Aufgaben mit zwei Kugeln - lernen mit Serlo!

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Gegeben sind die Kugeln $K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ 5 \end{array}))}^{2} = 1600$ und

$K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 7 \end{array}))}^{2} = 729$

Zeige, dass sich die beiden Kugeln innen in einem Punkt $B$ berühren und gib seine Koordinaten an. Bestimme auch die Tangentialebene $E_{T}$ der beiden Kugeln.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene

Kugeln berühren sich

Berechne den Vektor $\vec{M_{1} M_{2}}$ und dann seinen Betrag $d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} |$ .

$\vec{M_{1} M_{2}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ - 7 \end{array}) - (\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ - 12 \end{array})$

$d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} | = \sqrt{(- 5)^{2} + 0^{2} + (- 12)^{2}} = \sqrt{169} = 13$

$r_{1} = \sqrt{1600} = 40$ und $r_{2} = \sqrt{729} = 27 \Rightarrow | r_{1} - r_{2} | = | 40 - 27 | = 13$

Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt $13$ und die Differenz der beiden Kugelradien beträgt auch $13$ .

$d (M_{1} M_{2}) = | r_{1} - r_{2} | = 13 \Rightarrow$ Die beiden Kugeln berühren sich innen.

Berechnung von $B$

Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:

$\vec{O B} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot {\vec{n}}_{0}$

Dabei ist

${\vec{n}}_{0} = \frac{\vec{M_{1} M_{2}}}{| \vec{M_{1} M_{2}} |}$

$\vec{O B} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot {\vec{n}}_{0} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot \frac{\vec{M_{1} M_{2}}}{| \vec{M_{1} M_{2}} |}$

Dabei ist $r_{1} = 40$ , $| \vec{M_{1} M_{2}} | = 13$ und ${\vec{n}}_{0} = \frac{1}{13} \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ - 12 \end{array})$ .

$\vec{O B} = (\begin{array}{c} 8 \\ 1 \\ 5 \end{array}) + 40 \cdot \frac{1}{13} \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ - 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 8 - \frac{200}{13} \\ 1 + 0 \\ 5 - \frac{480}{13} \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{96}{13} \\ 1 \\ - \frac{415}{13} \end{array})$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (- \frac{96}{13} | 1 | - \frac{415}{13})$ .

Berechnung von $E_{T}$

Mit dem eben berechneten Einheitsvektor ${\vec{n}}_{0} = \frac{1}{13} \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ - 12 \end{array})$ und dem Berührpunkt $B (- \frac{96}{13} | 1 | - \frac{415}{13})$ , der ein Punkt der Ebene $E_{T}$ ist, kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden.

Hinweis: Bei Verwendung des Einheitsvektors erhält man die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

$(\vec{x} - \vec{b}) \circ {\vec{n}}_{0}$	$=$	$0$
	↓	Setze $B$ und ${\vec{n}}_{0}$ ein.
$E_{T} : (\vec{x} - (\begin{array}{c} - \frac{96}{13} \\ 1 \\ - \frac{415}{13} \end{array})) \circ \frac{1}{13} \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ - 12 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Das ist die Hessesche Normalenform der Ebene.
$(\begin{array}{c} x_{1} + \frac{96}{13} \\ x_{2} - 1 \\ x_{3} + \frac{415}{13} \end{array}) \circ \frac{1}{13} \cdot (\begin{array}{c} - 5 \\ 0 \\ - 12 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Für die Umwandlung in die Koordinatenform berechne das Skalarprodukt.
$\frac{1}{13} \cdot ((x_{1} + \frac{96}{13}) \cdot (- 5) + (x_{2} - 1) \cdot 0 + (x_{3} + \frac{415}{13}) \cdot (- 12))$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\frac{1}{13} \cdot (- 5 x_{1} - \frac{480}{13} + 0 - 12 x_{3} - \frac{4980}{13})$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$\frac{1}{13} \cdot (- 5 x_{1} - 12 x_{3} - \frac{5460}{13})$	$=$	$0$
	↓	Vereinfache.
$\frac{1}{13} \cdot (- 5 x_{1} - 12 x_{3} - 420)$	$=$	$0$

Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene $E_{T}$ lautet: $\frac{1}{13} \cdot (- 5 x_{1} - 12 x_{3} - 420) = 0$ oder nur als Koordinatenform $E_{T} : 5 x_{1} + 12 x_{3} = - 420$ .

Wenn zwei Kugeln sich innen berühren sollen, dann muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte gleich dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien sein.

Zur Berechnung des Berührpunktes erstellst du eine Vektorgleichung $\vec{O B} = \vec{O M_{1}} + r_{1} \cdot {\vec{n}}_{0}$ mit ${\vec{n}}_{0} = \frac{\vec{M_{1} M_{2}}}{| \vec{M_{1} M_{2}} |}$ . ${\vec{n}}_{0}$ ist ein Einheitsvektor.

Für die Berechnung der Tangentialebene $E_{T}$ benutze den Vektor ${\vec{n}}_{0}$ und den berechneten Berührpunkt $B$ .

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→ Was bedeutet das?

Kugeln berühren sich

Berechnung von B

Berechnung von ET

Berechnung von $B$

Berechnung von $E_{T}$