Aufgaben zu komplexen Zahlen

…

Gar nicht so komplex! Mit diesen gemischten Aufgaben lernst du das Rechnen mit komplexen Zahlen.

Schreibe die Wurzeln mit der imaginären Einheit $i$ .

$\sqrt{4 - 7}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Berechne die Differenz unter der Wurzel
	↓
$\sqrt{4 - 7}$	$=$	$\sqrt{- 3}$
	↓	Aus der $- 3$ können wir zumindest mit den reellen Zahlen die Wurzel nicht ziehen. Aber wir können die $- 3$ als ein Produkt von $3$ und $(- 1)$ schreiben.
	$=$	$\sqrt{3 \cdot (- 1)}$
	↓	Wir wissen, dass $i^{2} = - 1$ ist. Deswegen können wir die $(- 1)$ unter der Wurzel jetzt als $i^{2}$ schreiben.
	$=$	$\sqrt{3 \cdot i^{2}}$
	↓	Das Produkt unter der Wurzel können wir umschreiben zu einem Produkt aus Wurzeln.
	$=$	$\sqrt{3} \cdot \sqrt{i^{2}}$
	↓	$\sqrt{3} \cdot \sqrt{i^{2}} = \pm i \cdot$ $\sqrt{3}$ können wir nicht weiter vereinfachen.
	$=$	$\pm i \cdot \sqrt{3}$
	↓	Das Malzeichen kannst du weglassen.
	$=$	$\pm i \sqrt{3}$

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Berechne die Differenz unter der Wurzel.
Klammere $(- 1)$ aus
Schreibe $(- 1)$ um zu $i^{2}$
Ziehe partiell die Wurzel

$\sqrt{- 144}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

$144$ ist eine Quadratzahl. Das einzige, was uns vom Wurzel ziehen abhält, ist das Minus davor. Deswegen schreiben wir $- 144$ als Produkt von der gewünschten $144$ und $(- 1)$
	↓
$\sqrt{- 144}$	$=$	$\sqrt{144 \cdot (- 1)}$
	↓	Wir wissen, dass $i^{2} = - 1$ . Deswegen schreiben wir die $(- 1)$ um zu $i^{2}$ .
	$=$	$\sqrt{144 \cdot i^{2}}$
	↓	Ein Produkt unter einer Wurzel dürfen wir aufspalten in ein Produkt von zwei Wurzeln.
	$=$	$\sqrt{144} \cdot \sqrt{i^{2}}$
	↓	Jetzt können wir die beiden Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\pm 12 \cdot i$
	↓	Das Malzeichen kannst du weglassen.
	$=$	$\pm 12 i$

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Klammere $(- 1)$ unter der Wurzel aus
Schreibe $(- 1)$ um zu $i^{2}$
Ziehe partiell die Wurzel

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{- 4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

$\sqrt{5}$ können wir nicht weiter vereinfachen, da $5$ keine Quadratzahl ist und auch kein Minus vor sich hat. Deswegen lassen wir den Zähler erstmal in Ruhe. Stattdessen schauen wir uns $\sqrt{- 4}$ im Nenner an. $4$ ist eine Quadratzahl. Um die Wurzel ziehen zu können, schreiben wir $- 4$ unter der Wurzel als ein Produkt von $4$ und $(- 1)$ .
	↓
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{- 4}}$	$=$	$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4 \cdot (- 1)}}$
	↓	Das Produkt unter der Wurzel können wir aufsplitten in ein Produkt von zwei Wurzeln.
	$=$	$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{(- 1)}}$
	↓	Jetzt können wir die $(- 1)$ umschreiben zu $i^{2}$ .
	$=$	$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{i^{2}}}$
	↓	Nun können wir im Nenner die Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\frac{\sqrt{5}}{\pm 2 \cdot i}$
	↓	Das Malzeichen kannst du weglassen.
	$=$	$\pm \frac{\sqrt{5}}{2 i}$
	↓	Der Kehrwert von $i$ ist $- i$
	$=$	$\pm \frac{\sqrt{5}}{2} i$

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Klammere in der Wurzel im Nenner $(- 1)$ aus
Schreibe $(- 1)$ um zu $i^{2}$
Ziehe partiell die Wurzel im Nenner

$\sqrt{4 (- 25)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Unter der Wurzel steht das Produkt $4 \cdot (- 25)$ . Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel umschreiben zu einem Produkt von zwei Wurzeln.
	↓
$\sqrt{4 (- 25)}$	$=$	$\sqrt{4} \cdot \sqrt{- 25}$
	↓	$\sqrt{4}$ können wir schonmal ziehen. Für die andere Wurzel schreiben wir $- 25$ als ein Produkt von $- 1$ und $25$ .
	$=$	$2 \cdot \sqrt{25 \cdot (- 1)}$
	↓	Nun können wir $(- 1)$ umschreiben zu $i^{2}$ .
	$=$	$2 \cdot \sqrt{25 \cdot i^{2}}$
	↓	Das Produkt unter der Wurzel können wir wieder als Produkt von zwei Wurzeln schreiben.
	$=$	$2 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{i^{2}}$
	↓	Jetzt können wir auch diese beiden Wurzeln noch ziehen.
	$=$	$2 \cdot 5 \cdot (\pm i)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\pm 10 i$

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Schreibe die Aufgabe als ein Produkt von zwei Wurzeln
Die erste Wurzel kannst du direkt ziehen.
Bei der zweiten Wurzel klammerst du $(- 1)$ aus
Schreibe $(- 1)$ um zu $i^{2}$
Ziehe dann partiell die Wurzel
Vereinfache

Berechne:

$i^{8}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Du kannst die $8$ als Produkt von $4$ und $2$ schreiben.
	↓
$i^{8}$	$=$	$i^{4 \cdot 2}$
	↓	Mit den Potenzgesetzen kannst du das so schreiben: Denn es ist z.B. $a^{3} \cdot a^{4} = a^{3 + 4} = a^{7}$ . Damit ist $i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} = i^{2 + 2 + 2 + 2} = i^{8}$ .
	$=$	$i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2}$
	↓	Es gilt $i^{2} = - 1$ . Du schreibst also jedes $i^{2}$ um zu $- 1$ .
	$=$	$(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1)$
	↓	Du multiplizierst die beiden linken $(- 1)$ miteinander und die beiden rechten. $(- 1) \cdot (- 1) = 1$ .
	$=$	$1 \cdot 1$
	$=$	$1$

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Versuche, $i^{8}$ als Produkt von mehreren $i$ und $i^{2}$ zu schreiben.

$i^{15}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Du kannst $i^{15}$ als folgendes Produkt schreiben, weil alle Exponenten addiert wieder $15$ ergeben.
	↓
$i^{15}$	$=$	$i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{2} \cdot i^{1}$
	↓	Es gilt $i^{2} = - 1$ . Ersetze daher alle $i^{2}$ durch $- 1$
	$=$	$(- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1) \cdot i$
	↓	Es gilt $(- 1) \cdot (- 1) = 1$ . Daher kannst du immer zwei $- 1$ zusammenfassen zu einer $1$ . Eine $- 1$ bleibt übrig.
	$=$	$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (- 1) \cdot i$
	↓	$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ musst du nicht mehr hinschreiben.
	$=$	$(- 1) \cdot i$
	$=$	$- i$

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Versuche, $i^{15}$ als Produkt von mehreren $i$ und $i^{2}$ zu schreiben.

${(- i)}^{3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Nach den Potenzgesetzen darfst du so umformen: Denn addiert ergeben die Exponenten auf der rechten Seite wieder $2 + 1 = 3$
	↓
${(- i)}^{3}$	$=$	${(- i)}^{2} \cdot (- i)$
	↓	Beim Quadrieren einer Zahl entfällt das Minus. Zum Beispiel: ${(- 4)}^{2} = 4^{2}$ . Du kannst das Minus also weglassen.
	$=$	$i^{2} \cdot (- i)$
	↓	Es gilt $i^{2} = - 1$
	$=$	$(- 1) \cdot (- i)$
	↓	Zwei negative Zahlen multipliziert ergeben eine positive Zahl. Du kannst die Vorzeichen also in diesem Fall weglassen.
	$=$	$1 \cdot i$
	$=$	$i$

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Schreibe die Potenz um, sodass du ein Produkt mit $i^{2}$ erhältst.

3
Bestimme den Imaginärteil und den Realteil der folgenden komplexen Zahlen.
1. $z = 2 + 5 i$
  Der Realteil von $z$ ist $2$ .
  $Re (z) = 2$
  Der Realteil von $z$ ist 5.
  Der Imaginärteil von $z$ ist $5 i$ .
  Der Imaginärteil von $z$ ist $5$ .
  $Im (z) = 5 i$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen
  Der Realteil ist der Teil einer komplexen Zahl, bei dem kein $i$ steht. Der Imaginärteil ist die Zahl, die direkt bei dem $i$ steht. Aber Vorsicht: Der Imaginärteil ist immer reell, also das $i$ selbst gehört nicht mit zum Imaginärteil!
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2. $z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 6 i$
  $Im (z) = 6 i$
  $Im (z) = - 6$
  $Im (z) = 6$
  $Re (z) = 2$
  $Re (z) = \frac{3}{2}$
  $Im (z) = - 6 i$

Berechne folgende Summen und Differenzen:

Berechne $z_{1} + z_{2}$ .

$z_{1} = 3 + 4 i$

$z_{2} = 3 - 2 i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Setze für $z_{1}$ und $z_{2}$ die obigen Zahlen ein.
	↓
$z_{1} + z_{2}$	$=$	$3 + 4 i + 3 - 2 i$
	↓	Ordne alle Zahlen ohne $i$ nach vorne und alle mit $i$ nach hinten.
	$=$	$3 + 3 + 4 i - 2 i$
	↓	Addiere bzw. subtrahiere alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ einzeln.
	$=$	$6 + 2 i$

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Addiere Real- und Imaginärteil einzeln.

Berechne $z_{1} + z_{2}$ .

$z_{1} = 3 - 2 i$

$z_{2} = 7 + 5 i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Setze für $z_{1}$ und $z_{2}$ die Zahlen aus der Aufgabenstellung ein.
	↓
$z_{1} + z_{2}$	$=$	$3 - 2 i + 7 + 5 i$
	↓	Bringe alle Zahlen ohne $i$ nach vorne und alle mit $i$ nach hinten
	$=$	$3 + 7 - 2 i + 5 i$
	↓	Addiere alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ getrennt.
	$=$	$10 + 3 i$

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Addiere real- und Imaginärteil einzeln.

Berechne $z_{1} + 2 \cdot z_{2}$ .

$z_{1} = 2 + 5 i$

$z_{2} = - 1 + i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ aus der Aufgabenstellung ein. Setze $z_{2}$ dabei in Klammern, weil du ja die gesamte Zahl mal $2$ nehmen musst.
	↓
$z_{1} + 2 \cdot z_{2}$	$=$	$2 + 5 i + 2 \cdot (- 1 + i)$
	↓	Multipliziere die Klammer wie gewohnt aus.
	$=$	$2 + 5 i - 2 + 2 i$
	↓	Addiere bzw. subtrahiere alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ getrennt.
	$=$	$7 i$

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Schreibe $z_{2}$ in Klammern und multipliziere aus. Addiere/subtrahiere anschließend alle Real- und Imaginärteile getrennt.

Berechne $z_{1} + 3 z_{2} - z_{3}$ .

$z_{1} = 2 i$

$z_{2} = 3 - 4 i$

$z_{3} = 6 - i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Setze die komplexen Zahlen aus der Aufgabenstellung ein. Setze dabei alle komplexen Zahlen in Klammern, vor denen ein Minus oder eine Zahl zum Multiplizieren davor steht. In diesem Fall musst du $z_{2}$ und $z_{3}$ in Klammern setzen.
	↓
$z_{1} + 3 z_{2} - z_{3}$	$=$	$2 i + 3 \cdot (3 - 4 i) - (6 - i)$
	↓	Multipliziere die erste Klammer wie gewohnt aus. Die zweite Klammer ist eine Minusklammer, die du ebenfalls ganz normal auflösen kannst, indem du alle Vorzeichen in der Klammer einmal umkehrst.
	$=$	$2 i + 9 - 12 i - 6 + i$
	↓	Addiere bzw. subtrahiere nun alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ getrennt voneinander.
	$=$	$3 - 9 i$

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Setze $z_{2}$ und $z_{3}$ in Klammern, multipliziere aus und addiere/subtrahiere anschließend Real- und Imaginärteile einzeln.

Berechne $- 2 z_{1} + z_{2} - z_{3}$ .

$z_{1} = 7 + 4 i$

$z_{2} = 15 i - 4$

$z_{3} = 1 - i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Setze die komplexen Zahlen aus der Aufgabenstellung ein. Setze dabei die Zahlen, vor denen ein Minus oder ein multiplikativer Faktor steht (also eine Zahl, mit der du die komplexe Zahl multiplizieren musst) in Klammern. In diesem Fall sind das $z_{1}$ und $z_{3}$
	↓
$- 2 z_{1} + z_{2} - z_{3}$	$=$	$- 2 (7 + 4 i) + 15 i - 4 - (1 - i)$
	↓	Multipliziere die Klammern wie gewohnt aus.
	$=$	$- 14 - 8 i + 15 i - 4 - 1 + i$
	↓	Addiere/subtrahiere alle Zahlen mit bzw. ohne $i$ getrennt.
	$=$	$- 19 + 8 i$

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Setze alle komplexen Zahlen, vor denen ein Minus oder eine Zahl steht in Klammern und löse diese anschließend wie gewohnt auf. Dann kannst du Real- und Imaginärteile einzeln addieren.

Berechne $z_{1} - \overline{z_{2}}$ .

$z_{1} = - 4 + 6 i$

$z_{2} = 2 + 3 i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Die konjugiert komplexe Zahl von $z_{2}$ ist $\overline{z_{2}} = 2 - 3 i$ . Setze diese in den zu berechnenden Term ein. Vergiss nicht, sie in Klammern zu setzen, da ein Minus vor $\overline{z_{2}}$ steht.
	↓
$z_{1} - \overline{z_{2}}$	$=$	$- 4 + 6 i - (2 - 3 i)$
	↓	Löse die Minusklammern auf.
	$=$	$- 4 + 6 i - 2 + 3 i$
	↓	Addiere/subtrahiere alle Zahlen mit bzw. ohne $i$ getrennt voneinander.
	$=$	$- 6 + 9 i$

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Überlege dir zunächst die konjugiert komplexe Zahl von $z_{2}$ und subtrahiere anschließend die komplexen Zahlen, indem du ihre Real- und Imaginärteile einzeln subtrahierst/addierst.

Berechne $z_{1} - z_{2} + \overline{z_{3}}$ .

$z_{1} = 3 i - 2$

$z_{2} = 4 + 2 i$

$z_{3} = 1 - i$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Die konjugiert komplexe Zahl zu $z_{3}$ ist $\overline{z_{3}} = 1 + i$ , d.h. man dreht lediglich das Vorzeichen vor dem $i$ einmal um. Setze alles in den Term ein. Achte darauf, dass du die Zahlen, vor denen ein Minus steht, in Klammern setzt.
	↓
$z_{1} - z_{2} + \overline{z_{3}}$	$=$	$3 i - 2 - (4 + 2 i) + 1 + i$
	↓	Löse die Minusklammer auf.
	$=$	$3 i - 2 - 4 - 2 i + 1 + i$
	↓	Verrechne alle Zahlen mit bzw. ohne $i$ miteinander.
	$=$	$- 5 + 2 i$

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Überlege dir die konjugiert komplexe Zahl von $z_{3}$ , setze ein und addiere/subtrahiere anschließend alle Real- bzw. Imaginärteile getrennt.

Berechne die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen.

$x^{2} + 4 x + 13 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Wende die Mitternachtsformel an:
	↓
$x_{1, 2}$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$
	↓	Berechne den Term unter der Wurzel
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2}$
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{- 36}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel steht eine negative Zahl. Du kannst $- 36$ schreiben als $36 \cdot (- 1) = 36 \cdot i^{2}$
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{36 i^{2}}}{2}$
	↓	Nach den Wurzelgesetzen darf man ein Produkt unter der Wurzel in ein Produkt von zwei Wurzeln umwandeln:
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{36} \sqrt{i^{2}}}{2}$
	↓	Jetzt kannst du die Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\frac{- 4 \pm 6 \cdot i}{2}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen: Dafür teilst du jeden Summanden aus dem Zähler durch die $2$ im Nenner.
	$=$	$\frac{- 4}{2} \pm \frac{6 i}{2}$
	$=$	$- 2 \pm 3 i$

Jetzt musst du noch die zwei Lösungen aufschreiben. Dafür schreibst du statt dem $\pm$ für die erste Lösung ein $+$ und für die zweite Lösung ein $-$ .

$x_{1} = - 2 + 3 i$

$x_{2} = - 2 - 3 i$

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Wende die Mitternachtsformel an und schreibe dann die Lösungen ggf. mit der imaginären Einheit $i$ auf.

$x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{25}{16} = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Wende die Mitternachtsformel an.
	↓
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \frac{25}{16}}}{2 \cdot 1}$
	↓	Reche den Term unter der Wurzel aus.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{100}{16}}}{2}$
	↓	Berechne die Zahl unter der Wurzel, indem du den linken Bruch mit $4$ erweiterst.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{36}{16} - \frac{100}{16}}}{2}$
	↓	Nun kannst du die Brüche subtrahieren.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{- 64}{16}}}{2}$
	↓	Den Bruch unter der Wurzel kannst du kürzen.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{- 4}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel steht jetzt eine negative Zahl. Du kannst $- 4$ schreiben als $4 \cdot (- 1) = 4 \cdot i^{2}$
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{4 i^{2}}}{2}$
	↓	Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel als Produkt zweier Wurzeln schreiben.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm \sqrt{4} \sqrt{i^{2}}}{2}$
	↓	Jetzt kannst du die Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\frac{- \frac{3}{2} \pm 2 i}{2}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen, indem du jeden Summanden im Zähler durch die $2$ im Nenner teilst.
	$=$	$- \frac{\frac{3}{2}}{2} \pm \frac{2 i}{2}$
	↓	Den Doppelbruch vorne kannst du auflösen, indem du $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ rechnest.
	$=$	$- \frac{3}{4} \pm i$

Jetzt musst du noch die beiden Lösungen einzeln aufschreiben. Dafür schreibst du für die erste Lösung statt dem $\pm$ ein $+$ und für die zweite ein $-$ .

$x_{1} = - \frac{3}{4} + i$

$x_{2} = - \frac{3}{4} - i$

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Wende die Mitternachtsformel und schreibe die Lösungen ggf. mit $i$ .

$- 3 x^{2} + 6 x - 15 = 0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Wende die Mitternachtsformel an
	↓
$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 3)}$
	↓	Vereinfache den Term unter der Wurzel.
	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 180}}{- 6}$
	↓	Rechen die Zahl unter der Wurzel aus.
	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{- 144}}{- 6}$
	↓	Es steht eine negative Zahl unter der Wurzel. Du kannst $- 144$ schreiben als $144 \cdot (- 1) = 144 \cdot i^{2}$
	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{144 i^{2}}}{- 6}$
	↓	Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel als Produkt mehrerer Wurzeln schreiben.
	$=$	$\frac{- 6 \pm \sqrt{144} \sqrt{i^{2}}}{- 6}$
	↓	Jetzt kannst du die beiden Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\frac{- 6 \pm 12 i}{- 6}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen, indem du jeden Summanden aus dem Zähler durch die Zahl im Nenner teilst.
	$=$	$\frac{- 6}{- 6} \pm \frac{12 i}{- 6}$
	↓	Bemerkung: $\frac{12 i}{- 6} = - 2 i$ Das Vorzeichen ist allerdings im $\pm$ bereits enthalten, also kannst du das Vorzeichen hier ignorieren. Wer es ganz korrekt machen will, kann statt $\pm$ lieber $\mp$ schreiben.
	$=$	$1 \pm 2 i$

Jetzt kannst du noch die einzelnen Lösungen aufschreiben:

$x_{1} = 1 + 2 i$

$x_{2} = 1 - 2 i$

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Wende die Mitternachtsformel an. Falls unter der Wurzel etwas Negatives steht, kannst du die Lösungen mit $i$ schreiben

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