Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Den Graph der Funktion $w(x)=\sqrt{x-2}w(x)=\backslash sqrt\{x-2\}$ erhält man aus dem Graph der Wurzelfunktion $W(x)=\sqrt{x}W(x)=\backslash sqrt\{x\}$ durch verschieben um 2 Einheiten in Richtung der positiven $x-x-$Achse.

Verschiebt man nun den Graph der Funktion $w(x)=\sqrt{x-2}w(x)=\backslash sqrt\{x-2\}$ um 1 Einheit in Richtung der positiven $y-y-$Achse, so hat man den gesuchten Graphen

${\displaystyle {\int }_2^3((x-2{)}^{\frac{1}{2}}+1)dx={[\frac{2}{3}\cdot (x-2{)}^{\frac{3}{2}}+x]}_2^3=\frac{2}{3}\cdot 1+3-(\frac{2}{3}\cdot 0+2)=1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}}\backslash displaystyle\; \backslash int\_2^3\backslash left((x-2)^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}+1\backslash right)\backslash ,\; dx=\backslash left[\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash cdot(x-2)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}+x\backslash right]\_2^3=\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash cdot1+3-(\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash cdot0+2)=1\backslash frac\{2\}\{3\}=\backslash frac\{5\}\{3\}$

Die Funktion $g(x)=x^{2}g(x)=x^2$ hat den Wertebereich $W_g=[0,\mathrm{\infty }[W\_g=[0,\backslash infty[$.

Dann hat die Funktion $h(x)=-x^{2}h(x)=-x^2$ den Wertebereich $W_h=]-\mathrm{\infty },0]W\_h=]-\backslash infty,0]$

Dann hat die Funktion $f(x)=-x^2+1f(x)=-x^2+1$

den Wertebereich $W_f=]-\mathrm{\infty };1]W\_f=]-\backslash infty;1]$

Die Exponentialfunktion $e^{x}e^x$ hat den Wertebereich $W_e=]0,\mathrm{\infty }[W\_e=]0,\backslash infty[$

Dann hat die Funktion $g(x)=e^x+3g(x)=e^x+3$ den Wertebereich $W_g=]3;\mathrm{\infty }[W\_g=]3;\backslash infty[$

Gegeben sei eine ganzrationale Funktion $pp$.

Der Punkt $Q(x_q\mathrm{\mid }p(x_q))Q(x\_q|p(x\_q))$ liegt auf dem Graphen der Funktion $pp$.

Die Tangente $t_{p}t\_p$ an den Graphen von $pp$ im Punkt $Q,Q,$ hat die

Form $y=m\cdot x+by=m\backslash cdot\; x+b$, wobei $mm$ die Steigung der Tangnte $t_{p}t\_p$ und $bb$ der $y-y-$Achsenabschnitt bedeuten.

Damit gilt: $m=p^{\mathrm{\prime }}(x_q)m=p\text{'}(x\_q)$ und $y=p^{\mathrm{\prime }}(x_q)\cdot x+by=p\text{'}(x\_q)\backslash cdot\; x+b$.

Bestimmung des $y-y-$Abschnitts $bb$:

Man setzt die Koordinaten des Punktes $QQ$ in die Tangentengleichung ein und erhält:

$p(x_q)=p^{\mathrm{\prime }}(x_q)\cdot x_q+b⟺b=p(x_q)-p^{\mathrm{\prime }}(x_q)\cdot x_{q}p(x\_q)=p\text{'}(x\_q)\backslash cdot\; x\_q+b\; \backslash iff\; b=p(x\_q)-p\text{'}(x\_q)\backslash cdot\; x\_q$

Also: $t_p:y=p^{\mathrm{\prime }}(x_q)\cdot x+[p(x_q)-p^{\mathrm{\prime }}(x_q)\cdot x_q]=p(x_q)\cdot p^{\mathrm{\prime }}(x_q)(x-x_q)t\_p:y=p\text{'}(x\_q)\backslash cdot\; x+[p(x\_q)-p\text{'}(x\_q)\backslash cdot\; x\_q]=p(x\_q)\backslash cdot\; p\text{'}(x\_q)(x-x\_q)$

Der Punkt $N(1\mathrm{\mid }0)N(1|0)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $h(x)=a{x}^2+ch(x)=ax^2+c$. Dann gilt: $a\cdot 1^2+c=0⟺a+c=0⟺c=-a\mathrm{.}a\backslash cdot1^2+c=0\backslash iff\; a+c=0\backslash iff\; c=-a.$

Die Steigung $mm$ der Tangente ist gleich dem Wert der 1. Ableitung von $hh$ an der Stelle $x=1x=1$.

$h^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot a\cdot x\Rightarrow h^{\mathrm{\prime }}(1)=2\cdot ah\text{'}(x)=2\backslash cdot\; a\backslash cdot\; x\backslash Rightarrow\; h\text{'}(1)=2\backslash cdot\; a$

Laut Aufgabe hat die Tangente die Steigung $m=-1m=-1$.

Somit gilt: $-1=2\cdot a⟺a=-\frac{1}{2}\to c=\frac{1}{2}-1=2\backslash cdot\; a\backslash \backslash \backslash iff\; a=-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash rightarrow\; c=\backslash frac\{1\}\{2\}$

$h(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{1}{2}h(x)=-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; x^2+\backslash frac\{1\}\{2\}$

Aus dem Graph der Funktion $ff$ liest man ab, dass $f(1)=0f(1)=0$ gilt.

Die Funktion $gg$ ist der Kehrwert von $f\mathrm{.}f.$ Dann hat der Nenner der Funktion $gg$ an der Stelle $x=1x=1$ den Wert $0.0.$ Somit ist die Funktion $gg$ nicht an der Stelle $x=1x=1$ definiert.

Aus dem Graph der Funktion $ff$ liest man ab: $f(-2)=3\Rightarrow g(-2)=\frac{1}{3}f(-2)=3\backslash Rightarrow\; g(-2)=\backslash frac\{1\}\{3\}$

Man bestimmt mit Hilfe der Skizze die $x-x-$Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von $ff$ und $gg$.

$g(x)=f(x)⟺\frac{1}{f(x)}=f(x)⟺1=[f(x){]}^2⟺f(x)=-1\vee f(x)=1g(x)=f(x)\backslash iff\; \backslash frac\{1\}\{f(x)\}=f(x)\backslash iff\; 1=[f(x)]^2\backslash \backslash \backslash iff\; f(x)=-1\; \backslash lor\; f(x)=1$.

Aus dem Graphen der Funktion $ff$ liest man die $x-x-$Koordinaten

für $f(x)=-1f(x)=-1$ bzw. für $f(x)=1f(x)=1$ ab:

$f\left(x\right)=1⟺x\approx \mathrm{0,6}f\backslash left(x\backslash right)=1\backslash iff\; x\backslash approx\; 0\{,\}6$

$f(x)=-1⟺x\approx \mathrm{1,3.}f(x)=-1\; \backslash iff\; x\backslash approx\; 1\{,\}3.$