Aufgaben mit zwei Kugeln - lernen mit Serlo!

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Gegeben sind zwei Kugeln $K_{1}$ mit $M_{1} (2 | 4 | 5)$ und $r_{1} = 3$ und $K_{2}$ mit $M_{2} (1 | - 2 | 4)$ und $r_{2} = 5$ .

Zeige, dass die beiden Kugeln $K_{1}$ und $K_{2}$ sich schneiden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Lagebeziehung der beiden Kugeln
Gegeben sind die beiden Kugelradien: $r_{1} = 3$ und $r_{2} = 5$
Berechne:
$| r_{1} - r_{2} | = | 3 - 5 | = | - 2 | = 2$
$d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} |$
$r_{1} + r_{2} = 3 + 5 = 8$
Zu 2. Berechne den Vektor $\vec{M_{1} M_{2}} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 6 \\ - 1 \end{array})$
Berechne $d (M_{1} M_{2}) = | \vec{M_{1} M_{2}} | = \sqrt{(- 1)^{2} + (- 6)^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{38} \approx 6,2$
Setze die berechneten Werte in die Schnittpunktsbedingung ein:
$| r_{1} - r_{2} | < d (M_{1} M_{2}) < r_{1} + r_{2} \Rightarrow 2 < 6,2 < 8$
Antwort: Die Schnittpunktsbedingung ist erfüllt, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich.
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Ist der Betrag der Differenz der beiden Kugelradien kleiner als der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte und dieser Abstand wiederum kleiner als die Summe der beiden Kugelradien, dann schneiden sich die beiden Kugeln.
Schnittpunktsbedingung: $| r_{1} - r_{2} | < d (M_{1} M_{2}) < r_{1} + r_{2}$

Bestimme eine Gleichung der Schnittebene $E$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichungen

Kugel $K_{1}$ :

$M_{1} (2 | 4 | 5)$ , $r_{1} = 3$

$K_{1} : (\vec{x} - \vec{m_{1}})^{2} = {r_{1}}^{2}$

Setze $M_{1}$ und $r_{1}$ in $K$ ein.
	↓
$K_{1} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}))}^{2}$	$=$	$3^{2}$
	↓	Vereinfache.
${((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}))}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Fasse zusammen.
${(\begin{array}{c} x_{1} - 2 \\ x_{2} - 4 \\ x_{3} - 5 \end{array})}^{2}$	$=$	$9$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus.
$(x_{1} - 2)^{2} + (x_{2} - 4)^{2} + (x_{3} - 5)^{2}$	$=$	$9$
	↓	Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$x_{1}^{2} - 4 x_{1} + 4 + x_{2}^{2} - 8 x_{2} + 16 + x_{3}^{2} - 10 x_{3} + 25$	$=$	$9$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 x_{1} - 8 x_{2} - 10 x_{3} + 45$	$=$	$9$	$- 45$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 x_{1} - 8 x_{2} - 10 x_{3}$	$=$	$- 36$

Antwort: Die Gleichung der Kugel $K_{1}$ lautet: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 x_{1} - 8 x_{2} - 10 x_{3} = - 36$

Kugel $K_{2}$ :

$M_{2} (1 | - 2 | 4)$ , $r_{2} = 5$

$K_{2} : (\vec{x} - \vec{m_{2}})^{2} = {r_{2}}^{2}$

Setze $M_{2}$ und $r_{2}$ in $K$ ein.
	↓
$K_{2} : {(\vec{x} - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 4 \end{array}))}^{2}$	$=$	$5^{2}$
	↓	Vereinfache.
${((\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 4 \end{array}))}^{2}$	$=$	$25$
	↓	Fasse zusammen.
${(\begin{array}{c} x_{1} - 1 \\ x_{2} + 2 \\ x_{3} - 4 \end{array})}^{2}$	$=$	$25$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus.
$(x_{1} - 1)^{2} + (x_{2} + 2)^{2} + (x_{3} - 4)^{2}$	$=$	$25$
	↓	Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$x_{1}^{2} - 2 x_{1} + 1 + x_{2}^{2} + 4 x_{2} + 4 + x_{3}^{2} - 8 x_{3} + 16$	$=$	$25$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 2 x_{1} + 4 x_{2} - 8 x_{3} + 21$	$=$	$25$	$- 21$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 2 x_{1} + 4 x_{2} - 8 x_{3}$	$=$	$4$

Antwort: Die Gleichung der Kugel $K_{2}$ lautet: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 2 x_{1} + 4 x_{2} - 8 x_{3} = 4$

Schnitt der beiden Kugeln berechnen

Die Kugel $1$ entspricht Gleichung $(I)$ und die Kugel $2$ entspricht Gleichung $(I I)$ . Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen.

Berechne die Differenz der beiden Gleichungen.

$\begin{array}{l} \begin{array}{cccccccl} (I) : & x_{1}^{2} & + & x_{2}^{2} & + & x_{3}^{2} & - & 4 x_{1} & - & 8 x_{2} & - & 10 x_{3} & = & - 36 \\ - (I I) : & x_{1}^{2} & + & x_{2}^{2} & + & x_{3}^{2} & - & 2 x_{1} & + & 4 x_{2} & - & 8 x_{3} & = & 4 \end{array} \\ 0 + 0 + 0 - 2 x_{1} - 12 x_{2} - 2 x_{3} = - 40 \end{array}$

$- 2 x_{1} - 12 x_{2} - 2 x_{3}$	$=$	$- 40$	$: (- 2)$
$x_{1} + 6 x_{2} + x_{3}$	$=$	$20$

Antwort: Die Gleichung der Schnittebene lautet $E : x_{1} + 6 x_{2} + x_{3} = 20$ .

Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Dargestellt sind die Kugeln $K_{1}$ mit Mittelpunkt $M_{1}$ und $K_{2}$ mit Mittelpunkt $M_{2}$ .

Die Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis (rot), der den Mittelpunkt $M^{'}$ und den Radius $r^{'}$ hat. Der Schnittkreis liegt in der Schnittebene $E$ .

Zwei Kugeln mit Schnittebene und Schnittkreis

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Erstelle von beiden Kugeln die Vektorgleichung und wandle sie in eine Koordinatendarstellung um. Die Differenz der beiden Kugelgleichungen liefert die Gleichung der gesuchten Schnittebene $E$ .

Berechne den Mittelpunkt $M^{'}$ des Schnittkreises der beiden Kugeln und den Schnittkreisradius $r^{'}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenseitige Lage zweier Kugeln

Berechnung des Mittelpunkt $M^{'}$

Stelle die Gleichung der Lotgeraden $g_{L o t}$ durch den Mittelpunkt $M_{1}$ auf die Ebene $E$ auf.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M_{1}$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$ : $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 1 \end{array})$

$g_{L o t} : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 1 \end{array})$

oder

$g_{L o t} : \vec{X} = (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 + t \\ 4 + 6 t \\ 5 + t \end{array})$

Berechne den Mittelpunkt $M^{'}$ , indem du die Lotgerade $g_{L o t}$ mit der Ebene $E$ schneidest:

$ g_{L o t} \cap E $
	↓
$E : x_{1} + 6 x_{2} + x_{3}$	$=$	$20$
	↓	Setze $x_{1} = 2 + t$ , $x_{2} = 4 + 6 t$ , $x_{3} = 5 + t$ in $E$ ein.
$(2 + t) + 6 \cdot (4 + 6 t) + (5 + t)$	$=$	$20$
	↓	Löse die Klammern auf.
$2 + t + 24 + 36 t + 5 + t$	$=$	$20$
	↓	Fasse zusammen.
$38 t + 31$	$=$	$20$	$- 31$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$38 t$	$=$	$- 11$	$: 38$
$t$	$=$	$- \frac{11}{38}$

Zur Berechnung des Mittelpunktes $M^{'}$ setzt du $t = - \frac{11}{38}$ in die Gleichung der Lotgeraden ein.

${\vec{X}}_{M^{'}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}) - \frac{11}{38} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 - \frac{11}{38} \\ 4 - \frac{66}{38} \\ 5 - \frac{11}{38} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{65}{38} \\ \frac{43}{19} \\ \frac{179}{38} \end{array})$

Antwort: Der Mittelpunkt $M^{'}$ hat die Koordinaten $M^{'} (\frac{65}{38} | \frac{43}{19} | \frac{179}{38})$ .

Berechnung des Schnittkreisradius $r^{'}$

In der Abbildung ist nur die Kugel $K_{1}$ dargestellt.

Den Schnittkreisradius $r^{'}$ kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand $d$ der Ebene $E$ vom Mittelpunkt $M_{1}$ ist der Betrag des Vektors $\vec{M_{1} M^{'}}$ und der Kugelradius von $K_{1}$ ist $r = 3$ .

Kugel K1 mit Schnittebene, Mittelpunkt M' und r'

Berechne zuerst den Vektor $\vec{M_{1} M^{'}}$ und dann dessen Betrag.

$\vec{M_{1} M^{'}} = (\begin{array}{c} \frac{65}{38} \\ \frac{43}{19} \\ \frac{179}{38} \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - \frac{11}{38} \\ - \frac{33}{19} \\ - \frac{11}{38} \end{array})$

$d = | \vec{M_{1} M^{'}} | = \sqrt{{(- \frac{11}{38})}^{2} + {(- \frac{33}{19})}^{2} + {(- \frac{11}{38})}^{2}} = \sqrt{\frac{121}{38}} \approx 1,78$

$r^{2}$	$=$	$d^{2} + r^{' 2}$
	↓	Nach $r^{'}$ auflösen.
$r^{'}$	$=$	$\sqrt{r^{2} - d^{2}}$
	↓	Setze $r = 3$ und $d = \sqrt{\frac{121}{38}}$ ein.
	$=$	$\sqrt{3^{2} - {(\sqrt{\frac{121}{38}})}^{2}}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\sqrt{9 - \frac{121}{38}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\sqrt{\frac{221}{38}}$
	$\approx$	$2,41$

Antwort: Der Radius $r^{'}$ des Schnittkreises beträgt $\sqrt{\frac{221}{38}} \approx 2,41 LE$ .

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Mittelpunkt $M^{'}$

Erstelle die Gleichung der Lotgeraden $g_{L o t}$ durch den Mittelpunkt $M_{1}$ auf die Ebene $E$ .

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M_{1}$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$ . Schneide die Lotgerade mit der Ebene $E$ und du erhältst als Lösung einen Wert für den Geradenparameter. Diesen Wert setzt du in die Gleichung der Lotgeraden ein, um die Koordinaten des Mittelpunktes $M^{'}$ zu erhalten.

Schnittkreisradius $r^{'}$

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Lagebeziehung der beiden Kugeln

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Aufstellen der Kugelgleichungen

Kugel K1:

Kugel K2:

Schnitt der beiden Kugeln berechnen

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Berechnung des Mittelpunkt M′

Berechnung des Schnittkreisradius r′

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Mittelpunkt M′

Schnittkreisradius r′

Kugel $K_{1}$ :

Kugel $K_{2}$ :

Berechnung des Mittelpunkt $M^{'}$

Berechnung des Schnittkreisradius $r^{'}$

Mittelpunkt $M^{'}$

Schnittkreisradius $r^{'}$