Aufgaben zum Tetraeder - lernen mit Serlo!

Berechnen der Kantenlänge eines Tetraeders

Berechne die Kantenlänge $a$ der Tetraeder aus den Teilaufgaben mithilfe der gegebenen Information (Höhe, Oberfläche oder Volumen). Runde ggf. auf zwei Nachkommastellen.

$h=12~\text{cm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichung

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für die Höhe eines Tetraeders.	$h=\dfrac{a}{3}\cdot \sqrt{6}$
Setze die gegebene Information ein.	$12=\dfrac{a}{3}\cdot \sqrt{6}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a=\dfrac{12\cdot 3}{\sqrt{6}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a\approx 14{,}70~\text{cm}$

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$h=0{,}4~\text{dm}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichung

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für die Höhe eines Tetraeders.	$h=\dfrac{a}{3}\cdot \sqrt{6}$
Setze die gegebene Information ein.	$0{,}4=\dfrac{a}{3}\cdot \sqrt{6}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a=\dfrac{0{,}4\cdot 3}{\sqrt{6}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a\approx 0{,}49~\text{dm}$

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$O=82{,}4~\text{m}^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen, Unterthema "Rein quadratische Gleichungen"

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für die Oberfläche eines Tetraeders.	$O=a^2\cdot \sqrt{3}$
Setze die gegebene Information ein.	$82{,}4=a^2\cdot \sqrt{3}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a=\sqrt{\dfrac{82{,}4}{\sqrt{3}}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a\approx 6{,}74~\text{m}$

Die Umformung der Gleichung nach $a$ ergibt sich Schritt für Schritt aus:

$\displaystyle O$	$=$	$\displaystyle a^2\cdot \sqrt{3}$	$\displaystyle :\sqrt{3}$
$\displaystyle \dfrac{O}{\sqrt{3}}$	$=$	$\displaystyle a^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Beidseitiges Ziehen der Quadratwurzel "entfernt" das Quadrat auf der rechten Seite.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{O}{\sqrt{3}}}$	$=$	$\displaystyle a$
	↓	Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schließlich gleich.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{O}{\sqrt{3}}}$

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$O=105{,}5~\text{mm}^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen, Unterthema "Rein quadratische Gleichungen"

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für die Oberfläche eines Tetraeders.	$O=a^2\cdot \sqrt{3}$
Setze die gegebene Information ein.	$105{,}5=a^2\cdot \sqrt{3}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a=\sqrt{\dfrac{105{,}5}{\sqrt{3}}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a\approx 7{,}80~\text{mm}$

Die Umformung der Gleichung nach $a$ ergibt sich Schritt für Schritt aus:

$\displaystyle O$	$=$	$\displaystyle a^2\cdot \sqrt{3}$	$\displaystyle :\sqrt{3}$
$\displaystyle \dfrac{O}{\sqrt{3}}$	$=$	$\displaystyle a^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Beidseitiges Ziehen der Quadratwurzel "entfernt" das Quadrat auf der rechten Seite.
$\displaystyle \sqrt{\dfrac{O}{\sqrt{3}}}$	$=$	$\displaystyle a$
	↓	Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schließlich gleich.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\dfrac{O}{\sqrt{3}}}$

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$V=745{,}9~\text{m}^3$

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für das Volumen eines Tetraeders.	$V=\dfrac{a^3}{12}\cdot \sqrt{2}$
Setze die gegebene Information ein.	$745{,}9=\dfrac{a^3}{12}\cdot \sqrt{2}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a=\sqrt[3]{\dfrac{745{,}9\cdot 12}{\sqrt{2}}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a\approx 18{,}50~\text{m}$

Die Umformung der Gleichung nach $a$ ergibt sich Schritt für Schritt aus:

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a^3}{12}\cdot \sqrt{2}$	$\displaystyle :\sqrt{2}$
$\displaystyle \dfrac{V}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a^3}{12}$	$\displaystyle \cdot 12$
$\displaystyle \dfrac{V\cdot 12}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle a^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
	↓	Beidseitiges Ziehen der dritten Wurzel "entfernt" das "hoch drei" auf der rechten Seite.
$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{V\cdot 12}{\sqrt{2}}}$	$=$	$\displaystyle a$
	↓	Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schließlich gleich.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{V\cdot 12}{\sqrt{2}}}$

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$V=13{,}5~l$

Beachte, dass die Einheit $l$ dasselbe ist, wie $\text{dm}^3$ .

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für das Volumen eines Tetraeders.	$V=\dfrac{a^3}{12}\cdot \sqrt{2}$
Setze die gegebene Information ein.	$13{,}5=\dfrac{a^3}{12}\cdot \sqrt{2}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a=\sqrt[3]{\dfrac{13{,}5\cdot 12}{\sqrt{2}}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a\approx 4{,}86~\text{dm}$

Die Umformung der Gleichung nach $a$ ergibt sich Schritt für Schritt aus:

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a^3}{12}\cdot \sqrt{2}$	$\displaystyle :\sqrt{2}$
$\displaystyle \dfrac{V}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a^3}{12}$	$\displaystyle \cdot 12$
$\displaystyle \dfrac{V\cdot 12}{\sqrt{2}}$	$=$	$\displaystyle a^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
	↓	Beidseitiges Ziehen der dritten Wurzel "entfernt" das "hoch drei" auf der rechten Seite.
$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{V\cdot 12}{\sqrt{2}}}$	$=$	$\displaystyle a$
	↓	Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schließlich gleich.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{\dfrac{V\cdot 12}{\sqrt{2}}}$

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