Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Wir betrachten im Folgenden zwei verschiedene Funktionen.

Betrachtet werden eine in $ℝ$ definierte ganzrationale Funktion $p$ und der Punkt $Q (2 | p (2))$ . Beschreiben Sie, wie man rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen von p im Punkt Q ermitteln kann. (2P)

Gegeben sei eine ganzrationale Funktion $p$ .
Der Punkt $Q (x_{q} | p (x_{q}))$ liegt auf dem Graphen der Funktion $p$ .
Die Tangente $t_{p}$ an den Graphen von $p$ im Punkt $Q,$ hat die
Form $y = m \cdot x + b$ , wobei $m$ die Steigung der Tangnte $t_{p}$ und $b$ der $y -$ Achsenabschnitt bedeuten.
Damit gilt: $m = p^{'} (x_{q})$ und $y = p^{'} (x_{q}) \cdot x + b$ .
Bestimmung des $y -$ Abschnitts $b$ :
Man setzt die Koordinaten des Punktes $Q$ in die Tangentengleichung ein und erhält:
$p (x_{q}) = p^{'} (x_{q}) \cdot x_{q} + b ⟺ b = p (x_{q}) - p^{'} (x_{q}) \cdot x_{q}$
Also: $t_{p} : y = p^{'} (x_{q}) \cdot x + [p (x_{q}) - p^{'} (x_{q}) \cdot x_{q}] = p (x_{q}) \cdot p^{'} (x_{q}) (x - x_{q})$
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Gegeben ist eine in $ℝ$ definierte Funktion $h : x \mapsto a x^{2} + c$ mit $a, c \in ℝ$ , deren Graph im Punkt $N (1 | 0)$ die Tangente mit der Gleichung $y = - x + 1$ besitzt. Bestimmen Sie $a$ und $c$ . (3P)

Der Punkt $N (1 | 0)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $h (x) = a x^{2} + c$ . Dann gilt: $a \cdot 1^{2} + c = 0 ⟺ a + c = 0 ⟺ c = - a .$
Die Steigung $m$ der Tangente ist gleich dem Wert der 1. Ableitung von $h$ an der Stelle $x = 1$ .
$h^{'} (x) = 2 \cdot a \cdot x \Rightarrow h^{'} (1) = 2 \cdot a$
Laut Aufgabe hat die Tangente die Steigung $m = - 1$ .
Somit gilt: $\begin{array}{l} - 1 = 2 \cdot a \\ ⟺ a = - \frac{1}{2} \to c = \frac{1}{2} \end{array}$
$h (x) = - \frac{1}{2} \cdot x^{2} + \frac{1}{2}$
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