Das Experiment ist ein zweistufiges Zufallsexperiment

$1.1.$ Stufe: Werfen eines Laplace-Würfels und Beachten ob Augenzahl $66$ oder $\bar{6}\backslash overline\{6\}$

${\mathrm{\Omega }}_1=\{6;\bar{6}\}\backslash Omega\_1=\backslash \{6;\backslash overline\{6\}\backslash \}$= mit $P(6)=\frac{1}{6};P(\bar{6})=\frac{5}{6}P(\{6\})=\backslash frac\{1\}\{6\};P(\{\backslash overline\{6\}\})=\backslash frac\{5\}\{6\}$

$2.2.$ Stufe: Drehen einer Drehscheibe und Beachten der Sektoren $N,KN,K$ odee $EE$

${\mathrm{\Omega }}_2=\{N,K,E\}\backslash Omega\_2=\backslash \{N,K,E\backslash \}$ mit $P(N)=\frac{160}{360}=\frac{4}{9}P(N)=\backslash frac\{160\}\{360\}=\backslash frac\{4\}\{9\}$;

Es gilt: $P(K\cup E)=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}P(K\backslash cup\; E)=1-\backslash frac\{4\}\{9\}=\backslash frac\{5\}\{9\}$

Da die Ereignisse $KK$ und $EE$ unvereinbar sind, gilt $P(K\cap E)=0P(K\backslash cap\; E)=0$.

Somit folgt aus $P(K\cup E)=P(K)+P(E)-P(K\cap E)P(K\backslash cup\; E)=P(K)+P(E)-P(K\backslash cap\; E)$, dass $P(K\cup E)=P(K)+P(E)P(K\backslash cup\; E)=P(K)+P(E)$ ist.

Wählt man $P(K)=pP(K)=p$ und $P(E)=qP(E)=q$, so ist $p+q=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}p+q=1-\backslash frac\{4\}\{9\}=\backslash frac\{5\}\{9\}$.

Bestimmung der Mittelpunktswinkel

Zur Bestimmung der Mittelpunktswinkel muss man die Wahrscheinlichkeiten $pp$ und $qq$ ermitteln.

Das Zufallsexperiment 'Drehen einer Drehscheibe' wird nur durchgeführt, wenn das Ergebnis des Zufallsexperimentes 'Werfen eines Laplace-Würfels' Augenzahl $66$

Im bedingten Wahrscheinlichkeitsraum gilt:

$p(B\mathrm{\mid }A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\Rightarrow P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mathrm{\mid }A)p(B|A)=\backslash frac\{P(A\backslash cap\; B)\}\{P(A)\}\backslash \backslash \backslash Rightarrow\; P(A\backslash cap\; B)=P(A)\backslash cdot\; P(B|A)$

Falls die Ereignisse $AA$ und $BB$ unabhängig sind, gilt $A(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)A(A\backslash cap\; B)=P(A)\backslash cdot\; P(B)$

Da die Ereignisse beim 'Werfen eines Laplace-Würfels' und die Ereignisse beim 'Drehen der Drehscheibe' unabhängig sind, gilt hier:

$P(\{6\}\mathrm{\mid }N)=P(\{6\})\cdot P(N)P(\backslash \{6\backslash \}|N)=P(\backslash \{6\backslash \})\backslash cdot\; P(N)$

Damit hat man:

Für den Gewinn $G=0\Rightarrow P(G=0)=\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{9}+\frac{5}{6}G=0\backslash Rightarrow\; P(G=0)=\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot\; \backslash frac\{4\}\{9\}+\backslash frac\{5\}\{6\}$

Für den Gewinn $G=28\Rightarrow P(G=28)=\frac{1}{6}\cdot pG=28\backslash Rightarrow\; P(G=28)=\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot\; p$

Für den Gewinn $G=36\Rightarrow P(G=36)=\frac{1}{6}\cdot (\frac{5}{9}-p)G=36\backslash Rightarrow\; P(G=36)=\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot\; (\backslash frac\{5\}\{9\}-p)$

Für den Erwartungswert gilt $E(X)=3.E(X)=3.$

$E(X)=G_1\cdot P(X=G_1)+G_2\cdot P(X=G_2)+G_3\cdot P(X=G_3)=3⟺0\cdot (\frac{1}{6}\cdot \frac{4}{9}+\frac{5}{6})+\frac{1}{6}\cdot \{28\cdot p+36\cdot (\frac{5}{9}-p)\}=3⟺18=28\cdot p+36\cdot \frac{5}{9}-36\cdot p⟺18=28\cdot p+\frac{4\cdot 9\cdot 5}{9}-36\cdot p⟺18=28\cdot p+20-36\cdot p⟺-2=-8\cdot p⟺p=\frac{1}{4}E(X)=G\_1\backslash cdot\; P(X=G\_1)+G\_2\backslash cdot\; P(X=G\_2)+G\_3\backslash cdot\; P(X=G\_3)=3\backslash \backslash \; \backslash iff\; 0\backslash cdot\; (\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot\; \backslash frac\{4\}\{9\}+\backslash frac\{5\}\{6\})+\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot\backslash \{28\backslash cdot\; p+36\backslash cdot\; (\backslash frac\{5\}\{9\}-p)\backslash \}=3\backslash \backslash \; \backslash iff\; 18=28\backslash cdot\; p+36\backslash cdot\; \backslash frac\{5\}\{9\}-36\backslash cdot\; p\backslash \backslash \; \backslash iff\; 18=28\backslash cdot\; p+\backslash frac\{4\backslash cdot\; 9\backslash cdot\; 5\}\{9\}-36\backslash cdot\; p\backslash \backslash \; \backslash iff\; 18=28\backslash cdot\; p+20-36\backslash cdot\; p\backslash \backslash \; \backslash iff\; -2=-8\backslash cdot\; p\backslash \backslash \; \backslash iff\; p=\backslash frac\{1\}\{4\}$

Damit ist $q=\frac{5}{9}-\frac{1}{4}⟺q=\frac{20-9}{36}⟺q=\frac{11}{36}⟺q=\frac{110}{360}q=\backslash frac\{5\}\{9\}-\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash \backslash \; \backslash iff\; q=\backslash frac\{20-9\}\{36\}\backslash \backslash \; \backslash iff\; q=\backslash frac\{11\}\{36\}\backslash \backslash \; \backslash iff\; q=\backslash frac\{110\}\{360\}$

Damit ist der Mittelpunktswinkel beim Ereignis $NN$ gerade ${160}^{\circ }160^\backslash circ$, beim Ereignis $KK$ genau ${90}^{\circ }90^\backslash circ$ und beim Ereignis $EE$ ist der Mittelpunktswinkel ${110}^{\circ }110^\backslash circ$.