Aufgaben mit zwei Kugeln

Hier findest du Aufgaben zu Kugeln. Lerne, die gegenseitige Lagebeziehung zwischen Kugeln zu untersuchen!

Gegeben sind zwei Kugeln $K_{1}$ mit $M_{1} (2 | 4 | 5)$ und $r_{1} = 3$ und $K_{2}$ mit $M_{2} (1 | - 2 | 4)$ und $r_{2} = 5$ .

Zeige, dass die beiden Kugeln $K_{1}$ und $K_{2}$ sich schneiden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Lagebeziehung der beiden Kugeln
Gegeben sind die beiden Kugelradien: $r_{1} = 3$ und $r_{2} = 5$
Berechne:
$| r_{1} - r_{2} | = | 3 - 5 | = | - 2 | = 2$
$d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} |$
$r_{1} + r_{2} = 3 + 5 = 8$
Zu 2. Berechne den Vektor $\vec{M_{1} M_{2}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 6 \\ - 1 \end{array})$
Berechne $d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} | = \sqrt{(- 1)^{2} + (- 6)^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{38} \approx 6,2$
Setze die berechneten Werte in die Schnittpunktsbedingung ein:
$| r_{1} - r_{2} | < d (M_{1} M_{2}) < r_{1} + r_{2} \Rightarrow 2 < 6,2 < 8$
Antwort: Die Schnittpunktsbedingung ist erfüllt, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Ist der Betrag der Differenz der beiden Kugelradien kleiner als der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte und dieser Abstand wiederum kleiner als die Summe der beiden Kugelradien, dann schneiden sich die beiden Kugeln.
Schnittpunktsbedingung: $| r_{1} - r_{2} | < d (M_{1} M_{2}) < r_{1} + r_{2}$

Bestimme eine Gleichung der Schnittebene $E$ .

Berechne den Mittelpunkt $M^{'}$ des Schnittkreises der beiden Kugeln und den Schnittkreisradius $r^{'}$ .

Gegeben sind die Kugeln $K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 0 \end{array}))}^{2} = 4$ und $K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 4 \end{array}))}^{2} = 9$

Zeige, dass sich die beiden Kugeln außen in einem Punkt $B$ berühren und gib seine Koordinaten an. Bestimme auch die Tangentialebene $E_{T}$ der beiden Kugeln.

Gegeben sind die Kugeln $K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ 5 \end{array}))}^{2} = 1600$ und

$K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 7 \end{array}))}^{2} = 729$

Zeige, dass sich die beiden Kugeln innen in einem Punkt $B$ berühren und gib seine Koordinaten an. Bestimme auch die Tangentialebene $E_{T}$ der beiden Kugeln.

4
Welche Kugeln um den Mittelpunkt $M_{2} (6 | 7 | 9)$ berühren die Kugel
$K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \end{array}))}^{2} = 9$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenseitige Lage von zwei Kugeln
Bei dieser Aufgabe gibt es zwei mögliche Lösungen.
Die beiden Kugeln können sich außen berühren (Fall 1) oder sie können sich innen berühren (Fall 2).
Fall 1: Bei einem äußeren Berührpunkt muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte $d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} |$ gleich der Summe der beiden Kugelradien sein: $d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2}$
Berechne zunächst den Vektor $\vec{M_{1} M_{2}}$ und dann seinen Betrag.
$\vec{M_{1} M_{2}} = \vec{O M_{2}} - \vec{O M_{1}} = (\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 9 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 6 \end{array})$
$d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} | = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 6^{2}} = \sqrt{49} = 7$
Gegeben ist der Kugelradius: $r_{1} = \sqrt{9} = 3$ gesucht ist $r_{2}$ .
$d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2} \Rightarrow r_{2} = d (M_{1} M_{2}) - r_{1} = 7 - 3 = 4$
Antwort: Die Kugel $K_{2}$ hat einen Radius von $r_{2} = 4$ und die Kugelgleichung lautet: $K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 9 \end{array}))}^{2} = 4^{2} = 16$
Fall 2: Bei einem inneren Berührpunkt muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte $d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} |$ gleich dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien sein: $d (M_{1} M_{2}) = | r_{1} - r_{2} |$
Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte $d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} | = 7$ wurde schon beim Fall 1 berechnet. Es muss also $d (M_{1} M_{2}) = | r_{1} - r_{2} | = 7$ sein.
Der Radius $r_{1} = 3 \Rightarrow | 3 - r_{2} | = 7$
Fall +
$3 - r_{2} = 7 \Rightarrow r_{2} = - 4$ ; Diese Lösung entfällt wegen $r > 0$ .
Fall -
$- 3 + r_{2} = 7 \Rightarrow r_{2} = 10$
Antwort: Die Kugel $K_{2}$ hat einen Radius von $r_{2} = 10$ und die Kugelgleichung lautet: $K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 9 \end{array}))}^{2} = 10^{2} = 100$
Die beiden Kugeln ${(\vec{x} - (\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 9 \end{array}))}^{2} = 16$ und ${(\vec{x} - (\begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 9 \end{array}))}^{2} = 100$ berühren die Kugel $K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \end{array}))}^{2} = 9$ .
5
Zwei Kugeln berühren sich außen in Punkt $B (1 | - 1 | 1)$ . Die Kugelradien sind $r_{1} = 2$ und $r_{2} = 4$ . Die Verbindungsgerade der beiden Kugelmittelpunkte $M_{1}$ und $M_{2}$ hat den Richtungsvektor ${\vec{v}}_{M_{1} M_{2}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$ . Bestimme die Kugelgleichungen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt
Die beiden sich außen berührenden Kugeln können auf zwei verschiedene Arten angeordnet sein.
Fall 1: Die größere Kugel liegt rechts von der kleineren Kugel.
Fall 2: Die größere Kugel liegt links von der kleineren Kugel.
Lösung für den Fall 1
Die Berechnung der beiden Kugelmittelpunkte erfolgt mit Hilfe einer Vektorgleichung.
Der Abbildung kannst du folgende Vektorgleichungen entnehmen.
$(I) : \vec{O M_{2}} = \vec{O B} + \vec{B M_{2}}$ und $(I I) : \vec{O M_{1}} = \vec{O B} + \vec{B M_{1}}$
Dabei ist der Vektor $\vec{O B} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ gegeben. Die beiden Vektoren $\vec{B M_{2}}$ bzw. $\vec{B M_{1}}$ müssen berechnet werden.
Berechnung von $\vec{B M_{2}}$ für Kugel $K_{2}$
Aus dem gegebenen Richtungsvektor ${\vec{v}}_{M_{1} M_{2}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$ erstellst du einen Einheitsvektor ${\vec{n}}_{0} = \frac{{\vec{v}}_{M_{1} M_{2}}}{| {\vec{v}}_{M_{1} M_{2}} |}$ . Dazu muss der Betrag von ${\vec{v}}_{M_{1} M_{2}}$ berechnet werden:
$| {\vec{v}}_{M_{1} M_{2}} | = \sqrt{(- 1)^{2} + 2^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow {\vec{n}}_{0} = \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$
Für den Vektor $\vec{B M_{2}}$ gilt mit dem berechneten Einheitsvektor ${\vec{n}}_{0}$ und $r_{2} = 4$ :
$\vec{B M_{2}} = r_{2} \cdot {\vec{n}}_{0} = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) = \frac{4}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$
Berechnung von $\vec{O M_{2}}$
$\vec{O M_{2}} = \vec{O B} + \vec{B M_{2}}$
$\vec{O M_{2}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + \frac{4}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 - \frac{4}{3} \\ - 1 + \frac{8}{3} \\ 1 - \frac{8}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \\ - \frac{5}{3} \end{array})$
Der Mittelpunkt der Kugel $K_{2}$ hat die Koordinaten:
$M_{2} (- \frac{1}{3} | \frac{5}{3} | - \frac{5}{3})$ .
Berechnung von $\vec{B M_{1}}$ für Kugel $K_{1}$
Für den Vektor $\vec{B M_{1}}$ gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor $(- {\vec{n}}_{0})$ und $r_{1} = 2$ :
$\vec{B M_{1}} = r_{1} \cdot (- {\vec{n}}_{0}) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
Berechnung von $\vec{O M_{1}}$
$\vec{O M_{1}} = \vec{O B} + \vec{B M_{1}}$
$\vec{O M_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \\ - 1 - \frac{4}{3} \\ 1 + \frac{4}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ \frac{7}{3} \end{array})$
Der Mittelpunkt der Kugel $K_{1}$ hat die Koordinaten:
$M_{1} (\frac{5}{3} | - \frac{7}{3} | \frac{7}{3})$ .
Antwort: Damit können die beiden Kugelgleichungen angegeben werden:
$K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ \frac{7}{3} \end{array}))}^{2} = 2^{2} = 4$ und
$K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \\ - \frac{5}{3} \end{array}))}^{2} = 4^{2} = 16$
Lösung für den Fall 2
Der Abbildung kannst du folgende Vektorgleichungen entnehmen.
$(I) : \vec{O M_{2}^{'}} = \vec{O B} + \vec{B M_{2}^{'}}$ und $(I I) : \vec{O M_{1}^{'}} = \vec{O B} + \vec{B M_{1}^{'}}$
Dabei ist der Vektor $\vec{O B} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ gegeben. Die beiden Vektoren $\vec{B M_{2}^{'}}$ bzw. $\vec{B M_{1}^{'}}$ müssen berechnet werden.
Berechnung von $\vec{B M_{2}^{'}}$ für Kugel $K_{2}$
Für den Vektor $\vec{B M_{2}^{'}}$ gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor $(- {\vec{n}}_{0})$ und $r_{2} = 4$ :
$\vec{B M_{2}^{'}} = r_{2} \cdot (- {\vec{n}}_{0}) = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = \frac{4}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$
Berechnung von $\vec{O M_{2}^{'}}$
$\vec{O M_{2}^{'}} = \vec{O B} + \vec{B M_{2}^{'}}$
$\vec{O M_{2}^{'}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + \frac{4}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{3} \\ - 1 - \frac{8}{3} \\ 1 + \frac{8}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{7}{3} \\ - \frac{11}{3} \\ \frac{11}{3} \end{array})$
Der Mittelpunkt der Kugel $K_{2}$ hat die Koordinaten:
$M_{2}^{'} (\frac{7}{3} | - \frac{11}{3} | \frac{11}{3})$ .
Berechnung von $\vec{B M_{1}^{'}}$ für Kugel $K_{1}$
Für den Vektor $\vec{B M_{1}^{'}}$ gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor ${\vec{n}}_{0}$ und $r_{1} = 2$ :
$\vec{B M_{1}^{'}} = r_{1} \cdot {\vec{n}}_{0} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) = \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$
Berechnung von $\vec{O M_{1}^{'}}$
$\vec{O M_{1}^{'}} = \vec{O B} + \vec{B M_{1}^{'}}$
$\vec{O M_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \\ - 1 + \frac{4}{3} \\ 1 - \frac{4}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} \end{array})$
Der Mittelpunkt der Kugel $K_{1}$ hat die Koordinaten:
$M_{1} (\frac{1}{3} | \frac{1}{3} | - \frac{1}{3})$ .
Antwort: Damit können die beiden Kugelgleichungen angegeben werden
$K_{1}^{'} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} \end{array}))}^{2} = 2^{2} = 4$ und
$K_{2}^{'} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} \frac{7}{3} \\ - \frac{11}{3} \\ \frac{11}{3} \end{array}))}^{2} = 4^{2} = 16$
Die beiden sich außen berührenden Kugeln können auf zwei verschiedene Arten angeordnet werden, d.h. es gibt insgesamt vier Kugelgleichungen zu bestimmen.
Die Berechnung der beiden Kugelmittelpunkte erfolgt mit Hilfe einer Vektorgleichung.
$(I) : \vec{O M_{2}} = \vec{O B} + \vec{B M_{2}}$ und $(I I) : \vec{O M_{1}} = \vec{O B} + \vec{B M_{1}}$
Dabei ist der Vektor $\vec{O B}$ gegeben und die beiden Vektoren $\vec{B M_{2}}$ bzw. $\vec{B M_{1}}$ müssen berechnet werden.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Setze $M_{1}$ und $r_{1}$ in $K$ ein.
	↓
$K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}))}^{2}$	$=$	$3^{2}$
	↓	Vereinfache.
${((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}))}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Fasse zusammen.
${(\begin{array}{c} x_{1} - 2 \\ x_{2} - 4 \\ x_{3} - 5 \end{array})}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus.
$(x_{1} - 2)^{2} + (x_{2} - 4)^{2} + (x_{3} - 5)^{2}$	$=$	$9$
	↓	Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$x_{1}^{2} - 4 x_{1} + 4 + x_{2}^{2} - 8 x_{2} + 16 + x_{3}^{2} - 10 x_{3} + 25$	$=$	$9$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 x_{1} - 8 x_{2} - 10 x_{3} + 45$	$=$	$9$	$- 45$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 x_{1} - 8 x_{2} - 10 x_{3}$	$=$	$- 36$

Setze $M_{2}$ und $r_{2}$ in $K$ ein.
	↓
$K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 4 \end{array}))}^{2}$	$=$	$5^{2}$
	↓	Vereinfache.
${((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 4 \end{array}))}^{2}$	$=$	$25$
	↓	Fasse zusammen.
${(\begin{array}{c} x_{1} - 1 \\ x_{2} + 2 \\ x_{3} - 4 \end{array})}^{2}$	$=$	$25$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus.
$(x_{1} - 1)^{2} + (x_{2} + 2)^{2} + (x_{3} - 4)^{2}$	$=$	$25$
	↓	Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$x_{1}^{2} - 2 x_{1} + 1 + x_{2}^{2} + 4 x_{2} + 4 + x_{3}^{2} - 8 x_{3} + 16$	$=$	$25$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 2 x_{1} + 4 x_{2} - 8 x_{3} + 21$	$=$	$25$	$- 21$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 2 x_{1} + 4 x_{2} - 8 x_{3}$	$=$	$4$

$- 2 x_{1} - 12 x_{2} - 2 x_{3}$	$=$	$- 40$	$: (- 2)$
$x_{1} + 6 x_{2} + x_{3}$	$=$	$20$

$ g_{L o t} \cap E $
	↓
$E : x_{1} + 6 x_{2} + x_{3}$	$=$	$20$
	↓	Setze $x_{1} = 2 + t$ , $x_{2} = 4 + 6 t$ , $x_{3} = 5 + t$ in $E$ ein.
$(2 + t) + 6 \cdot (4 + 6 t) + (5 + t)$	$=$	$20$
	↓	Löse die Klammern auf.
$2 + t + 24 + 36 t + 5 + t$	$=$	$20$
	↓	Fasse zusammen.
$38 t + 31$	$=$	$20$	$- 31$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$38 t$	$=$	$- 11$	$: 38$
$t$	$=$	$- \frac{11}{38}$

$r^{2}$	$=$	$d^{2} + r^{' 2}$
	↓	Nach $r^{'}$ auflösen.
$r^{'}$	$=$	$\sqrt{r^{2} - d^{2}}$
	↓	Setze $r = 3$ und $d = \sqrt{\frac{121}{38}}$ ein.
	$=$	$\sqrt{3^{2} - {(\sqrt{\frac{121}{38}})}^{2}}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\sqrt{9 - \frac{121}{38}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\sqrt{\frac{221}{38}}$
	$\approx$	$2,41$

Aufgaben mit zwei Kugeln

Lagebeziehung der beiden Kugeln

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufstellen der Kugelgleichungen

Kugel $K_{1}$ :

Kugel $K_{2}$ :

Schnitt der beiden Kugeln berechnen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechnung des Mittelpunkt $M^{'}$

Berechnung des Schnittkreisradius $r^{'}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Mittelpunkt $M^{'}$

Schnittkreisradius $r^{'}$

Kugeln berühren sich

Berechnung von $B$

Berechnung von $E_{T}$

Kugeln berühren sich

Berechnung von $B$

Berechnung von $E_{T}$

Lösung für den Fall 1

Berechnung von $\vec{B M_{2}}$ für Kugel $K_{2}$

Berechnung von $\vec{O M_{2}}$

Berechnung von $\vec{B M_{1}}$ für Kugel $K_{1}$

Berechnung von $\vec{O M_{1}}$

Lösung für den Fall 2

Berechnung von $\vec{B M_{2}^{'}}$ für Kugel $K_{2}$

Berechnung von $\vec{O M_{2}^{'}}$

Berechnung von $\vec{B M_{1}^{'}}$ für Kugel $K_{1}$

Berechnung von $\vec{O M_{1}^{'}}$

$E : (\vec{x} - \vec{p}) \circ {\vec{n}}_{0}$	$=$	$0$
	↓	Setze $B$ und ${\vec{n}}_{0}$ ein.
$(\vec{x} - (\begin{array}{c} 7 \\ - \frac{4}{5} \\ \frac{8}{5} \end{array})) \circ \frac{1}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Das ist die Hessesche Normalenform der Tangentialebene.
$((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 7 \\ - \frac{4}{5} \\ \frac{8}{5} \end{array})) \circ \frac{1}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Umwandlung in die Koordinatenform.
$(\begin{array}{c} x_{1} - 7 \\ x_{2} + \frac{4}{5} \\ x_{3} - \frac{8}{5} \end{array}) \circ \frac{1}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\frac{1}{5} \cdot ((x_{1} - 7) \cdot 0 + (x_{2} + \frac{4}{5}) \cdot 3 + (x_{3} - \frac{8}{5}) \cdot 4)$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\frac{1}{5} \cdot (0 + 3 x_{2} + \frac{12}{5} + 4 x_{3} - \frac{32}{5}))$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$\frac{1}{5} \cdot (3 x_{2} + 4 x_{3} - \frac{20}{5}))$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$\frac{1}{5} \cdot (3 x_{2} + 4 x_{3} - 4))$	$=$	$0$

$(\vec{x} - \vec{b}) \circ {\vec{n}}_{0}$	$=$	$0$
	↓	Setze $B$ und ${\vec{n}}_{0}$ ein.
$E_{T} : (\vec{x} - (\begin{array}{c} - \frac{96}{13} \\ 1 \\ - \frac{415}{13} \end{array})) \circ \frac{1}{13} \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ - 12 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Das ist die Hessesche Normalenform der Ebene.
$(\begin{array}{c} x_{1} + \frac{96}{13} \\ x_{2} - 1 \\ x_{3} + \frac{415}{13} \end{array}) \circ \frac{1}{13} \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ - 12 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Für die Umwandlung in die Koordinatenform berechne das Skalarprodukt.
$\frac{1}{13} \cdot ((x_{1} + \frac{96}{13}) \cdot (- 5) + (x_{2} - 1) \cdot 0 + (x_{3} + \frac{415}{13}) \cdot (- 12))$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\frac{1}{13} \cdot (- 5 x_{1} - \frac{480}{13} + 0 - 12 x_{3} - \frac{4980}{13})$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$\frac{1}{13} \cdot (- 5 x_{1} - 12 x_{3} - \frac{5460}{13})$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$\frac{1}{13} \cdot (- 5 x_{1} - 12 x_{3} - 420)$	$=$	$0$

Aufgaben mit zwei Kugeln

Lagebeziehung der beiden Kugeln

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufstellen der Kugelgleichungen

Kugel K1:

Kugel K2:

Schnitt der beiden Kugeln berechnen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechnung des Mittelpunkt M′

Berechnung des Schnittkreisradius r′

Hast du eine Frage oder Feedback?

Mittelpunkt M′

Schnittkreisradius r′

Kugeln berühren sich

Berechnung von B

Berechnung von ET

Kugeln berühren sich

Berechnung von B

Berechnung von ET

Lösung für den Fall 1

Berechnung von BM2→ für Kugel K2

Berechnung von OM2→

Berechnung von BM1→ für Kugel K1

Berechnung von OM1→

Lösung für den Fall 2

Berechnung von BM2′→ für Kugel K2

Berechnung von OM2′→

Berechnung von BM1′→ für Kugel K1

Berechnung von OM1′→

Kugel $K_{1}$ :

Kugel $K_{2}$ :

Berechnung des Mittelpunkt $M^{'}$

Berechnung des Schnittkreisradius $r^{'}$

Mittelpunkt $M^{'}$

Schnittkreisradius $r^{'}$

Berechnung von $B$

Berechnung von $E_{T}$

Berechnung von $B$

Berechnung von $E_{T}$

Berechnung von $\vec{B M_{2}}$ für Kugel $K_{2}$

Berechnung von $\vec{O M_{2}}$

Berechnung von $\vec{B M_{1}}$ für Kugel $K_{1}$

Berechnung von $\vec{O M_{1}}$

Berechnung von $\vec{B M_{2}^{'}}$ für Kugel $K_{2}$

Berechnung von $\vec{O M_{2}^{'}}$

Berechnung von $\vec{B M_{1}^{'}}$ für Kugel $K_{1}$

Berechnung von $\vec{O M_{1}^{'}}$