Berechne die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen.
x2+4x+13=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen
Wende die Mitternachtsformel an:
↓ x1, 2 = 2⋅1−4±42−4⋅1⋅13 ↓ Berechne den Term unter der Wurzel
= 2−4±16−52 = 2−4±−36 ↓ Unter der Wurzel steht eine negative Zahl. Du kannst −36 schreiben als 36⋅(−1)=36⋅i2
= 2−4±36i2 ↓ Nach den Wurzelgesetzen darf man ein Produkt unter der Wurzel in ein Produkt von zwei Wurzeln umwandeln:
= 2−4±36i2 ↓ Jetzt kannst du die Wurzeln einzeln ziehen.
= 2−4±6⋅i ↓ Den Bruch kannst du auflösen: Dafür teilst du jeden Summanden aus dem Zähler durch die 2 im Nenner.
= 2−4±26i = −2±3i Jetzt musst du noch die zwei Lösungen aufschreiben. Dafür schreibst du statt dem ± für die erste Lösung ein + und für die zweite Lösung ein −.
x1=−2+3i
x2=−2−3i
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Wende die Mitternachtsformel an und schreibe dann die Lösungen ggf. mit der imaginären Einheit i auf.
x2+23x+1625=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen
Wende die Mitternachtsformel an.
↓ x1,2 = 2⋅1−23±( 23)2−4⋅1⋅1625 ↓ Reche den Term unter der Wurzel aus.
= 2−23±49−16100 ↓ Berechne die Zahl unter der Wurzel, indem du den linken Bruch mit 4 erweiterst.
= 2−23±1636−16100 ↓ Nun kannst du die Brüche subtrahieren.
= 2−23±16−64 ↓ Den Bruch unter der Wurzel kannst du kürzen.
= 2−23±−4 ↓ Unter der Wurzel steht jetzt eine negative Zahl. Du kannst −4 schreiben als 4⋅(−1)=4⋅i2
= 2−23±4i2 ↓ Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel als Produkt zweier Wurzeln schreiben.
= 2−23±4i2 ↓ Jetzt kannst du die Wurzeln einzeln ziehen.
= 2−23±2i ↓ Den Bruch kannst du auflösen, indem du jeden Summanden im Zähler durch die 2 im Nenner teilst.
= −223±22i ↓ Den Doppelbruch vorne kannst du auflösen, indem du −23⋅21 rechnest.
= −43±i Jetzt musst du noch die beiden Lösungen einzeln aufschreiben. Dafür schreibst du für die erste Lösung statt dem ± ein + und für die zweite ein −.
x1=−43+i
x2=−43−i
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Wende die Mitternachtsformel und schreibe die Lösungen ggf. mit i.
−3x2+6x−15=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Komplexe Zahlen
Wende die Mitternachtsformel an
↓ x1,2 = 2⋅(−3)−6±62−4⋅(−3)⋅(−15) ↓ Vereinfache den Term unter der Wurzel.
= −6−6±36−180 ↓ Rechen die Zahl unter der Wurzel aus.
= −6−6±−144 ↓ Es steht eine negative Zahl unter der Wurzel. Du kannst −144 schreiben als 144⋅(−1)=144⋅i2
= −6−6±144i2 ↓ Nach den Rechenregeln für Wurzeln darfst du ein Produkt unter einer Wurzel als Produkt mehrerer Wurzeln schreiben.
= −6−6±144i2 ↓ Jetzt kannst du die beiden Wurzeln einzeln ziehen.
= −6−6±12i ↓ Den Bruch kannst du auflösen, indem du jeden Summanden aus dem Zähler durch die Zahl im Nenner teilst.
= −6−6±−612i ↓ Bemerkung: −612i=−2i Das Vorzeichen ist allerdings im ± bereits enthalten, also kannst du das Vorzeichen hier ignorieren. Wer es ganz korrekt machen will, kann statt ± lieber ∓ schreiben.
= 1±2i Jetzt kannst du noch die einzelnen Lösungen aufschreiben:
x1=1+2i
x2=1−2i
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Wende die Mitternachtsformel an. Falls unter der Wurzel etwas Negatives steht, kannst du die Lösungen mit i schreiben