Aufgaben zu komplexen Zahlen - lernen mit Serlo!

Berechne die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen.

$x^2+4x+13=0$

$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{25}{16}=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen

Wende die Mitternachtsformel an.
	↓
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\ \frac{3}{2}\right)^2-4\cdot1\cdot\frac{25}{16}}}{2\cdot1}$
	↓	Reche den Term unter der Wurzel aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{100}{16}}}{2}$
	↓	Berechne die Zahl unter der Wurzel, indem du den linken Bruch mit $4$ erweiterst.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{36}{16}-\frac{100}{16}}}{2}$
	↓	Nun kannst du die Brüche subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{-64}{16}}}{2}$
	↓	Den Bruch unter der Wurzel kannst du kürzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{-4}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel steht jetzt eine negative Zahl. Du kannst $-4$ schreiben als $4\cdot(-1)=4 \cdot i^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{4i^2}}{2}$
	↓	Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel als Produkt zweier Wurzeln schreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{4}\sqrt{i^2}}{2}$
	↓	Jetzt kannst du die Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-\frac{3}{2}\pm2i}{2}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen, indem du jeden Summanden im Zähler durch die $2$ im Nenner teilst.
	$=$	$\displaystyle -\frac{\frac{3}{2}}{2}\pm\frac{2i}{2}$
	↓	Den Doppelbruch vorne kannst du auflösen, indem du $-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}$ rechnest.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\pm i$

Jetzt musst du noch die beiden Lösungen einzeln aufschreiben. Dafür schreibst du für die erste Lösung statt dem $\pm$ ein $+$ und für die zweite ein $-$ .

$x_1=-\frac{3}{4}+i$

$x_2=-\frac{3}{4}-i$

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$-3x^2+6x-15=0$

Wende die Mitternachtsformel an:
	↓
$\displaystyle x_{1,\ 2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot13}}{2\cdot1}$
	↓	Berechne den Term unter der Wurzel
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{16-52}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{-36}}{2}$
	↓	Unter der Wurzel steht eine negative Zahl. Du kannst $-36$ schreiben als $36\cdot (-1)=36 \cdot i^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{36i^2}}{2}$
	↓	Nach den Wurzelgesetzen darf man ein Produkt unter der Wurzel in ein Produkt von zwei Wurzeln umwandeln:
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{36} \sqrt{i^2}}{2}$
	↓	Jetzt kannst du die Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm 6 \cdot i}{2}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen: Dafür teilst du jeden Summanden aus dem Zähler durch die $2$ im Nenner.
	$=$	$\displaystyle \frac{-4}{2} \pm \frac{6i}{2}$
	$=$	$\displaystyle -2 \pm 3i$

Wende die Mitternachtsformel an
	↓
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4\cdot(-3)\cdot (-15)}}{ 2\cdot (-3)}$
	↓	Vereinfache den Term unter der Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm \sqrt{36-180}}{ -6}$
	↓	Rechen die Zahl unter der Wurzel aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm \sqrt{-144}}{ -6}$
	↓	Es steht eine negative Zahl unter der Wurzel. Du kannst $-144$ schreiben als $144 \cdot (-1)=144\cdot i^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm \sqrt{144i^2}}{ -6}$
	↓	Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel als Produkt mehrerer Wurzeln schreiben.
	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm \sqrt{144}\sqrt{i^2}}{ -6}$
	↓	Jetzt kannst du die beiden Wurzeln einzeln ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-6 \pm 12i}{ -6}$
	↓	Den Bruch kannst du auflösen, indem du jeden Summanden aus dem Zähler durch die Zahl im Nenner teilst.
	$=$	$\displaystyle \frac{-6}{-6} \pm \frac{12i}{-6}$
	↓	Bemerkung: $\frac{12i}{-6}=-2i$ Das Vorzeichen ist allerdings im $\pm$ bereits enthalten, also kannst du das Vorzeichen hier ignorieren. Wer es ganz korrekt machen will, kann statt $\pm$ lieber $\mp$ schreiben.
	$=$	$\displaystyle 1 \pm 2i$