Aufgaben mit zwei Kugeln - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Kugeln $K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}7\\-2\\0\end{pmatrix}\right)^2=4$ und $K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}7\\1\\4\end{pmatrix}\right)^2=9$

Zeige, dass sich die beiden Kugeln außen in einem Punkt $B$ berühren und gib seine Koordinaten an. Bestimme auch die Tangentialebene $E_{T}$ der beiden Kugeln.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene

Kugeln berühren sich

Berechne den Vektor $\overrightarrow{M_1M_2}$ und dann seinen Betrag $d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$ .

$\overrightarrow{M_1M_2}=\begin{pmatrix}7\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}$

$d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{0^2+3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

$r_1=\sqrt{4}=2$ und $r_2=\sqrt{9}=3\;\;\Rightarrow\; r_1+r_2=2+3=5$

Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt $5$ und die Summe der beiden Kugelradien beträgt auch $5$ .

$d(M_1M_2)=r_1+r_2=5\;\; \Rightarrow\;\;$ Die beiden Kugeln berühren sich außen.

Berechnung von $B$

Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\vec{n}_0$

Dabei ist

$\vec{n}_0=\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}$

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\vec{n}_0=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}$

Dabei ist $r_{1} = 2$ , $\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=5$ und $\vec n_0=\dfrac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}$ .

$\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}7\\-2\\0\end{pmatrix}+2\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7+0\\[2ex]-2+\dfrac{6}{5}\\[2ex]0+\dfrac{8}{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\[2ex]-\dfrac{4}{5}\\[2ex]\dfrac{8}{5}\end{pmatrix}$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B\left(7\Big\vert -\dfrac{4}{5}\Big\vert \dfrac{8}{5}\right)$ .

Berechnung von $E_{T}$

Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors $\vec n_0$ und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt $B$ ) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von $\vec n_0$ erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

$\displaystyle E:\;(\vec x-\vec p)\circ \vec n_0$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $B$ und $\vec n_0$ ein.
$\displaystyle \left(\vec x-\begin{pmatrix}7\\[2ex]-\dfrac{4}{5}\\[2ex]\dfrac{8}{5}\end{pmatrix}\right)\circ \dfrac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Das ist die Hessesche Normalenform der Tangentialebene.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\[2ex]x_2\\[2ex]x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7\\[2ex]-\dfrac{4}{5}\\[2ex]\dfrac{8}{5}\end{pmatrix}\right)\circ \dfrac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Umwandlung in die Koordinatenform.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-7\\[2ex]x_2+\dfrac{4}{5}\\[2ex]x_3-\dfrac{8}{5}\end{pmatrix}\circ \dfrac{1}{5}\cdot\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle \dfrac{1}{5}\cdot\left((x_1-7)\cdot0+(x_2+\dfrac{4}{5})\cdot3+(x_3-\dfrac{8}{5})\cdot4\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle \dfrac{1}{5}\cdot\left(0+3x_2+\dfrac{12}{5}+4x_3-\dfrac{32}{5}\right))$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \dfrac{1}{5}\cdot\left(3x_2+4x_3-\dfrac{20}{5}\right))$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \dfrac{1}{5}\cdot\left(3x_2+4x_3-4\right))$	$=$	$\displaystyle 0$

Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene $E_{T}$ lautet: $\dfrac{1}{5}\cdot(3x_2+4x_3-4)=0$ bzw. Tangentialebene $E_{T}$ als Koordinatengleichung: $3 x_{2} + 4 x_{3} = 4$

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Kugeln berühren sich

Berechnung von BBB

Berechnung von ETE_TET​

Berechnung von $B$

Berechnung von $E_{T}$