Aufgaben zu komplexen Zahlen

Gar nicht so komplex! Mit diesen gemischten Aufgaben lernst du das Rechnen mit komplexen Zahlen.

Schreibe die Wurzeln mit der imaginären Einheit $i$ .

$\sqrt{4-7}$

$\sqrt{-144}$

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-4}}$

$\sqrt{4(-25)}$

Berechne:

$i^{8}$

$i^{15}$

$\left(-i\right)^3$

3
Bestimme den Imaginärteil und den Realteil der folgenden komplexen Zahlen.
1. $z = 2 + 5 i$
  Der Realteil von $z$ ist $2$ .
  $\text{Re}(z)=2$
  Der Realteil von $z$ ist 5.
  Der Imaginärteil von $z$ ist $5 i$ .
  Der Imaginärteil von $z$ ist $5$ .
  $\text{Im}(z)=5i$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen
  Der Realteil ist der Teil einer komplexen Zahl, bei dem kein $i$ steht. Der Imaginärteil ist die Zahl, die direkt bei dem $i$ steht. Aber Vorsicht: Der Imaginärteil ist immer reell, also das $i$ selbst gehört nicht mit zum Imaginärteil!
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2. $z= \frac{3}{2} + \frac{1}{2}-6i$
  $\text{Im}(z)=6i$
  $\text{Im}(z)=-6$
  $\text{Im}(z)=6$
  $\text{Re}(z)=2$
  $\text{Re}(z)=\frac{3}{2}$
  $\text{Im}(z)=-6i$

Berechne folgende Summen und Differenzen:

Berechne $z_{1} + z_{2}$ .

$z_{1} = 3 + 4 i$

$z_{2} = 3 - 2 i$

Berechne $z_{1} + z_{2}$ .

$z_{1} = 3 - 2 i$

$z_{2} = 7 + 5 i$

Berechne $z_1+2\cdot z_2$ .

$z_{1} = 2 + 5 i$

$z_{2} = - 1 + i$

Berechne $z_{1} + 3 z_{2} - z_{3}$ .

$z_{1} = 2 i$

$z_{2} = 3 - 4 i$

$z_{3} = 6 - i$

Berechne $- 2 z_{1} + z_{2} - z_{3}$ .

$z_{1} = 7 + 4 i$

$z_{2} = 15 i - 4$

$z_{3} = 1 - i$

Berechne $z_1 - \bar{z_2}$ .

$z_{1} = - 4 + 6 i$

$z_{2} = 2 + 3 i$

Berechne $z_1-z_2+\bar{z_3}$ .

$z_{1} = 3 i - 2$

$z_{2} = 4 + 2 i$

$z_{3} = 1 - i$

Berechne die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen.

$x^{2} + 4 x + 13 = 0$

$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{25}{16}=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Wende die Mitternachtsformel an.
	↓
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\ \frac{3}{2}\right)^2-4\cdot1\cdot\frac{25}{16}}}{2\cdot1}$
	↓	Reche den Term unter der Wurzel aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{100}{16}}}{2}$
	↓	Berechne die Zahl unter der Wurzel, indem du den linken Bruch mit $4$ erweiterst.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{36}{16}-\frac{100}{16}}}{2}$
	↓	Nun kannst du die Brüche subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{-64}{16}}}{2}$
	↓	Den Bruch unter der Wurzel kannst du kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{-4}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel steht jetzt eine negative Zahl. Du kannst $- 4$ schreiben als $4\cdot(-1)=4 \cdot i^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{4i^2}}{2}$
	↓	Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel als Produkt zweier Wurzeln schreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{4}\sqrt{i^2}}{2}$
	↓	Jetzt kannst du die Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm2i}{2}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen, indem du jeden Summanden im Zähler durch die $2$ im Nenner teilst.
	$=$	$\displaystyle -\frac{\frac{3}{2}}{2}\pm\frac{2i}{2}$
	↓	Den Doppelbruch vorne kannst du auflösen, indem du $-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}$ rechnest.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\pm i$

Jetzt musst du noch die beiden Lösungen einzeln aufschreiben. Dafür schreibst du für die erste Lösung statt dem $\pm$ ein $+$ und für die zweite ein $-$ .

$x_1=-\frac{3}{4}+i$

$x_2=-\frac{3}{4}-i$

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$- 3 x^{2} + 6 x - 15 = 0$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Berechne die Differenz unter der Wurzel
	↓
$\displaystyle \sqrt{4-7}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{-3}$
	↓	Aus der $- 3$ können wir zumindest mit den reellen Zahlen die Wurzel nicht ziehen. Aber wir können die $- 3$ als ein Produkt von $3$ und $(- 1)$ schreiben.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3 \cdot (-1)}$
	↓	Wir wissen, dass $i^{2} = - 1$ ist. Deswegen können wir die $(- 1)$ unter der Wurzel jetzt als $i^{2}$ schreiben.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3 \cdot i^2}$
	↓	Das Produkt unter der Wurzel können wir umschreiben zu einem Produkt aus Wurzeln.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{i^2}$
	↓	$\sqrt3\cdot\sqrt{i^2}=\pm i\cdot$ $\sqrt{3}$ können wir nicht weiter vereinfachen.
	$=$	$\displaystyle \pm i \cdot \sqrt{3}$
	↓	Das Malzeichen kannst du weglassen.
	$=$	$\displaystyle \pm i\sqrt{3}$

$144$ ist eine Quadratzahl. Das einzige, was uns vom Wurzel ziehen abhält, ist das Minus davor. Deswegen schreiben wir $- 144$ als Produkt von der gewünschten $144$ und $(- 1)$
	↓
$\displaystyle \sqrt{-144}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{144 \cdot (-1)}$
	↓	Wir wissen, dass $i^{2} = - 1$ . Deswegen schreiben wir die $(- 1)$ um zu $i^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle \sqrt{144 \cdot i^2}$
	↓	Ein Produkt unter einer Wurzel dürfen wir aufspalten in ein Produkt von zwei Wurzeln.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{144} \cdot \sqrt{i^2}$
	↓	Jetzt können wir die beiden Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\displaystyle \pm 12 \cdot i$
	↓	Das Malzeichen kannst du weglassen.
	$=$	$\displaystyle \pm 12i$

$\sqrt{5}$ können wir nicht weiter vereinfachen, da $5$ keine Quadratzahl ist und auch kein Minus vor sich hat. Deswegen lassen wir den Zähler erstmal in Ruhe. Stattdessen schauen wir uns $\sqrt{-4}$ im Nenner an. $4$ ist eine Quadratzahl. Um die Wurzel ziehen zu können, schreiben wir $- 4$ unter der Wurzel als ein Produkt von $4$ und $(- 1)$ .
	↓
$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{-4}}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4 \cdot (-1)}}$
	↓	Das Produkt unter der Wurzel können wir aufsplitten in ein Produkt von zwei Wurzeln.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{(-1)}}$
	↓	Jetzt können wir die $(- 1)$ umschreiben zu $i^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{i^2}}$
	↓	Nun können wir im Nenner die Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\pm 2 \cdot i}$
	↓	Das Malzeichen kannst du weglassen.
	$=$	$\displaystyle \pm \frac{\sqrt{5}}{2i}$
	↓	Der Kehrwert von $i$ ist $- i$
	$=$	$\displaystyle \pm \frac{\sqrt{5}}{2}i$

Unter der Wurzel steht das Produkt $4 \cdot (-25)$ . Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel umschreiben zu einem Produkt von zwei Wurzeln.
	↓
$\displaystyle \sqrt{4(-25)}$	$=$	$\displaystyle \sqrt{4} \cdot \sqrt{-25}$
	↓	$\sqrt{4}$ können wir schonmal ziehen. Für die andere Wurzel schreiben wir $- 25$ als ein Produkt von $- 1$ und $25$ .
	$=$	$\displaystyle 2 \cdot \sqrt{25 \cdot (-1)}$
	↓	Nun können wir $(- 1)$ umschreiben zu $i^{2}$ .
	$=$	$\displaystyle 2 \cdot \sqrt{25 \cdot i^2}$
	↓	Das Produkt unter der Wurzel können wir wieder als Produkt von zwei Wurzeln schreiben.
	$=$	$\displaystyle 2 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{i^2}$
	↓	Jetzt können wir auch diese beiden Wurzeln noch ziehen.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot5\cdot (\pm i)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \pm 10i$

Du kannst die $8$ als Produkt von $4$ und $2$ schreiben.
	↓
$\displaystyle i^8$	$=$	$\displaystyle i^{4\cdot2}$
	↓	Mit den Potenzgesetzen kannst du das so schreiben: Denn es ist z.B. $a^3\cdot a^4=a^{3+4}=a^7$ . Damit ist $i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2=i^{2+2+2+2}=i^8$ .
	$=$	$\displaystyle i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2$
	↓	Es gilt $i^{2} = - 1$ . Du schreibst also jedes $i^{2}$ um zu $- 1$ .
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)$
	↓	Du multiplizierst die beiden linken $\left(-1\right)$ miteinander und die beiden rechten. $\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1$ .
	$=$	$\displaystyle 1\cdot1$
	$=$	$\displaystyle 1$

Du kannst $i^{15}$ als folgendes Produkt schreiben, weil alle Exponenten addiert wieder $15$ ergeben.
	↓
$\displaystyle i^{15}$	$=$	$\displaystyle i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^2\cdot i^1$
	↓	Es gilt $i^{2} = - 1$ . Ersetze daher alle $i^{2}$ durch $- 1$
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot i$
	↓	Es gilt $\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)=1$ . Daher kannst du immer zwei $- 1$ zusammenfassen zu einer $1$ . Eine $- 1$ bleibt übrig.
	$=$	$\displaystyle 1\cdot1\cdot1\cdot\left(-1\right)\cdot i$
	↓	$1\cdot1\cdot1=1$ musst du nicht mehr hinschreiben.
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot i$
	$=$	$\displaystyle -i$

Nach den Potenzgesetzen darfst du so umformen: Denn addiert ergeben die Exponenten auf der rechten Seite wieder $2 + 1 = 3$
	↓
$\displaystyle \left(-i\right)^3$	$=$	$\displaystyle \left(-i\right)^2\cdot\left(-i\right)$
	↓	Beim Quadrieren einer Zahl entfällt das Minus. Zum Beispiel: $\left(-4\right)^2=4^2$ . Du kannst das Minus also weglassen.
	$=$	$\displaystyle i^2\cdot\left(-i\right)$
	↓	Es gilt $i^{2} = - 1$
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)\cdot\left(-i\right)$
	↓	Zwei negative Zahlen multipliziert ergeben eine positive Zahl. Du kannst die Vorzeichen also in diesem Fall weglassen.
	$=$	$\displaystyle 1\cdot i$
	$=$	$\displaystyle i$

Setze für $z_{1}$ und $z_{2}$ die obigen Zahlen ein.
	↓
$\displaystyle z_1+z_2$	$=$	$\displaystyle 3+4i+3-2i$
	↓	Ordne alle Zahlen ohne $i$ nach vorne und alle mit $i$ nach hinten.
	$=$	$\displaystyle 3+3+4i-2i$
	↓	Addiere bzw. subtrahiere alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ einzeln.
	$=$	$\displaystyle 6+2i$

Setze für $z_{1}$ und $z_{2}$ die Zahlen aus der Aufgabenstellung ein.
	↓
$\displaystyle z_1+z_2$	$=$	$\displaystyle 3-2i+7+5i$
	↓	Bringe alle Zahlen ohne $i$ nach vorne und alle mit $i$ nach hinten
	$=$	$\displaystyle 3+7-2i+5i$
	↓	Addiere alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ getrennt.
	$=$	$\displaystyle 10+3i$

Setze $z_{1}$ und $z_{2}$ aus der Aufgabenstellung ein. Setze $z_{2}$ dabei in Klammern, weil du ja die gesamte Zahl mal $2$ nehmen musst.
	↓
$\displaystyle z_1+2\cdot z_2$	$=$	$\displaystyle 2+5i+2\cdot\left(-1+i\right)$
	↓	Multipliziere die Klammer wie gewohnt aus.
	$=$	$\displaystyle 2+5i-2+2i$
	↓	Addiere bzw. subtrahiere alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ getrennt.
	$=$	$\displaystyle 7i$

Setze die komplexen Zahlen aus der Aufgabenstellung ein. Setze dabei alle komplexen Zahlen in Klammern, vor denen ein Minus oder eine Zahl zum Multiplizieren davor steht. In diesem Fall musst du $z_{2}$ und $z_{3}$ in Klammern setzen.
	↓
$\displaystyle z_1+3z_2-z_3$	$=$	$\displaystyle 2i+3\cdot\left(3-4i\right)-\left(6-i\right)$
	↓	Multipliziere die erste Klammer wie gewohnt aus. Die zweite Klammer ist eine Minusklammer, die du ebenfalls ganz normal auflösen kannst, indem du alle Vorzeichen in der Klammer einmal umkehrst.
	$=$	$\displaystyle 2i+9-12i-6+i$
	↓	Addiere bzw. subtrahiere nun alle Zahlen ohne $i$ und alle Zahlen mit $i$ getrennt voneinander.
	$=$	$\displaystyle 3-9i$

Setze die komplexen Zahlen aus der Aufgabenstellung ein. Setze dabei die Zahlen, vor denen ein Minus oder ein multiplikativer Faktor steht (also eine Zahl, mit der du die komplexe Zahl multiplizieren musst) in Klammern. In diesem Fall sind das $z_{1}$ und $z_{3}$
	↓
$\displaystyle -2z_1+z_2-z_3$	$=$	$\displaystyle -2\left(7+4i\right)+15i-4-\left(1-i\right)$
	↓	Multipliziere die Klammern wie gewohnt aus.
	$=$	$\displaystyle -14-8i+15i-4-1+i$
	↓	Addiere/subtrahiere alle Zahlen mit bzw. ohne $i$ getrennt.
	$=$	$\displaystyle -19+8i$

Die konjugiert komplexe Zahl von $z_{2}$ ist $\bar{z_2}=2-3i$ . Setze diese in den zu berechnenden Term ein. Vergiss nicht, sie in Klammern zu setzen, da ein Minus vor $\bar{z_2}$ steht.
	↓
$\displaystyle z_1-\bar{z_2}$	$=$	$\displaystyle -4+6i-(2-3i)$
	↓	Löse die Minusklammern auf.
	$=$	$\displaystyle -4+6i-2+3i$
	↓	Addiere/subtrahiere alle Zahlen mit bzw. ohne $i$ getrennt voneinander.
	$=$	$\displaystyle -6+9i$

Die konjugiert komplexe Zahl zu $z_{3}$ ist $\bar{z_3}=1+i$ , d.h. man dreht lediglich das Vorzeichen vor dem $i$ einmal um. Setze alles in den Term ein. Achte darauf, dass du die Zahlen, vor denen ein Minus steht, in Klammern setzt.
	↓
$\displaystyle z_1-z_2+\bar{z_3}$	$=$	$\displaystyle 3i-2-(4+2i)+1+i$
	↓	Löse die Minusklammer auf.
	$=$	$\displaystyle 3i-2-4-2i+1+i$
	↓	Verrechne alle Zahlen mit bzw. ohne $i$ miteinander.
	$=$	$\displaystyle -5+2i$

Wende die Mitternachtsformel an:
	↓
$\displaystyle x_{1,\ 2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot13}}{2\cdot1}$
	↓	Berechne den Term unter der Wurzel
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{16-52}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{-36}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel steht eine negative Zahl. Du kannst $- 36$ schreiben als $36\cdot (-1)=36 \cdot i^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{36i^2}}{2}$
	↓	Nach den Wurzelgesetzen darf man ein Produkt unter der Wurzel in ein Produkt von zwei Wurzeln umwandeln:
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{36} \sqrt{i^2}}{2}$
	↓	Jetzt kannst du die Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm 6 \cdot i}{2}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen: Dafür teilst du jeden Summanden aus dem Zähler durch die $2$ im Nenner.
	$=$	$\displaystyle \frac{-4}{2} \pm \frac{6i}{2}$
	$=$	$\displaystyle -2 \pm 3i$

Wende die Mitternachtsformel an
	↓
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4\cdot(-3)\cdot (-15)}}{ 2\cdot (-3)}$
	↓	Vereinfache den Term unter der Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm \sqrt{36-180}}{ -6}$
	↓	Rechen die Zahl unter der Wurzel aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm \sqrt{-144}}{ -6}$
	↓	Es steht eine negative Zahl unter der Wurzel. Du kannst $- 144$ schreiben als $144 \cdot (-1)=144\cdot i^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm \sqrt{144i^2}}{ -6}$
	↓	Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel als Produkt mehrerer Wurzeln schreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm \sqrt{144}\sqrt{i^2}}{ -6}$
	↓	Jetzt kannst du die beiden Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm 12i}{ -6}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen, indem du jeden Summanden aus dem Zähler durch die Zahl im Nenner teilst.
	$=$	$\displaystyle \frac{-6}{-6} \pm \frac{12i}{-6}$
	↓	Bemerkung: $\frac{12i}{-6}=-2i$ Das Vorzeichen ist allerdings im $\pm$ bereits enthalten, also kannst du das Vorzeichen hier ignorieren. Wer es ganz korrekt machen will, kann statt $\pm$ lieber $\mp$ schreiben.
	$=$	$\displaystyle 1 \pm 2i$