Aufgaben im Sandkasten
- 1
Entscheide, ob du since oder for einsetzen musst.
I have been playing football _____ 4 o`clock.
- 2
Um einen Ball wird eine Schnur gelegt. Die Schnur ist ein Meter länger als der Umfang des Balles ist. Die Schnur bildet einen Kreis, der konzentrisch zum Umfang des Balles ist. Wie weit ist die Schnur vom Ball entfernt?
- 3
Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen
Wenn man eine Gerade und eine Ebene betrachtet, gibt es 3 verschiedene Möglichkeiten der gegenseitigen
Lage zueinander.
1. Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.
2. Die Gerade ist echt parallel zur Ebene.
3. Die Gerade liegt in der Ebene.
Vorgehensweise bei der Lagebestimmung
1. Um die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene zu bestimmen, ist es empfehlenswert wenn man eine Parametergleichung der Geraden und eine Koordinatengleichung der Ebene verwendet.
2. Die Geradengleichung wird in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt.
3. Die Gleichung wird nach der Variablen aufgelöst. Dabei sind verschiedene Ergebnisse möglich, die einen Rückschluss auf die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene erlauben.
Mögliche Ergebnisse, die bei der Gleichungsauflösung auftreten können:
Ergebnis
Beispiel für Lösung
Lagebeziehung
genau eine Lösung
r=1oder r=−3
Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt S. Den Schnittpunkt erhält man durch Einsetzen des errechneten Wertes von r in die Geradengleichung.
keine Lösung
3=5oder 8=0
Die Gerade und die Ebene sind echt parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt.
unendlich viele Lösungen
1=1 oder 0=0
Die Gerade liegt in der Ebene und alle Punkte auf der Geraden liegen in der Ebene.
Um zu verdeutlichen, wie das Ganze genau funktionieren soll, folgt hier zu jeder Möglichkeit jeweils ein Beispiel zum Ausklappen.
Im Spoiler findet man Lösungen für andere Formen der Ebenengleichung.
- 4
Axialschnitt eines Rotationskörpers
Schneidet man einen Rotationskörper längs seiner Achse durch, erhält man den Axialschnitt des Körpers.
Die folgende Tabelle zeigt die Zuordnung zwischen einem Rotationskörper und dem dazugehörenden Axialschnitt.
Rotationskörper
Axialschnitt
Zylinder
Rechteck
Kegel
gleichschenkliges Dreieck
Kugel
Kreis
Halbkugel
Halbkreis
Kegelstumpf
gleichschenkliges Trapez
Wenn du lernen willst wie man einen Rotationskörper auf das Papier zeichnet, gehe auf den Artikel Skizzieren eines Rotationskörpers - Anleitung.
- 5
Für jedes a∈R\{0} ist die Funktionenschar gegeben durch fa(x)=x⋅eax+a3.
Der Graph der Funktion ist Ka.
Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter a an.
1. Wo schneiden die Scharkurven die y-Achse?
2. Untersuche Ka auf Hoch- und Tiefpunkte.
3. Bestimme das Verhalten der Funktion fa(x) für x→−∞ und für x→∞ und gib gegebenenfalls die Asymptote an.
4. Skizziere für a=−3 und a=1 die Graphen von K−3 und von K1.
5. Welche Scharkurve hat für x=21 ein Extremum?
6. Auf welcher Ortskurve liegen die Extrema?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kurvendiskussion
Lösung zu 1
Die y-Achse wird für x=0 geschnitten.
Setze x=0 in die Funktionsgleichung ein:
fa(0)=0⋅ea⋅0+a3=0⋅1+a3=a3
Antwort: Der Schnittpunkt der Scharkurven mit der y-Achse hat die Koordinaten Sy(0a3).
Lösung zu 2
Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet: fa′(x)=0
Berechne die 1. Ableitung, beachte dabei die Produktregel und die Kettenregel:
fa′(x)=1⋅eax+x⋅eax⋅a=(1+a⋅x)⋅eax
Setze fa′(x)=0
⇒0==0(1+a⋅x)⋅immer>0ea⋅x
Nur die Klammer kann null werden:
0=1+a⋅x⇒x=−a1
Die Feststellung, ob sich an der Stelle x=−a1 ein Extremum befindet, kann mit einer Monotonietabelle oder der 2. Ableitung erfolgen. Hier erfolgt die Überprüfung mit der 2. Ableitung:
Ist fa′′(x)>0, dann hat die Scharkurve Ka an der Stelle x einen Tiefpunkt.
Ist fa′′(x)<0, dann hat die Scharkurve Ka an der Stelle x einen Hochpunkt.
Berechne die 2. Ableitung, beachte dabei wieder die Produktregel und die Kettenregel:
fa′(x)=(1+a⋅x)⋅eax
fa′′(x)=a⋅eax+(1+a⋅x)⋅eax⋅a=(a2⋅x+2a)⋅eax
Setze x=−a1 in fa′′(x)=(a2⋅x+2a)⋅eax ein:
fa′′(−a1)=(a2⋅(−a1)+2a)⋅ea⋅(−a1)=(−a+2a)⋅e−1=a⋅e−1
Das Ergebnis ist vom Scharparameter a abhängig, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von a erforderlich.
Fallunterscheidung
Fall 1: a>0
fa′′(−a1)=a⋅e−1>0⇒TP
Fall 2: a<0
fa′′(−a1)=a⋅e−1<0⇒HP
Setze x=−a1 in fa(x) ein, um die y-Koordinate der Extrema zu berechnen.
fa(−a1)=(−a1)⋅ea⋅(−a1)+a3=a3−a1⋅e−1=a1⋅(3−e−1)
Antwort: Für a>0 hat der Tiefpunkt die Koordinaten TP(−a1a1⋅(3−e−1)) und für a<0 hat der Hochpunkt die Koordinaten HP(−a1a1⋅(3−e−1)).
Lösung zu 3
Betrachte zunächst x→+∞lim(x⋅eax+a3). Wie verhält sich der Ausdruck x⋅eax, wenn x sehr groß wird? Das Verhalten hängt vom Vorzeichen des Scharparameters a ab, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von a erforderlich.
Fallunterscheidung
Fall 1: a>0
x→+∞lim(x⋅eax+a3)=x→+∞lim→+∞x⋅eax+a3=+∞
Für a>0 wächst eax für x→+∞ stärker als jede Potenz von x. Der Ausdruck x⋅eax geht somit gegen +∞.
x→−∞lim(x⋅eax+a3)=x→−∞lim→0x⋅eax+a3=a3
Für a>0 geht eax für x→−∞ stärker gegen 0 als x→−∞. Der Ausdruck x⋅eax geht somit gegen 0.
Fall 2: a<0
x→+∞lim(x⋅eax+a3)=x→+∞lim→0x⋅eax+a3=a3
Für a<0 geht eax für x→+∞ stärker gegen 0 als x→+∞. Der Ausdruck x⋅eax geht somit gegen 0.
x→−∞lim(x⋅eax+a3)=x→−∞lim→−∞x⋅eax+a3=−∞
Für a<0 wächst eax für x→−∞ stärker als jede Potenz von x. Der Ausdruck x⋅eax geht somit gegen −∞.
Alle Scharkurven haben eine waagrechte Asymptote yA=a3.
Lösung zu 4
Für a=−3 lautet f−3(x)=x⋅e−3x−1 und für a=1 ist f1=x⋅ex+3. Bekannt sind weiterhin der Schnittpunkt mit der y-Achse Sy(0a3), der Extrempunkt E(−a1a1⋅(3−e−1)) und die waagrechte Asymptote yA=a3. Zum Skizzieren der beiden Graphen ist es sinnvoll, noch einige Funktionswerte zu berechnen. Sie sind in den beiden folgenden Tabellen aufgelistet.
Tabelle für f−3(x)=x⋅e−3x−1:
x
f−3(x)
besonderer Punkt
-0,5
-3,24
0
-1
Sy
0,33
-0,88
HP
1
-0,95
3
-1
Die Funktion f−3(x)=x⋅e−3x−1 hat die waagrechte Asymptote yA=−1.
Tabelle für f1=x⋅ex+3:
x
f1(x)
besonderer Punkt
-3
2,85
-2
2,73
-1
2,63
TP
0
3
Sy
0,5
3,82
1
5,72
Die Funktion f1(x)=x⋅ex+3 hat die waagrechte Asymptote yA=3.
Darstellung der Graphen von K−3 und von K1.
Lösung zu 5
Ein Extremum liegt vor, wenn fa′(x)=0 ist.
Setze in die unter Lösung 2 berechnete Ableitung fa′(x)=(1+a⋅x)⋅eax den Wert x=21 ein:
fa′(21)=ea⋅21⋅(1+a⋅21)
Setze fa′(21)=0
⇒0=immer>0ea⋅21⋅=0(1+a⋅21)
Nur die Klammer kann null werden:
0=1+a⋅21⇒a=−2
Antwort: Für a=−2 hat die Scharfunktion f−2(x)=x⋅e−2x−23 an der Stelle x=21 ein Extremum.
Lösung zu 6
Für die Ortskurve der Extrema benötigst du die Extrempunktkoordinaten.
Das Extremum hat die Koordinaten E(−a1a1⋅(3−e−1)).
Für die Berechnung der Ortskurve setzt du x=−a1 und y=a1⋅(3−e−1).
Löse dann x=−a1 nach a auf ⇒a=−x1.
Setze a=−x1 in y=a1⋅(3−e−1) ein:
y=−x11⋅(3−e−1)=−x⋅(3−e−1)=(e−1−3)⋅x
Antwort: Die Gleichung der Ortskurve lautet y=(e−1−3)⋅x. Der Graph der Ortskurve ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung m=e−1−3≈−2,63.
Zur Veranschaulichung sind im folgenden Applet mehrere Scharkurven und die Ortskurve der Extrema dargestellt.
- 6
Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden g:OX=501+r⋅−411und
h:OX=537+s⋅21−2
Berechne ihren Abstand und die beiden Lotfußpunkte auf den Geraden.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Differentialrechnung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
Ein beliebiger Punkt P auf der Geraden g hat die Koordinaten: P(5−4r∣r∣1+r)
Ein beliebiger Punkt Q auf der Geraden h hat die Koordinaten: Q(5+2s∣3+s∣7−2s)
Schritt 1
Der Punkt Q∈h ist beliebig, aber mit konstantem s. Der Punkt P∈g ist beliebig und variabel mit dem Parameter r. Der Abstand d=PQ ist dann eine Funktion von r ⇒d=d(r).
Berechne den Vektor PQ=OQ−OP=5+2s−(5−4r)3+s−r7−2s−(1+r)=2s+4r3+s−r6−2s−r
(I)d=PQ=(2s+4r)2+(3+s−r)2+(6−2s−r)2
Der Abstand d zwischen P und Q soll minimal werden.
Die Bedingung für ein Minimum lautet dann: d(r)′=0 und d(r)′′>0.
Zur Vereinfachung wird nicht die Funktion d(r) abgeleitet sondern die Funktion d∗(r)=(d(r))2.
Damit entfällt die Ableitung der Wurzel. Wenn die Funktion d∗(r) minimal ist, dann ist auch die Funktion d(r) minimal.
(II)d∗(r)=(d(r))2=(2s+4r)2+(3+s−r)2+(6−2s−r)2
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion d∗(r).
d∗(r)′=2⋅(2s+4r)⋅4+2⋅(3+s−r)⋅(−1)+2⋅(6−2s−r)⋅(−1)
Beachte beim Ableiten die Kettenregel. Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
d∗(r)′=16s+32r−6−2s+2r−12+4s+2r=−18+18s+36r
d∗(r)′′=36>0 Damit ist die Bedingung für ein Minimum erfüllt.
d∗(r)′=0⇒−18+18s+36r=0 nach r aufgelöst folgt: r=0,5−0,5s
Schritt 2
Der Punkt PF wird nun als konstant betrachtet und der Punkt Q ist variabel in Abhängigkeit von s.
Der Abstand d=PQ ist dann eine Funktion von s ⇒d=d(s).
Setze das berechnete r=0,5−0,5s in Gleichung (II) ein ⇒
d∗(s)=(2s+4⋅(0,5−0,5s))2+(3+s−(0,5−0,5s))2+(6−2s−(0,5−0,5s))2
zusammengefasst erhältst du: d∗(s)==4+(2,5+1,5s)2+(5,5−1,5s)2
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion d∗(s).
d∗(s)′=0+2⋅(2,5+1,5s)⋅1,5+2⋅(5,5−1,5s)⋅(−1,5)
Beachte beim Ableiten die Kettenregel. Löse die Klammern auf und fasse zusammen:
d∗(s)′=7,5+4,5s−16,5+4,5s=−9+9s
d∗(s)′′=9>0 Damit ist die Bedingung für ein Minimum erfüllt.
d∗(s)′=0⇒−9+9s=0 mit der Lösung s=1.
Setze s=1 in r=0,5−0,5s ein, dann erhältst du für r den Wert: r=0
Setze r und s in Gleichung (I) ein, dann gilt für den Abstand der beiden Geraden:
d=(2⋅1+4⋅0)2+(3+1−0)2+(6−2⋅1−0)2=4+16+16=36=6
Setze r und s in P und Q ein, dann erhältst du die beiden Lotfußpunkte:
PF(5−4⋅0∣0∣1+0)⇒PF(5∣0∣1) und QF(5+2⋅1∣3+1∣7−2⋅1)⇒QF(7∣4∣5)
Antwort: Die beiden windschiefen Geraden haben einen Abstand von 6LE und die beiden Lotfußpunkte lauten PF(5∣0∣1) und QF(7∣4∣5).
- 7
Rechne die Zahl 10111022 Bina¨rsystem In eine Dezimalzahl um.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binärsystem
DieBina¨rzahl[101110]2hieruntereinandergeschrieben:25=32∗1=3224=16∗0=023=8∗1=822=4∗1=421=2∗1=220=1∗0=0−−−−−−−46
- 8
Bestimme den Abstand zweier Ebenen mit Hilfe einer Lotgeraden.
Geben sind die beiden Ebenen:
E1:ax1+bx2+cx3=d1
E2:ax1+bx2+cx3=d2
Man erstellt die Gleichung einer Lotgeraden durch den Koordinatenursprung.
Der Richtungsvektor der Lotgeraden ist der Normalenvektor n=abc der Ebene.
gLot: x=r⋅abc
Man berechnet die beiden Schnittpunkte S1 und S2 der Lotgeraden mit den Ebenen E1 und E2.
Der Abstand der beiden Ebenen ist dann der Betrag des Vektors S1S2
Beispiel:
Geben sind die beiden Ebenen:
E1:x1+2x2+2x3=3
E2:x1+2x2+2x3=6
Der Normalenvektor der Ebene ist n=122.
Die Lotgerade durch den Koordinatenursprung hat dann die Gleichung: gLot: x=r⋅122
Man berechnet den Schnittpunkt von gLot mit E1:
gLot∩E1:r+2⋅2r+2⋅2r=3⇒9r=3 mit der Lösung r=31.
Man setzt r=31 in gLot ein und erhält den ersten Schnittpunkt:
xS1=31⋅122=313232⇒S1(31∣32∣32)
Man berechnet den Schnittpunkt von gLot mit E2:
gLot∩E2:r+2⋅2r+2⋅2r=6⇒9r=6 mit der Lösung r=32.
Man setzt r=32 in gLot ein und erhält den zweiten Schnittpunkt:
xS2=32⋅122=323434⇒S2(32∣34∣34)
Man berechnet den Vektor S1S2=323434−313232=313232.
Man berechnet den Betrag des Vektors S1S2 und erhält den Abstand der beiden Ebenen.
d(E1,E2)=S1S2=(31)2+(32)2+(32)2=99=1
Der Abstand der beiden Ebenen beträgt 1LE.
- 9
Katzendame Missy sieht eine Gruppe Mäuse rumstreunen und fängt an zu träumen: "Ich wünsche mir genauso viele, wie Ihr seid," sagt sie gescheit. "Und nochmal genauso viele dazu, dann wären es 100 an der Zahl," sagt sie und denkt an ein Festmahl. Damit ihre Katzenfreunde sie auch verstehen, wie viele Mäuse hat die Katze gesehen?
x+x = 100 2x = 100 :2 x = 2100 x = 50 ↓ Missy hat 50 Mäuse gesehen.
Gesucht wird x= Anzahl der Mäuse
Anzahl gesehener Mäuse = Anzahl gewünschter Mäuse
- 10
Punkte in der Ebene
Gegeben ist eine Ebene E:X=A+r⋅u+s⋅v (Parameterform mit den Parametern r,s∈R). Wenn man für r und s beliebige Werte einsetzt, erhält man einen Punkt in der Ebene.
Beispiel
Man betrachtet die Ebene E:X=25−3+r⋅5−6−9+s⋅123 und wählt z.B. für die beiden Parameter r und s die Werte r=−1 und s=2. Diese beiden Werte beschreiben genau einen Punkt P in der Ebene:
P=25−3+(−1)⋅5−6−9+2⋅123=−11512
Der Punkt P hat die Koordinaten: P(−1∣15∣12) und P∈E.
Umgekehrt gibt es zu jedem Punkt in der Ebene passende Werte für die beiden Parameter r und s. Will man prüfen, ob ein Punkt P in der Ebene liegt, wird der Ortvektor des Punktes P mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (man setzt für den Vektor X der Ebene den Ortvektor des Punktes P ein).
Anschließend stellt man ein Gleichungssystem auf und löst die einzelnen Gleichungen nach r und s auf.
Verständlicher wird dies, wenn man sich Beispiele ansieht:
Beispiel 1
Gegeben ist die Ebenengleichung:
E:X=25−3+r⋅5−6−9+s⋅123
Es soll geprüft werden, ob der Punkt P(7∣−1∣−12) in der Ebene liegt.
Lösung für Beispiel 1
Man setzt für den Vektor X der Ebene E den Ortvektor des Punktes P(7∣−1∣−12) ein:
7−1−12=25−3+r⋅5−6−9+s⋅123
So erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.
(I):(II):(III):7−1−12===2+5⋅r+1⋅s5−6⋅r+2⋅s−3−9⋅r+3⋅s
Umgeformt erhält man:
(I′):(II′):(III′):5−6−9===5⋅r+1⋅s−6⋅r+2⋅s−9⋅r+3⋅s
Um eine Variable zu eliminieren rechnet man z.B. (−2)⋅(I′)+(II′)
(−2)⋅(I′):+(II′):−10−6==−10⋅r−6⋅r−+2⋅s2⋅s
−16=−16⋅r+0⇒r=1
Man setzt r=1 in Gleichung (I′):5=5⋅r+1⋅s ein:
(I′):5=5⋅1+1⋅s⇒s=0
Mit den Werten r=1 und s=0 wird (als Probe) die Gleichung (II′):−6=−6⋅r+2⋅s überprüft:
(II′):−6=−6⋅1+2⋅0✓ Somit wurden r und s richtig berechnet.
Mit den Werten r=1 und s=0 wird die Gleichung (III′):−9=−9⋅r+3⋅s überprüft:
(III′):−9=−9⋅1+3⋅0✓
Damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, d.h. der Punkt P liegt in der Ebene.
Beispiel 2
Gegeben ist die Ebenengleichung:
E:X=25−3+r⋅5−6−9+s⋅123
Es soll geprüft werden, ob der Punkt Q(4∣10∣−6) in der Ebene liegt.
Lösung für Beispiel 2
Man setzt für den Vektor X der Ebene E den Ortvektor des Punktes Q(4∣10∣−6) ein:
410−6=25−3+r⋅5−6−9+s⋅123
So erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.
(I):(II):(III):410−6===2+5⋅r+1⋅s5−6⋅r+2⋅s−3−9⋅r+3⋅s
Umgeformt erhält man:
(I′):(II′):(III′):25−3===5⋅r+1⋅s−6⋅r+2⋅s−9⋅r+3⋅s
Um eine Variable zu eliminieren rechnet man z.B. (−2)⋅(I′)+(II′)
(−2)⋅(I′):+(II′):−45==−10⋅r−6⋅r−+2⋅s2⋅s
1=−16⋅r+0⇒r=−161
Man setzt r=−161 in Gleichung (I′):2=5⋅r+1⋅s ein:
(I′):2=5⋅(−161)+1⋅s⇒s=1637.
Mit den Werten r=−161 und s=1637 wird (als Probe) die Gleichung (II′):5=−6⋅r+2⋅s überprüft:
(II′):5=−6⋅(−161)+2⋅1637=166+1674=1680=5✓ Somit wurden r und s richtig berechnet.
Mit den Werten r=−161 und s=1637 wird die Gleichung (III′):−3=−9⋅r+3⋅s überprüft:
(III′):−3=−9⋅(−161)+3⋅1637=169+16111=16120=7,5
Gleichung (III′) liefert ein falsches Ergebnis, da −3=7,5.
Das Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. der Punkt Q liegt nicht in der Ebene.
- 11
Testlösungen Abitur BW
Aufgabe 6.1
IIIIIIx12x14x1+−−x2x2x2+−+7x33x34x3===2−5−7
Zunächst solltest du es zu einer erweiterten Koeffizientenmatrix umschreiben:
1241−1−17−342−5−7
Als ersten Schritt des Gaußverfahrens verwendest du jetzt das Additionsverfahren, um die beiden Einträge, die jetzt orange markiert sind auf null zu bringen.
1241−1−17−342−5−71041−3−17−1742−9−7II−2⋅IIII−4⋅I1041−3−17−1742−9−71001−3−5−7−17−242−9−15
Dazu ziehst du von der zweiten Zeile das Doppelte der ersten Zeile ab (II−2⋅I).
Anschließend ziehst du von der dritten Zeile das Vierfache der ersten Zeile ab