Gegeben sei eine ganzrationale Funktion $pp$.

Der Punkt $Q(x_q\mathrm{\mid }p(x_q))Q(x\_q|p(x\_q))$ liegt auf dem Graphen der Funktion $pp$.

Die Tangente $t_{p}t\_p$ an den Graphen von $pp$ im Punkt $Q,Q,$ hat die

Form $y=m\cdot x+by=m\backslash cdot\; x+b$, wobei $mm$ die Steigung der Tangnte $t_{p}t\_p$ und $bb$ der $y-y-$Achsenabschnitt bedeuten.

Damit gilt: $m=p^{\mathrm{\prime }}(x_q)m=p\text{'}(x\_q)$ und $y=p^{\mathrm{\prime }}(x_q)\cdot x+by=p\text{'}(x\_q)\backslash cdot\; x+b$.

Bestimmung des $y-y-$Abschnitts $bb$:

Man setzt die Koordinaten des Punktes $QQ$ in die Tangentengleichung ein und erhält:

$p(x_q)=p^{\mathrm{\prime }}(x_q)\cdot x_q+b⟺b=p(x_q)-p^{\mathrm{\prime }}(x_q)\cdot x_{q}p(x\_q)=p\text{'}(x\_q)\backslash cdot\; x\_q+b\; \backslash iff\; b=p(x\_q)-p\text{'}(x\_q)\backslash cdot\; x\_q$

Also: $t_p:y=p^{\mathrm{\prime }}(x_q)\cdot x+[p(x_q)-p^{\mathrm{\prime }}(x_q)\cdot x_q]=p(x_q)\cdot p^{\mathrm{\prime }}(x_q)(x-x_q)t\_p:y=p\text{'}(x\_q)\backslash cdot\; x+[p(x\_q)-p\text{'}(x\_q)\backslash cdot\; x\_q]=p(x\_q)\backslash cdot\; p\text{'}(x\_q)(x-x\_q)$

Der Punkt $N(1\mathrm{\mid }0)N(1|0)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $h(x)=a{x}^2+ch(x)=ax^2+c$. Dann gilt: $a\cdot 1^2+c=0⟺a+c=0⟺c=-a\mathrm{.}a\backslash cdot1^2+c=0\backslash iff\; a+c=0\backslash iff\; c=-a.$

Die Steigung $mm$ der Tangente ist gleich dem Wert der 1. Ableitung von $hh$ an der Stelle $x=1x=1$.

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot a\cdot x\Rightarrow h^{\mathrm{\prime }}(1)=2\cdot ah\text{'}(x)=2\backslash cdot\; a\backslash cdot\; x\backslash Rightarrow\; h\text{'}(1)=2\backslash cdot\; a$

Laut Aufgabe hat die Tangente die Steigung $m=-1m=-1$.

Somit gilt: $-1=2\cdot a⟺a=-\frac{1}{2}\to c=\frac{1}{2}-1=2\backslash cdot\; a\backslash \backslash \backslash iff\; a=-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash rightarrow\; c=\backslash frac\{1\}\{2\}$

$h(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{1}{2}h(x)=-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; x^2+\backslash frac\{1\}\{2\}$