Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Den Graph der Funktion $w(x)=\sqrt{x-2}$ erhält man aus dem Graph der Wurzelfunktion $W(x)=\sqrt{x}$ durch verschieben um 2 Einheiten in Richtung der positiven $x-$Achse.

Verschiebt man nun den Graph der Funktion $w(x)=\sqrt{x-2}$ um 1 Einheit in Richtung der positiven $y-$Achse, so hat man den gesuchten Graphen

$\displaystyle \int_2^3\left((x-2)^{\frac{1}{2}}+1\right)\, dx=\left[\frac{2}{3}\cdot(x-2)^{\frac{3}{2}}+x\right]_2^3=\frac{2}{3}\cdot1+3-(\frac{2}{3}\cdot0+2)=1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$

Die Funktion $g(x)=x^2$ hat den Wertebereich $W_g=[0,\infty[$.

Dann hat die Funktion $h(x)=-x^2$ den Wertebereich $W_h=]-\infty,0]$

Dann hat die Funktion $f(x)=-x^2+1$

den Wertebereich $W_f=]-\infty;1]$

Die Exponentialfunktion $e^x$ hat den Wertebereich $W_e=]0,\infty[$

Dann hat die Funktion $g(x)=e^x+3$ den Wertebereich $W_g=]3;\infty[$

Gegeben sei eine ganzrationale Funktion $p$.

Der Punkt $Q(x_q|p(x_q))$ liegt auf dem Graphen der Funktion $p$.

Die Tangente $t_p$ an den Graphen von $p$ im Punkt $Q,$ hat die

Form $y=m\cdot x+b$, wobei $m$ die Steigung der Tangnte $t_p$ und $b$ der $y-$Achsenabschnitt bedeuten.

Damit gilt: $m=p'(x_q)$ und $y=p'(x_q)\cdot x+b$.

Bestimmung des $y-$Abschnitts $b$:

Man setzt die Koordinaten des Punktes $Q$ in die Tangentengleichung ein und erhält:

$p(x_q)=p'(x_q)\cdot x_q+b \iff b=p(x_q)-p'(x_q)\cdot x_q$

Also: $t_p:y=p'(x_q)\cdot x+[p(x_q)-p'(x_q)\cdot x_q]=p(x_q)\cdot p'(x_q)(x-x_q)$

Der Punkt $N(1|0)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $h(x)=ax^2+c$. Dann gilt: $a\cdot1^2+c=0\iff a+c=0\iff c=-a.$

Die Steigung $m$ der Tangente ist gleich dem Wert der 1. Ableitung von $h$ an der Stelle $x=1$.

$h'(x)=2\cdot a\cdot x\Rightarrow h'(1)=2\cdot a$

Laut Aufgabe hat die Tangente die Steigung $m=-1$.

Somit gilt: $-1=2\cdot a\\\iff a=-\frac{1}{2}\rightarrow c=\frac{1}{2}$

$h(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{1}{2}$

Aus dem Graph der Funktion $f$ liest man ab, dass $f(1)=0$ gilt.

Die Funktion $g$ ist der Kehrwert von $f.$ Dann hat der Nenner der Funktion $g$ an der Stelle $x=1$ den Wert $0.$ Somit ist die Funktion $g$ nicht an der Stelle $x=1$ definiert.

Aus dem Graph der Funktion $f$ liest man ab: $f(-2)=3\Rightarrow g(-2)=\frac{1}{3}$

Man bestimmt mit Hilfe der Skizze die $x-$Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von $f$ und $g$.

$g(x)=f(x)\iff \frac{1}{f(x)}=f(x)\iff 1=[f(x)]^2\\\iff f(x)=-1 \lor f(x)=1$.

Aus dem Graphen der Funktion $f$ liest man die $x-$Koordinaten

für $f(x)=-1$ bzw. für $f(x)=1$ ab:

$f\left(x\right)=1\iff x\approx 0{,}6$

$f(x)=-1 \iff x\approx 1{,}3.$