Aufgaben zu komplexen Zahlen - lernen mit Serlo!

Berechne:

$i^{8}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Du kannst die $8$ als Produkt von $4$ und $2$ schreiben.
	↓
$i^{8}$	$=$	$i^{4 \cdot 2}$
	↓	Mit den Potenzgesetzen kannst du das so schreiben: Denn es ist z.B. $a^{3} \cdot a^{4} = a^{3 + 4} = a^{7}$ . Damit ist $i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} = i^{2 + 2 + 2 + 2} = i^{8}$ .
	$=$	$i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2}$
	↓	Es gilt $i^{2} = - 1$ . Du schreibst also jedes $i^{2}$ um zu $- 1$ .
	$=$	$(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1)$
	↓	Du multiplizierst die beiden linken $(- 1)$ miteinander und die beiden rechten. $(- 1) \cdot (- 1) = 1$ .
	$=$	$1 \cdot 1$
	$=$	$1$

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Versuche, $i^{8}$ als Produkt von mehreren $i$ und $i^{2}$ zu schreiben.

$i^{15}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Du kannst $i^{15}$ als folgendes Produkt schreiben, weil alle Exponenten addiert wieder $15$ ergeben.
	↓
$i^{15}$	$=$	$i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{1}$
	↓	Es gilt $i^{2} = - 1$ . Ersetze daher alle $i^{2}$ durch $- 1$
	$=$	$(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot i$
	↓	Es gilt $(- 1) \cdot (- 1) = 1$ . Daher kannst du immer zwei $- 1$ zusammenfassen zu einer $1$ . Eine $- 1$ bleibt übrig.
	$=$	$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (- 1) \cdot i$
	↓	$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ musst du nicht mehr hinschreiben.
	$=$	$(- 1) \cdot i$
	$=$	$- i$

Versuche, $i^{15}$ als Produkt von mehreren $i$ und $i^{2}$ zu schreiben.

${(- i)}^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Nach den Potenzgesetzen darfst du so umformen: Denn addiert ergeben die Exponenten auf der rechten Seite wieder $2 + 1 = 3$
	↓
${(- i)}^{3}$	$=$	${(- i)}^{2} \cdot (- i)$
	↓	Beim Quadrieren einer Zahl entfällt das Minus. Zum Beispiel: ${(- 4)}^{2} = 4^{2}$ . Du kannst das Minus also weglassen.
	$=$	$i^{2} \cdot (- i)$
	↓	Es gilt $i^{2} = - 1$
	$=$	$(- 1) \cdot (- i)$
	↓	Zwei negative Zahlen multipliziert ergeben eine positive Zahl. Du kannst die Vorzeichen also in diesem Fall weglassen.
	$=$	$1 \cdot i$
	$=$	$i$

Schreibe die Potenz um, sodass du ein Produkt mit $i^{2}$ erhältst.

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