Aufgaben mit zwei Kugeln - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Kugeln $K_1: \left(\vec x-\begin{pmatrix}8\\1\\5\end{pmatrix}\right)^2=1600$ und

$K_2: \left(\vec x-\begin{pmatrix}3\\1\\-7\end{pmatrix}\right)^2=729$

Zeige, dass sich die beiden Kugeln innen in einem Punkt $B$ berühren und gib seine Koordinaten an. Bestimme auch die Tangentialebene $E_T$ der beiden Kugeln.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene

Kugeln berühren sich

Berechne den Vektor $\overrightarrow{M_1M_2}$ und dann seinen Betrag $d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$ .

$\overrightarrow{M_1M_2}=\begin{pmatrix}3\\1\\-7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\1\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\0\\-12\end{pmatrix}$

$d(M_1M_2)=\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{(-5)^2+0^2+(-12)^2}=\sqrt{169}=13$

$r_1=\sqrt{1600}=40$ und $r_2=\sqrt{729}=27\;\;\Rightarrow\; |r_1-r_2|=|40-27|=13$

Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt $13$ und die Differenz der beiden Kugelradien beträgt auch $13$ .

$d(M_1M_2)=|r_1-r_2|=13\;\; \Rightarrow\;\;$ Die beiden Kugeln berühren sich innen.

Berechnung von $B$

Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\vec{n}_0$

Dabei ist

$\vec{n}_0=\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}$

$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\vec{n}_0=\overrightarrow{OM_1}+r_1\cdot\dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert}$

Dabei ist $r_1=40$ , $\Big\vert \overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=13$ und $\vec n_0=\dfrac{1}{13}\cdot\begin{pmatrix}-5\\0\\-12\end{pmatrix}$ .

$\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}8\\1\\5\end{pmatrix}+40\cdot\dfrac{1}{13}\cdot\begin{pmatrix}-5\\0\\-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-\dfrac{200}{13}\\[2ex]1+0\\[2ex]5-\dfrac{480}{13}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{96}{13}\\[2ex]1\\[2ex]-\dfrac{415}{13}\end{pmatrix}$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B\left(-\dfrac{96}{13}\Big\vert 1\Big\vert -\dfrac{415}{13}\right)$ .

Berechnung von $E_T$

Mit dem eben berechneten Einheitsvektor $\vec n_0=\dfrac{1}{13}\cdot\begin{pmatrix}-5\\0\\-12\end{pmatrix}$ und dem Berührpunkt $B\left(-\dfrac{96}{13}\Big\vert 1\Big\vert -\dfrac{415}{13}\right)$ , der ein Punkt der Ebene $E_T$ ist, kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden.

Hinweis: Bei Verwendung des Einheitsvektors erhält man die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.

$\displaystyle (\vec{x}-\vec{b})\circ\vec{n}_0$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $B$ und $\vec{n}_0$ ein.
$\displaystyle E_T:\;\left(\vec x-\begin{pmatrix}-\dfrac{96}{13}\\[2ex]1\\[2ex]-\dfrac{415}{13}\end{pmatrix}\right)\circ \dfrac{1}{13}\cdot\begin{pmatrix}-5\\[2ex]0\\[2ex]-12\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Das ist die Hessesche Normalenform der Ebene.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1+\dfrac{96}{13}\\[2ex]x_2-1\\[2ex]x_3+\dfrac{415}{13}\end{pmatrix}\circ \dfrac{1}{13}\cdot\begin{pmatrix}-5\\[2ex]0\\[2ex]-12\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Für die Umwandlung in die Koordinatenform berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle \dfrac{1}{13}\cdot((x_1+\dfrac{96}{13})\cdot(-5)+(x_2-1)\cdot 0+(x_3+\dfrac{415}{13})\cdot(-12))$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle \dfrac{1}{13}\cdot(-5x_1-\dfrac{480}{13}+0-12x_3-\dfrac{4980}{13})$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \dfrac{1}{13}\cdot(-5x_1-12x_3-\dfrac{5460}{13})$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \dfrac{1}{13}\cdot(-5x_1-12x_3-420)$	$=$	$\displaystyle 0$

Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene $E_T$ lautet: $\dfrac{1}{13}\cdot(-5x_1-12x_3-420)=0$ oder nur als Koordinatenform $E_T:\;5x_1+12x_3=-420$ .

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Kugeln berühren sich

Berechnung von BBB

Berechnung von ETE_TET​

Berechnung von $B$

Berechnung von $E_T$