitige Lage von zwei Kugeln
Bei dieser Aufgabe gibt es zwei mögliche Lösungen.
Die beiden Kugeln können sich außen berühren (Fall 1) oder sie können sich innen berühren (Fall 2).
Fall 1: Bei einem äußeren Berührpunkt muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte d(M1M2)=M1M2 gleich der Summe der beiden Kugelradien sein: d(M1M2)=r1+r2
Berechne zunächst den Vektor M1M2 und dann seinen Betrag.
M1M2=OM2−OM1=679−443=236
d(M1M2)=M1M2=22+32+62=49=7
Gegeben ist der Kugelradius: r1=9=3 gesucht ist r2.
d(M1M2)=r1+r2⇒r2=d(M1M2)−r1=7−3=4
Antwort: Die Kugel K2 hat einen Radius von r2=4 und die Kugelgleichung lautet: K2:x−6792=42=16
Fall 2: Bei einem inneren Berührpunkt muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte d(M1M2)=M1M2 gleich dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien sein: d(M1M2)=∣r1−r2∣
Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte d(M1M2)=M1M2=7 wurde schon beim Fall 1 berechnet. Es muss also d(M1M2)=∣r1−r2∣=7 sein.
Der Radius r1=3⇒∣3−r2∣=7
Fall +
3−r2=7⇒r2=−4 ; Diese Lösung entfällt wegen r>0.
Fall -
−3+r2=7⇒r2=10
Antwort: Die Kugel K2 hat einen Radius von r2=10 und die Kugelgleichung lautet: K2:x−6792=102=100
Die beiden Kugeln x−6792=16 und x−6792=100 berühren die Kugel K1:x−4432=9.
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Zwei Kugeln berühren sich außen in Punkt B(1∣−1∣1). Die Kugelradien sind r1=2 und r2=4. Die Verbindungsgerade der beiden Kugelmittelpunkte M1 und M2 hat den Richtungsvektor vM1M2=−12−2. Bestimme die Kugelgleichungen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt
Die beiden sich außen berührenden Kugeln können auf zwei verschiedene Arten angeordnet sein.
Fall 1: Die größere Kugel liegt rechts von der kleineren Kugel.
Fall 2: Die größere Kugel liegt links von der kleineren Kugel.
Lösung für den Fall 1
Die Berechnung der beiden Kugelmittelpunkte erfolgt mit Hilfe einer Vektorgleichung.
Der Abbildung kannst du folgende Vektorgleichungen entnehmen.
(I):OM2=OB+BM2 und (II):OM1=OB+BM1
Dabei ist der Vektor OB=1−11gegeben. Die beiden Vektoren BM2 bzw. BM1 müssen berechnet werden.
Berechnung von BM2 für Kugel K2
Aus dem gegebenen Richtungsvektor vM1M2=−12−2 erstellst du einen Einheitsvektor n0=∣vM1M2∣vM1M2. Dazu muss der Betrag von vM1M2 berechnet werden:
∣vM1M2∣=(−1)2+22+(−2)2=9=3⇒n0=31⋅−12−2
Für den Vektor BM2 gilt mit dem berechneten Einheitsvektor n0 und r2=4:
BM2=r2⋅n0=4⋅31⋅−12−2=34⋅−12−2
Berechnung von OM2
OM2=OB+BM2
OM2=1−11+34⋅−12−2=1−34−1+381−38=−3135−35
Der Mittelpunkt der Kugel K2 hat die Koordinaten:
M2(−3135−35).
Berechnung von BM1 für Kugel K1
Für den Vektor BM1 gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor (−n0) und r1=2:
BM1=r1⋅(−n0)=2⋅31⋅1−22=32⋅1−22
Berechnung von OM1
OM1=OB+BM1
OM1=1−11+32⋅1−22=1+32−1−341+34=35−3737
Der Mittelpunkt der Kugel K1 hat die Koordinaten:
M1(35−3737).
Antwort: Damit können die beiden Kugelgleichungen angegeben werden:
K1:x−35−37372=22=4 und
K2:x−−3135−352=42=16
Lösung für den Fall 2
Der Abbildung kannst du folgende Vektorgleichungen entnehmen.
(I):OM2′=OB+BM2′ und (II):OM1′=OB+BM1′
Dabei ist der Vektor OB=1−11gegeben. Die beiden Vektoren BM2′ bzw. BM1′ müssen berechnet werden.
Berechnung von BM2′ für Kugel K2
Für den Vektor BM2′ gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor (−n0) und r2=4:
BM2′=r2⋅(−n0)=4⋅31⋅1−22=34⋅1−22
Berechnung von OM2′
OM2′=OB+BM2′
OM2′=1−11+34⋅1−22=1+34−1−381+38=37−311311
Der Mittelpunkt der Kugel K2 hat die Koordinaten:
M2′(37−311311).
Berechnung von BM1′ für Kugel K1
Für den Vektor BM1′ gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor n0 und r1=2:
BM1′=r1⋅n0=2⋅31⋅−12−2=32⋅−12−2
Berechnung von OM1′
OM1′=OB+BM1′
OM1=1−11+32⋅−12−2=1−32−1+341−34=3131−31
Der Mittelpunkt der Kugel K1 hat die Koordinaten:
M1(3131−31).
Antwort: Damit können die beiden Kugelgleichungen angegeben werden
K1′:x−3131−312=22=4 und
K2′:x−37−3113112=42=16
Die beiden sich außen berührenden Kugeln können auf zwei verschiedene Arten angeordnet werden, d.h. es gibt insgesamt vier Kugelgleichungen zu bestimmen.
Die Berechnung der beiden Kugelmittelpunkte erfolgt mit Hilfe einer Vektorgleichung.
(I):OM2=OB+BM2 und (II):OM1=OB+BM1
Dabei ist der Vektor OB gegeben und die beiden Vektoren BM2 bzw. BM1 müssen berechnet werden.
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