Aufgaben mit zwei Kugeln - lernen mit Serlo!

Gegeben sind zwei Kugeln $K_{1}$ mit $M_1(2\left|4\right|5)$ und $r_{1} = 3$ und $K_{2}$ mit $M_2(1\left|-2\right|4)$ und $r_{2} = 5$ .

Zeige, dass die beiden Kugeln $K_{1}$ und $K_{2}$ sich schneiden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Lagebeziehung der beiden Kugeln
Gegeben sind die beiden Kugelradien: $r_{1} = 3$ und $r_{2} = 5$
Berechne:
$∣ r_{1} - r_{2} ∣ = ∣ 3 - 5 ∣ = ∣ - 2 ∣ = 2$
$d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert$
$r_{1} + r_{2} = 3 + 5 = 8$
Zu 2. Berechne den Vektor $\overrightarrow{M_1M_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\-6 \\ -1 \end{pmatrix}$
Berechne $d(M_1M_2)=\Big\vert\overrightarrow{M_1M_2}\Big\vert=\sqrt{(-1)^2+(-6)^2+(-1)^2}=\sqrt{38}\approx6{,}2$
Setze die berechneten Werte in die Schnittpunktsbedingung ein:
$|r_1-r_2|<d(M_1M_2)<r_1+r_2\;\;\Rightarrow\;\;2<6{,}2<8$
Antwort: Die Schnittpunktsbedingung ist erfüllt, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich.
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Ist der Betrag der Differenz der beiden Kugelradien kleiner als der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte und dieser Abstand wiederum kleiner als die Summe der beiden Kugelradien, dann schneiden sich die beiden Kugeln.
Schnittpunktsbedingung: $∣ r_{1} - r_{2} ∣ < d (M_{1} M_{2}) < r_{1} + r_{2}$

Bestimme eine Gleichung der Schnittebene $E$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichungen

Kugel $K_{1}$ :

$\textcolor{ff6600}{M_1(2|4|5)}$ , $\textcolor{006400}{r_1=3}$

$K_1:\ (\vec{x}-\textcolor{ff6600}{\vec{m_1}})^2=\textcolor{006400}{r_1}^2$

Setze $\textcolor{ff6600}{ M_1}$ und $\textcolor{006400}{r_1}$ in $K$ ein.
	↓
$\displaystyle K_1:\ \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{006400}{3}^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-2\\x_2-4\\x_3-5\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus.
$\displaystyle (x_1-2)^2+(x_2-4)^2+(x_3-5)^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$\displaystyle x_1^2-4x_1+4+x_2^2-8x_2+16+x_3^2-10x_3+25$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2-4x_1-8x_2-10x_3+45$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle -45$
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2-4x_1-8x_2-10x_3$	$=$	$\displaystyle -36$

Antwort: Die Gleichung der Kugel $K_{1}$ lautet: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 4 x_{1} - 8 x_{2} - 10 x_{3} = - 36$

Kugel $K_{2}$ :

$\textcolor{ff6600}{M_2(1|-2|4)}$ , $\textcolor{006400}{r_2=5}$

$K_2:\ (\vec{x}-\textcolor{ff6600}{\vec{m_2}})^2=\textcolor{006400}{r_2}^2$

Setze $\textcolor{ff6600}{ M_2}$ und $\textcolor{006400}{r_2}$ in $K$ ein.
	↓
$\displaystyle K_2:\ \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}}\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{006400}{5}^2$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-1\\x_2+2\\x_3-4\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus.
$\displaystyle (x_1-1)^2+(x_2+2)^2+(x_3-4)^2$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$\displaystyle x_1^2-2x_1+1+x_2^2+4x_2+4+x_3^2-8x_3+16$	$=$	$\displaystyle 25$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1+4x_2-8x_3+21$	$=$	$\displaystyle 25$	$\displaystyle -21$
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2-2x_1+4x_2-8x_3$	$=$	$\displaystyle 4$

Antwort: Die Gleichung der Kugel $K_{2}$ lautet: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 2 x_{1} + 4 x_{2} - 8 x_{3} = 4$

Schnitt der beiden Kugeln berechnen

Die Kugel $1$ entspricht Gleichung $\mathrm{(I)}$ und die Kugel $2$ entspricht Gleichung $\mathrm{(II)}$ . Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen.

Berechne die Differenz der beiden Gleichungen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\mathrm{(I)}:&x_1^2 & + & x_2^2 & + &x_3^2 &-&4x_1&-&8x_2&-&10x_3& = & -36 & \\-\mathrm{(II)}:&x_1^2 & + & x_2^2 & + &x_3^2 &-&2x_1&+&4x_2&-&8x_3& = &\ \;\;\;\;4 &\end{array}\\\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;+\;\;\;\;0\;\;\;+\;\;\;\;0\;\;\;\;-\;\;\;2x_1\;\;\;-\;\;12x_2\;-\;\;\;2x_3\;\;\;\;=\;\;\;-40}$

$\displaystyle -2x_1-12x_2-2x_3$	$=$	$\displaystyle -40$	$\displaystyle :(-2)$
$\displaystyle x_1+6x_2+x_3$	$=$	$\displaystyle 20$

Antwort: Die Gleichung der Schnittebene lautet $E:\; x_1+6x_2+x_3=20$ .

Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Dargestellt sind die Kugeln $K_{1}$ mit Mittelpunkt $M_{1}$ und $K_{2}$ mit Mittelpunkt $M_{2}$ .

Die Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis (rot), der den Mittelpunkt $M^{'}$ und den Radius $r^{'}$ hat. Der Schnittkreis liegt in der Schnittebene $E$ .

Zwei Kugeln mit Schnittebene und Schnittkreis

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Berechne den Mittelpunkt $M^{'}$ des Schnittkreises der beiden Kugeln und den Schnittkreisradius $r^{'}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gegenseitige Lage zweier Kugeln

Berechnung des Mittelpunkt $M^{'}$

Stelle die Gleichung der Lotgeraden $g_{Lot}$ durch den Mittelpunkt $M_{1}$ auf die Ebene $E$ auf.

Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt $M_{1}$ und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene $E$ : $\vec n = \begin{pmatrix}1\\6\\1\end{pmatrix}$

$g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\6\\1\end{pmatrix}$

oder

$g_{Lot}:\;\vec X=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{ x_1}\\\textcolor{ff6600}{x_2}\\\textcolor{660099}{x_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{006400}{2+t}\\\textcolor{ff6600}{4+6t}\\\textcolor{660099}{5+t}\end{pmatrix}$

Berechne den Mittelpunkt $M^{'}$ , indem du die Lotgerade $g_{Lot}$ mit der Ebene $E$ schneidest:

$g_{Lot}\cap E $
	↓
$\displaystyle E:\; \textcolor{006400}{x_1}+6\textcolor{ff6600}{x_2}+\textcolor{660099}{x_3}$	$=$	$\displaystyle 20$
	↓	Setze $\textcolor{006400}{x_1=2+t}$ , $\;\textcolor{ff6600}{x_2=4+6t}$ , $\;\textcolor{660099}{x_3=5+t}$ in $E$ ein.
$\displaystyle (\textcolor{006400}{2+t})+6\cdot(\textcolor{ff6600}{4+6t})+(\textcolor{660099}{5+t})$	$=$	$\displaystyle 20$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 2+t+24+36t+5+t$	$=$	$\displaystyle 20$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 38t+31$	$=$	$\displaystyle 20$	$\displaystyle -31$
	↓	Löse nach $t$ auf.
$\displaystyle 38t$	$=$	$\displaystyle -11$	$\displaystyle :38$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{11}{38}$

Zur Berechnung des Mittelpunktes $M^{'}$ setzt du $t=-\dfrac{11}{38}$ in die Gleichung der Lotgeraden ein.

$\vec X_{M'}=\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}-\dfrac{11}{38}\cdot\begin{pmatrix}1\\6\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-\dfrac{11}{38}\\[2ex]4-\dfrac{66}{38}\\[2ex]5-\dfrac{11}{38}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{65}{38}\\[2ex]\dfrac{43}{19}\\[2ex]\dfrac{179}{38}\end{pmatrix}$

Antwort: Der Mittelpunkt $M^{'}$ hat die Koordinaten $M'\left(\dfrac{65}{38}\big\vert\dfrac{43}{19}\big\vert\dfrac{179}{38}\right)$ .

Berechnung des Schnittkreisradius $r^{'}$

In der Abbildung ist nur die Kugel $K_{1}$ dargestellt.

Den Schnittkreisradius $r^{'}$ kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand $d$ der Ebene $E$ vom Mittelpunkt $M_{1}$ ist der Betrag des Vektors $\overrightarrow{M_1M'}$ und der Kugelradius von $K_{1}$ ist $r = 3$ .

Kugel K1 mit Schnittebene, Mittelpunkt M' und r'

Berechne zuerst den Vektor $\overrightarrow{M_1M'}$ und dann dessen Betrag.

$\overrightarrow{M_1M'}=\begin{pmatrix}\dfrac{65}{38}\\[2ex]\dfrac{43}{19}\\[2ex]\dfrac{179}{38}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{11}{38}\\[2ex]-\dfrac{33}{19}\\[2ex]-\dfrac{11}{38}\end{pmatrix}$

$d=\Big\vert\overrightarrow{M_1M'}\Big\vert=\sqrt{\left(-\dfrac{11}{38}\right)^2+\left(-\dfrac{33}{19}\right)^2+\left(-\dfrac{11}{38}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{121}{38}}\approx1{,}78$

$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle d^2+r'^2$
	↓	Nach $r^{'}$ auflösen.
$\displaystyle r'$	$=$	$\displaystyle \sqrt{r^2-d^2}$
	↓	Setze $r = 3$ und $d=\sqrt{\dfrac{121}{38}}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3^2-\left(\sqrt{\dfrac{121}{38}}\right)^2}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{9-\dfrac{121}{38}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{221}{38}}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 2{,}41$

Antwort: Der Radius $r^{'}$ des Schnittkreises beträgt $\sqrt{\dfrac{221}{38}}\approx 2{,}41\; \text{LE}$ .

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Lagebeziehung der beiden Kugeln

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Aufstellen der Kugelgleichungen

Kugel K1K_1K1​:

Kugel K2K_2K2​:

Schnitt der beiden Kugeln berechnen

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Berechnung des Mittelpunkt M′M'M′

Berechnung des Schnittkreisradius r′r'r′

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Mittelpunkt M′M'M′

Schnittkreisradius r′r'r′

Kugel $K_{1}$ :

Kugel $K_{2}$ :

Berechnung des Mittelpunkt $M^{'}$

Berechnung des Schnittkreisradius $r^{'}$

Mittelpunkt $M^{'}$

Schnittkreisradius $r^{'}$