Die beiden sich außen berührenden Kugeln können auf zwei verschiedene Arten angeordnet sein.

Fall 1: Die größere Kugel liegt rechts von der kleineren Kugel.

Fall 2: Die größere Kugel liegt links von der kleineren Kugel.

Lösung für den Fall 1

Berechnung von $\overrightarrow{BM_2}$ für Kugel $K_2$

Aus dem gegebenen Richtungsvektor $\vec v_{M_1M_2}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}$ erstellst du einen Einheitsvektor $\vec n_0=\dfrac{\vec v_{M_1M_2}}{|\vec v_{M_1M_2}|}$. Dazu muss der Betrag von $\vec v_{M_1M_2}$ berechnet werden:

$|\vec v_{M_1M_2}|=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3\;\Rightarrow\;\vec n_0=\dfrac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}$

Für den Vektor $\overrightarrow{BM_2}$ gilt mit dem berechneten Einheitsvektor $\vec n_0$ und $r_2=4$:

$\overrightarrow{BM_2}=r_2 \cdot \vec n_0=4\cdot\dfrac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}=\dfrac{4}{3}\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}$

Berechnung von $\overrightarrow{OM_2}$

$\overrightarrow{OM_2}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM_2}$

$\overrightarrow{OM_2}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+\dfrac{4}{3}\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\dfrac{4}{3}\\[2ex]-1+\dfrac{8}{3}\\[2ex]1-\dfrac{8}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3}\\[2ex]\dfrac{5}{3}\\[2ex]-\dfrac{5}{3}\end{pmatrix}$

Der Mittelpunkt der Kugel $K_2$ hat die Koordinaten:

$M_2\left(-\dfrac{1}{3}\Big\vert\dfrac{5}{3}\Big\vert-\dfrac{5}{3}\right)$.

Berechnung von $\overrightarrow{BM_1}$ für Kugel $K_1$

Für den Vektor $\overrightarrow{BM_1}$ gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor $(-\vec n_0)$ und $r_1=2$:

$\overrightarrow{BM_1}=r_1 \cdot (-\vec n_0)=2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}=\dfrac{2}{3}\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$

Berechnung von $\overrightarrow{OM_1}$

$\overrightarrow{OM_1}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM_1}$

$\overrightarrow{OM_1}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+\dfrac{2}{3}\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\dfrac{2}{3}\\[2ex]-1-\dfrac{4}{3}\\[2ex]1+\dfrac{4}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{3}\\[2ex]-\dfrac{7}{3}\\[2ex]\dfrac{7}{3}\end{pmatrix}$

Der Mittelpunkt der Kugel $K_1$ hat die Koordinaten:

$M_1\left(\dfrac{5}{3}\Big\vert-\dfrac{7}{3}\Big\vert\dfrac{7}{3}\right)$.

Antwort: Damit können die beiden Kugelgleichungen angegeben werden:

$K_1:\; \left(\vec x-\begin{pmatrix}\dfrac{5}{3}\\[2ex]-\dfrac{7}{3}\\[2ex]\dfrac{7}{3}\end{pmatrix}\right)^2=2^2=4$ und

$K_2:\; \left(\vec x-\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3}\\[2ex]\dfrac{5}{3}\\[2ex]-\dfrac{5}{3}\end{pmatrix}\right)^2=4^2=16$

Lösung für den Fall 2

Berechnung von $\overrightarrow{BM_2'}$ für Kugel $K_2$

Für den Vektor $\overrightarrow{BM_2'}$ gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor $(-\vec n_0)$ und $r_2=4$:

$\overrightarrow{BM_2'}=r_2 \cdot(-\vec n_0)=4\cdot\dfrac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}=\dfrac{4}{3}\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$

Berechnung von $\overrightarrow{OM_2'}$

$\overrightarrow{OM_2'}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM_2'}$

$\overrightarrow{OM_2'}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+\dfrac{4}{3}\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\dfrac{4}{3}\\[2ex]-1-\dfrac{8}{3}\\[2ex]1+\dfrac{8}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{3}\\[2ex]-\dfrac{11}{3}\\[2ex]\dfrac{11}{3}\end{pmatrix}$

Der Mittelpunkt der Kugel $K_2$ hat die Koordinaten:

$M_2'\left(\dfrac{7}{3}\Big\vert-\dfrac{11}{3}\Big\vert\dfrac{11}{3}\right)$.

Berechnung von $\overrightarrow{BM_1'}$ für Kugel $K_1$

Für den Vektor $\overrightarrow{BM_1'}$ gilt mit dem oben berechneten Einheitsvektor $\vec n_0$ und $r_1=2$:

$\overrightarrow{BM_1'}=r_1 \cdot \vec n_0=2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}=\dfrac{2}{3}\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}$

Berechnung von $\overrightarrow{OM_1'}$

$\overrightarrow{OM_1'}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM_1'}$

$\overrightarrow{OM_1}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}+\dfrac{2}{3}\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-\dfrac{2}{3}\\[2ex]-1+\dfrac{4}{3}\\[2ex]1-\dfrac{4}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}\\[2ex]\dfrac{1}{3}\\[2ex]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$

Der Mittelpunkt der Kugel $K_1$ hat die Koordinaten:

$M_1\left(\dfrac{1}{3}\Big\vert\dfrac{1}{3}\Big\vert-\dfrac{1}{3}\right)$.

Antwort: Damit können die beiden Kugelgleichungen angegeben werden

$K_1':\; \left(\vec x-\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}\\[2ex]\dfrac{1}{3}\\[2ex]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\right)^2=2^2=4$ und

$K_2':\; \left(\vec x-\begin{pmatrix}\dfrac{7}{3}\\[2ex]-\dfrac{11}{3}\\[2ex]\dfrac{11}{3}\end{pmatrix}\right)^2=4^2=16$