Zwei Kugeln berühren sich außen in Punkt B(1∣−1∣1). Die Kugelradien sind r1=2 und r2=4. Die Verbindungsgerade der beiden Kugelmittelpunkte M1 und M2 hat den Richtungsvektor vM1M2=−12−2. Bestimme die Kugelgleichungen.
Die beiden sich außen berührenden Kugeln können auf zwei verschiedene Arten angeordnet sein.
Fall 1: Die größere Kugel liegt rechts von der kleineren Kugel.
Fall 2: Die größere Kugel liegt links von der kleineren Kugel.
Lösung für den Fall 1
Die Berechnung der beiden Kugelmittelpunkte erfolgt mit Hilfe einer Vektorgleichung.
Der Abbildung kannst du folgende Vektorgleichungen entnehmen.
(I):OM2=OB+BM2 und (II):OM1=OB+BM1
Dabei ist der Vektor OB=1−11gegeben. Die beiden Vektoren BM2 bzw. BM1 müssen berechnet werden.
Berechnung von BM2 für Kugel K2
Aus dem gegebenen Richtungsvektor vM1M2=−12−2 erstellst du einen Einheitsvektorn0=∣vM1M2∣vM1M2. Dazu muss der Betrag von vM1M2 berechnet werden:
∣vM1M2∣=(−1)2+22+(−2)2=9=3⇒n0=31⋅−12−2
Für den Vektor BM2 gilt mit dem berechneten Einheitsvektor n0 und r2=4:
Der Mittelpunkt der Kugel K1 hat die Koordinaten:
M1(3131−31).
Antwort: Damit können die beiden Kugelgleichungen angegeben werden
K1′:x−3131−312=22=4 und
K2′:x−37−3113112=42=16
Die beiden sich außen berührenden Kugeln können auf zwei verschiedene Arten angeordnet werden, d.h. es gibt insgesamt vier Kugelgleichungen zu bestimmen.
Die Berechnung der beiden Kugelmittelpunkte erfolgt mit Hilfe einer Vektorgleichung.
(I):OM2=OB+BM2 und (II):OM1=OB+BM1
Dabei ist der Vektor OB gegeben und die beiden Vektoren BM2 bzw. BM1 müssen berechnet werden.
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