Aufgaben mit zwei Kugeln - lernen mit Serlo!

Zwei Kugeln berühren sich außen in Punkt $B (1 | - 1 | 1)$ . Die Kugelradien sind $r_{1} = 2$ und $r_{2} = 4$ . Die Verbindungsgerade der beiden Kugelmittelpunkte $M_{1}$ und $M_{2}$ hat den Richtungsvektor ${\vec{v}}_{M_{1} M_{2}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$ . Bestimme die Kugelgleichungen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zwei Kugeln mit gemeinsamen äußeren Berührpunkt

Die beiden sich außen berührenden Kugeln können auf zwei verschiedene Arten angeordnet sein.

Fall 1: Die größere Kugel liegt rechts von der kleineren Kugel.

Fall 2: Die größere Kugel liegt links von der kleineren Kugel.

Lösung für den Fall 1

Die Berechnung der beiden Kugelmittelpunkte erfolgt mit Hilfe einer Vektorgleichung.

Der Abbildung kannst du folgende Vektorgleichungen entnehmen.

$(I) : \vec{O M_{2}} = \vec{O B} + \vec{B M_{2}}$ und $(I I) : \vec{O M_{1}} = \vec{O B} + \vec{B M_{1}}$

Dabei ist der Vektor $\vec{O B} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ gegeben. Die beiden Vektoren $\vec{B M_{2}}$ bzw. $\vec{B M_{1}}$ müssen berechnet werden.

Zwei Kugeln mit Berührpunkt außen-Vektorgleichung 1

Berechnung von $\vec{B M_{2}}$ für Kugel $K_{2}$

Aus dem gegebenen Richtungsvektor ${\vec{v}}_{M_{1} M_{2}} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$ erstellst du einen Einheitsvektor ${\vec{n}}_{0} = \frac{{\vec{v}}_{M_{1} M_{2}}}{| {\vec{v}}_{M_{1} M_{2}} |}$ . Dazu muss der Betrag von ${\vec{v}}_{M_{1} M_{2}}$ berechnet werden:

$| {\vec{v}}_{M_{1} M_{2}} | = \sqrt{(- 1)^{2} + 2^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{9} = 3 \Rightarrow {\vec{n}}_{0} = \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$

Für den Vektor $\vec{B M_{2}}$ gilt mit dem berechneten Einheitsvektor ${\vec{n}}_{0}$ und $r_{2} = 4$ :

$\vec{B M_{2}} = r_{2} \cdot {\vec{n}}_{0} = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) = \frac{4}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$

Berechnung von $\vec{O M_{2}}$

$\vec{O M_{2}} = \vec{O B} + \vec{B M_{2}}$

$\vec{O M_{2}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + \frac{4}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 - \frac{4}{3} \\ - 1 + \frac{8}{3} \\ 1 - \frac{8}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \\ - \frac{5}{3} \end{array})$

Der Mittelpunkt der Kugel $K_{2}$ hat die Koordinaten:

$M_{2} (- \frac{1}{3} | \frac{5}{3} | - \frac{5}{3})$ .

Berechnung von $\vec{B M_{1}}$ für Kugel $K_{1}$

Für den Vektor $\vec{B M_{1}}$ gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor $(- {\vec{n}}_{0})$ und $r_{1} = 2$ :

$\vec{B M_{1}} = r_{1} \cdot (- {\vec{n}}_{0}) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$

Berechnung von $\vec{O M_{1}}$

$\vec{O M_{1}} = \vec{O B} + \vec{B M_{1}}$

$\vec{O M_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \\ - 1 - \frac{4}{3} \\ 1 + \frac{4}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ \frac{7}{3} \end{array})$

Der Mittelpunkt der Kugel $K_{1}$ hat die Koordinaten:

$M_{1} (\frac{5}{3} | - \frac{7}{3} | \frac{7}{3})$ .

Antwort: Damit können die beiden Kugelgleichungen angegeben werden:

$K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} \frac{5}{3} \\ - \frac{7}{3} \\ \frac{7}{3} \end{array}))}^{2} = 2^{2} = 4$ und

$K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ \frac{5}{3} \\ - \frac{5}{3} \end{array}))}^{2} = 4^{2} = 16$

Lösung für den Fall 2

Der Abbildung kannst du folgende Vektorgleichungen entnehmen.

$(I) : \vec{O M_{2}^{'}} = \vec{O B} + \vec{B M_{2}^{'}}$ und $(I I) : \vec{O M_{1}^{'}} = \vec{O B} + \vec{B M_{1}^{'}}$

Dabei ist der Vektor $\vec{O B} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ gegeben. Die beiden Vektoren $\vec{B M_{2}^{'}}$ bzw. $\vec{B M_{1}^{'}}$ müssen berechnet werden.

Zwei Kugeln mit Berührpunkt außen-Vektorgleichung 2

Berechnung von $\vec{B M_{2}^{'}}$ für Kugel $K_{2}$

Für den Vektor $\vec{B M_{2}^{'}}$ gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor $(- {\vec{n}}_{0})$ und $r_{2} = 4$ :

$\vec{B M_{2}^{'}} = r_{2} \cdot (- {\vec{n}}_{0}) = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = \frac{4}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array})$

Berechnung von $\vec{O M_{2}^{'}}$

$\vec{O M_{2}^{'}} = \vec{O B} + \vec{B M_{2}^{'}}$

$\vec{O M_{2}^{'}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + \frac{4}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{3} \\ - 1 - \frac{8}{3} \\ 1 + \frac{8}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{7}{3} \\ - \frac{11}{3} \\ \frac{11}{3} \end{array})$

Der Mittelpunkt der Kugel $K_{2}$ hat die Koordinaten:

$M_{2}^{'} (\frac{7}{3} | - \frac{11}{3} | \frac{11}{3})$ .

Berechnung von $\vec{B M_{1}^{'}}$ für Kugel $K_{1}$

Für den Vektor $\vec{B M_{1}^{'}}$ gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor ${\vec{n}}_{0}$ und $r_{1} = 2$ :

$\vec{B M_{1}^{'}} = r_{1} \cdot {\vec{n}}_{0} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) = \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array})$

Berechnung von $\vec{O M_{1}^{'}}$

$\vec{O M_{1}^{'}} = \vec{O B} + \vec{B M_{1}^{'}}$

$\vec{O M_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) + \frac{2}{3} \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \\ - 1 + \frac{4}{3} \\ 1 - \frac{4}{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} \end{array})$

Der Mittelpunkt der Kugel $K_{1}$ hat die Koordinaten:

$M_{1} (\frac{1}{3} | \frac{1}{3} | - \frac{1}{3})$ .

Antwort: Damit können die beiden Kugelgleichungen angegeben werden

$K_{1}^{'} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} \end{array}))}^{2} = 2^{2} = 4$ und

$K_{2}^{'} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} \frac{7}{3} \\ - \frac{11}{3} \\ \frac{11}{3} \end{array}))}^{2} = 4^{2} = 16$

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Lösung für den Fall 1

Berechnung von BM2→ für Kugel K2

Berechnung von OM2→

Berechnung von BM1→ für Kugel K1

Berechnung von OM1→

Lösung für den Fall 2

Berechnung von BM2′→ für Kugel K2

Berechnung von OM2′→

Berechnung von BM1′→ für Kugel K1

Berechnung von OM1′→