Aufgaben zu komplexen Zahlen - lernen mit Serlo!

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Berechne:

$i^8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Du kannst die $8$ als Produkt von $4$ und $2$ schreiben.
	↓
$\displaystyle i^8$	$=$	$\displaystyle i^{4\cdot2}$
	↓	Mit den Potenzgesetzen kannst du das so schreiben: Denn es ist z.B. $a^3\cdot a^4=a^{3+4}=a^7$ . Damit ist $i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2=i^{2+2+2+2}=i^8$ .
	$=$	$\displaystyle i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2$
	↓	Es gilt $i^2=-1$ . Du schreibst also jedes $i^2$ um zu $-1$ .
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)$
	↓	Du multiplizierst die beiden linken $\left(-1\right)$ miteinander und die beiden rechten. $\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1$ .
	$=$	$\displaystyle 1\cdot1$
	$=$	$\displaystyle 1$

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Versuche, $i^8$ als Produkt von mehreren $i$ und $i^2$ zu schreiben.

$i^{15}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Du kannst $i^{15}$ als folgendes Produkt schreiben, weil alle Exponenten addiert wieder $15$ ergeben.
	↓
$\displaystyle i^{15}$	$=$	$\displaystyle i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^1$
	↓	Es gilt $i^2=-1$ . Ersetze daher alle $i^2$ durch $-1$
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot i$
	↓	Es gilt $\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1$ . Daher kannst du immer zwei $-1$ zusammenfassen zu einer $1$ . Eine $-1$ bleibt übrig.
	$=$	$\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot\left(-1\right)\cdot i$
	↓	$1\cdot1\cdot1=1$ musst du nicht mehr hinschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot i$
	$=$	$\displaystyle -i$

Versuche, $i^{15}\$ als Produkt von mehreren $i$ und $i^2$ zu schreiben.

$\left(-i\right)^3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Nach den Potenzgesetzen darfst du so umformen: Denn addiert ergeben die Exponenten auf der rechten Seite wieder $2+1=3$
	↓
$\displaystyle \left(-i\right)^3$	$=$	$\displaystyle \left(-i\right)^2\cdot\left(-i\right)$
	↓	Beim Quadrieren einer Zahl entfällt das Minus. Zum Beispiel: $\left(-4\right)^2=4^2$ . Du kannst das Minus also weglassen.
	$=$	$\displaystyle i^2\cdot\left(-i\right)$
	↓	Es gilt $i^2=-1$
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(-i\right)$
	↓	Zwei negative Zahlen multipliziert ergeben eine positive Zahl. Du kannst die Vorzeichen also in diesem Fall weglassen.
	$=$	$\displaystyle 1\cdot i$
	$=$	$\displaystyle i$

Schreibe die Potenz um, sodass du ein Produkt mit $i^2$ erhältst.