Gegeben sei eine ganzrationale Funktion $p$.

Der Punkt $Q(x_q|p(x_q))$ liegt auf dem Graphen der Funktion $p$.

Die Tangente $t_p$ an den Graphen von $p$ im Punkt $Q,$ hat die

Form $y=m\cdot x+b$, wobei $m$ die Steigung der Tangnte $t_p$ und $b$ der $y-$Achsenabschnitt bedeuten.

Damit gilt: $m=p'(x_q)$ und $y=p'(x_q)\cdot x+b$.

Bestimmung des $y-$Abschnitts $b$:

Man setzt die Koordinaten des Punktes $Q$ in die Tangentengleichung ein und erhält:

$p(x_q)=p'(x_q)\cdot x_q+b \iff b=p(x_q)-p'(x_q)\cdot x_q$

Also: $t_p:y=p'(x_q)\cdot x+[p(x_q)-p'(x_q)\cdot x_q]=p(x_q)\cdot p'(x_q)(x-x_q)$

Der Punkt $N(1|0)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $h(x)=ax^2+c$. Dann gilt: $a\cdot1^2+c=0\iff a+c=0\iff c=-a.$

Die Steigung $m$ der Tangente ist gleich dem Wert der 1. Ableitung von $h$ an der Stelle $x=1$.

$h'(x)=2\cdot a\cdot x\Rightarrow h'(1)=2\cdot a$

Laut Aufgabe hat die Tangente die Steigung $m=-1$.

Somit gilt: $-1=2\cdot a\\\iff a=-\frac{1}{2}\rightarrow c=\frac{1}{2}$

$h(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{1}{2}$