Faktorisieren Sie Zähler und Nenner, kürzen Sie anschließend und ermitteln Sie die Vorzeichenbereiche:
f(x)=7x2+5x−2710x2−70
Betrachte zunächst den Zähler: Z(x)=10x2−70
Für die Zerlegung in Linearfaktoren löse die Gleichung Z(x)=0 oder klammere im Zähler 10 aus und wende die 3. binomische Formel an. Du erhältst Z(x)=10⋅(x−7)⋅(x+7)
Der Nenner ist N(x)=7x2+5x−27
Löse die Gleichung N(x)=0
7x2+5x−27=0
Dies ist eine quadratische Gleichung, die du z.B. mit der Mitternachtsformel lösen kannst. Lies dazu die Werte von a, b und c ab: a=7,b=5,c=−27
| x1,2 | = | 2a−b±b2−4ac | |
| ↓ | Setze die Werte ein: a=7,b=5,c=−27 | ||
| = | 27−5±52−4⋅7⋅(−2⋅7) | ||
| ↓ | Vereinfache. | ||
| = | 27−5±25+56 | ||
| = | 27−5±81 | ||
| = | 27−5±9 | ||
| x1 | = | 27−14 | |
| ↓ | Beseitige die Wurzel im Nenner. | ||
| = | 7−7 | ⋅77 | |
| = | −7 | ||
| x2 | = | 274 | |
| ↓ | Beseitige die Wurzel im Nenner. | ||
| = | 72 | ⋅77 | |
| = | 72⋅7 | ||
Du hast die beiden Lösungen x1=−7 und x2=72⋅7 erhalten.
Damit kann der Nenner geschrieben werden als:
N(x)=7⋅(x+7)⋅(x−72⋅7)
Die Funktion f(x) kann nun faktorisiert dargestellt werden:
f(x)=7⋅(x+7)⋅(x−72⋅7)10⋅(x−7)⋅(x+7)
Der Term (x+7) kann gekürzt werden: ⇒f∗(x)=7⋅(x−72⋅7)10⋅(x−7)
Die Funktion f∗(x) hat eine Nullstelle bei xN=7 (Z(xN)=0 und N(xN)=0) und eine Polstelle bei xP=72⋅7 (N(xP)=0 und Z(xP)=0)
Vorzeichenbereiche:
Ist x<72⋅7 dann ist N(x)<0 und Z(x)<0⇒f(x)>0
Ist 72⋅7<x<7 dann ist N(x)>0 und Z(x)<0⇒f(x)<0
Ist x>7, dann ist Z(x)>0 und N(x)>0⇒f(x)>0
Damit ergeben sich folgende Intervallbereiche für das Vorzeichen der Funktion f(x):
Zur Veranschaulichung der Funktionsverlauf von f(x).
