Gegeben sind die Kugeln K1:x−7−202=4 und K2:x−7142=9
Zeige, dass sich die beiden Kugeln außen in einem Punkt B berühren und gib seine Koordinaten an. Bestimme auch die Tangentialebene ET der beiden Kugeln.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene
Kugeln berühren sich
Berechne den Vektor M1M2 und dann seinen Betrag d(M1M2)=M1M2.
M1M2=714−7−20=034
d(M1M2)=M1M2=02+32+42=25=5
r1=4=2 und r2=9=3⇒r1+r2=2+3=5
Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt 5 und die Summe der beiden Kugelradien beträgt auch 5.
d(M1M2)=r1+r2=5⇒ Die beiden Kugeln berühren sich außen.
Berechnung von B
Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:
OB=OM1+r1⋅n0
Dabei ist
n0=M1M2M1M2
OB=OM1+r1⋅n0=OM1+r1⋅M1M2M1M2
Dabei ist r1=2, M1M2=5 und n0=51⋅034.
OB=7−20+2⋅51⋅034=7+0−2+560+58=7−5458
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten B(7−5458).
Berechnung von ET
Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors n0 und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt B) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von n0 erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.
E:(x−p)∘n0 | = | 0 | |
↓ | Setze B und n0 ein. | ||
x−7−5458∘51⋅034 | = | 0 | |
↓ | Das ist die Hessesche Normalenform der Tangentialebene. | ||
x1x2x3−7−5458∘51⋅034 | = | 0 | |
↓ | Umwandlung in die Koordinatenform. | ||
x1−7x2+54x3−58∘51⋅034 | = | 0 | |
↓ | Berechne das Skalarprodukt. | ||
51⋅((x1−7)⋅0+(x2+54)⋅3+(x3−58)⋅4) | = | 0 | |
↓ | Löse die Klammern auf. | ||
51⋅(0+3x2+512+4x3−532)) | = | 0 | |
↓ | Vereinfache. | ||
51⋅(3x2+4x3−520)) | = | 0 | |
↓ | Vereinfache. | ||
51⋅(3x2+4x3−4)) | = | 0 |
Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene ET lautet: 51⋅(3x2+4x3−4)=0 bzw. Tangentialebene ET als Koordinatengleichung: 3x2+4x3=4
Wenn zwei Kugeln sich außen berühren sollen, dann muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte gleich der Summe der beiden Kugelradien sein.
Zur Berechnung des Berührpunktes erstellst du eine Vektorgleichung OB=OM1+r1⋅n0 mit n0=M1M2M1M2.
Für die Berechnung der Tangentialebene ET benutze den Vektor n0 und einen Punkt der Ebene (hier den Berührpunkt B).