Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Lösung

Es werden mindestens $25$ Bollerwagen ausgeliehen

Es ist $n=200$ und $p=0{,}15$.

Binomialverteilung:

$P(X\geq25)=1-P(X\leq24)=1-F(200;0{,}15;24)=1-0{,}1368=0{,}8632$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens $25$ Bollerwagen ausgeliehen werden, beträgt rund $86{,}3\;\%$.

Lösung

Die fünfte Familie ist die erste, die einen Bollerwagen ausleiht

Die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Bollerwagen auszuleihen ist $1-0{,}15=0{,}85$.

A : "Die 5. Familie ist die erste, die einen Bollerwagen ausleiht“

Es wird also 4-mal kein Bollerwagen ausgeliehen $(p=0{,}85)$ und 1-mal ein Bollerwagen $(p=0{,}15)$ ausgeliehen $\;\Rightarrow\; P(A)=0{,}85^4\cdot0{,}15=0{,}0783$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die fünfte Familie die erste ist, die einen Bollerwagen ausleiht, beträgt rund $7{,}8\;\%$.

Lösung

Bereich um den Erwartungswert, in dem die Werte der Zufallsgröße $X$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75$% liegen

Es ist $\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}15=30$.

Weiterhin ist $\sigma=\sqrt{200\cdot0{,}15\cdot(1-0{,}15)}\approx5{,}05$.

Für ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert gilt:

$[\mu-c\cdot \sigma;\mu+c\cdot \sigma]$

Für eine Wahrscheinlichkeit von $75\;\%$ ist $c=1{,}15$.

$\Rightarrow\;[\mu-c\cdot \sigma;\mu+c\cdot \sigma]=[30-1{,}15\cdot 5{,}05;30+1{,}15\cdot 5{,}05]=[24{,}2;35{,}8]$

Gerundet erhält man das Intervall $[24;36]$.

Überprüfung für das Intervall $[24;36]$: $P(24\leq X\leq36)=F(200;0{,}15;36)-F(200;0{,}15;23)=0{,}8987-0{,}0959=0{,}8028>0{,}75$

Überprüfung für das Intervall $[25;35]$:

$P(25\leq X\leq35)=F(200;0{,}15;35)-F(200;0{,}15;24)=0{,}8613-0{,}1368=0{,}7245<0{,}75$

Damit ist das Intervall $[24;36]$ das gesuchte Intervall.

Der Automat druckt Anstecker mit 5 verschiedenen Motiven.

Bei jedem Knopfdruck wird eines der $5$ verschiedenen Motiven ausgedruckt.

Wenn dreimal der Knopf betätigt wird, gibt es also insgesamt $5^3$ Möglichkeiten.

Hinweis: Vergleiche dieses Experiment mit dem $3-$maligen Werfen eines Laplace-Würfels. Hier gilt $\left|\Omega\right|=6^3$.

Ereignis $A:$ Nicht alle drei Anstecker dürfen das gleiche Motiv haben. Dies ist gleichwertig mit 'Nicht' alle drei Anstecker haben das gleiche Motiv.

Gegenereignis $\overline{A}$: Alle drei Anstecker haben das gleiche Motiv.

Dafür gibt es $|\overline{A}|=5$ Möglichkeiten.

Somit gilt $P(\overline{A})=\dfrac{5}{5^3}\Rightarrow P(A)=1-\dfrac{5}{5^3}=1-\dfrac{1}{5^2}=1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25}$

Der Knopf wird $3-$mal betätigt.

Der Automat wählt aus $n$ verschiedenen Motiven genau eines aus.

Für die Ergebnismenge $\Omega$ gilt: $|\Omega|=n^3$.

Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

$B$: 'drei verschiedene Elemente befinden sich auf den drei Ansteckern' gefragt.

Für den ersten Ausdruck gibt es $n$ Möglichkeiten.

Für den zweiten Ausdruck gibt es $n-1$ Möglichkeiten

Für den dritten Ausdruck gibt es $n-2$ Möglichkeiten.

Also gilt für das Ereignis $B:$$|B|=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)$

Somit $P(B)=\dfrac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)}{n^3}=\dfrac{(n-1)\cdot(n-2)}{n^2}$

In Aufgabenteil $4b$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

$B$ : 'es befinden sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern' begründet worden: $P(B)=\dfrac{(n-1)\cdot(n-2)}{n^2}$

Nun soll ein Wert für die Anzahl $n$ bestimmt werden, sodass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $B$ größer als $90 \%$ ist.

Also $P(B)>0{,}9\iff \dfrac{(n-1)\cdot(n-2)}{n^2}>0{,}9\\\iff (n-1)\cdot(n-2)>0{,}9\cdot n^2\\\iff n^2-3\cdot n+2>0{,}9\cdot n^2\\\iff 0{,}1\cdot n^2-3\cdot n+2>0\\\iff n^2-30\cdot n+20>0$

Für welche natürliche Zahl $n$ wird $n^2-30\cdot n+20>0$?

$n^2-30\cdot n+\qquad>-20\\\iff n^2-30\cdot n+(\frac{30}{2})^2>-20+15^2\\\iff (n-15)^2>-20+225\iff (n-15)^2>205\\\iff n-15>\sqrt{205}\\\iff n-15>14{,}3\\\iff n>29{,}3\\\iff n\geq30\quad\text{ wegen } n\in \mathbb{N}$

Probe: $\dfrac{29\cdot28}{30^2}=0{,}9022..$