Aufgaben mit zwei Kugeln - lernen mit Serlo!

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Gegeben sind die Kugeln $K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 0 \end{array}))}^{2} = 4$ und $K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 4 \end{array}))}^{2} = 9$

Zeige, dass sich die beiden Kugeln außen in einem Punkt $B$ berühren und gib seine Koordinaten an. Bestimme auch die Tangentialebene $E_{T}$ der beiden Kugeln.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene

Kugeln berühren sich

Berechne den Vektor $\vec{M_{1} M_{2}}$ und dann seinen Betrag $d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} |$ .

$\vec{M_{1} M_{2}} = (\begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array})$

$d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} | = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$

$r_{1} = \sqrt{4} = 2$ und $r_{2} = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow r_{1} + r_{2} = 2 + 3 = 5$

Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt $5$ und die Summe der beiden Kugelradien beträgt auch $5$ .

$d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2} = 5 \Rightarrow$ Die beiden Kugeln berühren sich außen.

Berechnung von $B$

Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:

$\vec{O B} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot {\vec{n}}_{0}$

Dabei ist

${\vec{n}}_{0} = \frac{\vec{M_{1} M_{2}}}{| \vec{M_{1} M_{2}} |}$

$\vec{O B} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot {\vec{n}}_{0} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot \frac{\vec{M_{1} M_{2}}}{| \vec{M_{1} M_{2}} |}$

Dabei ist $r_{1} = 2$ , $| \vec{M_{1} M_{2}} | = 5$ und ${\vec{n}}_{0} = \frac{1}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array})$ .

$\vec{O B} = (\begin{array}{c} 7 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) + 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 + 0 \\ - 2 + \frac{6}{5} \\ 0 + \frac{8}{5} \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ - \frac{4}{5} \\ \frac{8}{5} \end{array})$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (7 | - \frac{4}{5} | \frac{8}{5})$ .

Berechnung von $E_{T}$

Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors ${\vec{n}}_{0}$ und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt $B$ ) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von ${\vec{n}}_{0}$ erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

$E : (\vec{x} - \vec{p}) \circ {\vec{n}}_{0}$	$=$	$0$
	↓	Setze $B$ und ${\vec{n}}_{0}$ ein.
$(\vec{x} - (\begin{array}{c} 7 \\ - \frac{4}{5} \\ \frac{8}{5} \end{array})) \circ \frac{1}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Das ist die Hessesche Normalenform der Tangentialebene.
$((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 7 \\ - \frac{4}{5} \\ \frac{8}{5} \end{array})) \circ \frac{1}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Umwandlung in die Koordinatenform.
$(\begin{array}{c} x_{1} - 7 \\ x_{2} + \frac{4}{5} \\ x_{3} - \frac{8}{5} \end{array}) \circ \frac{1}{5} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 4 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\frac{1}{5} \cdot ((x_{1} - 7) \cdot 0 + (x_{2} + \frac{4}{5}) \cdot 3 + (x_{3} - \frac{8}{5}) \cdot 4)$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\frac{1}{5} \cdot (0 + 3 x_{2} + \frac{12}{5} + 4 x_{3} - \frac{32}{5}))$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$\frac{1}{5} \cdot (3 x_{2} + 4 x_{3} - \frac{20}{5}))$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$\frac{1}{5} \cdot (3 x_{2} + 4 x_{3} - 4))$	$=$	$0$

Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene $E_{T}$ lautet: $\frac{1}{5} \cdot (3 x_{2} + 4 x_{3} - 4) = 0$ bzw. Tangentialebene $E_{T}$ als Koordinatengleichung: $3 x_{2} + 4 x_{3} = 4$

Wenn zwei Kugeln sich außen berühren sollen, dann muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte gleich der Summe der beiden Kugelradien sein.

Zur Berechnung des Berührpunktes erstellst du eine Vektorgleichung $\vec{O B} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot {\vec{n}}_{0}$ mit ${\vec{n}}_{0} = \frac{\vec{M_{1} M_{2}}}{| \vec{M_{1} M_{2}} |}$ .

Für die Berechnung der Tangentialebene $E_{T}$ benutze den Vektor ${\vec{n}}_{0}$ und einen Punkt der Ebene (hier den Berührpunkt $B$ ).

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→ Was bedeutet das?

Kugeln berühren sich

Berechnung von B

Berechnung von ET

Berechnung von $B$

Berechnung von $E_{T}$