Aufgaben zum Tetraeder
Wie gut kennst du dich aus? Mit diesen Ăbungsaufgaben lernst du das Berechnen von GröĂen im Tetraeder.
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Berechnen verschiedener GröĂen eines Tetraeders
Berechne jeweils die Höhe, die OberflÀche und das Volumen der Tetraeder mit den gegebenen SeitenlÀngen a. Runde das Ergebnis ggf. auf zwei Nachkommastellen.
a=22 m
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tetraeder
Höhe
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel zur Berechnung der Höhe.
h=3aââ 6â
Setze den Wert fĂŒr a ein.
h=322ââ 6â
Berechne das Ergebnis. Achte bei der Angabe des Ergebnisses auf die Einheit, in diesem Fall wird ein LĂ€ngenmaĂ verwendet.
hâ17,96 m
OberflÀche
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel zur Berechnung der OberflÀche.
O=a2â 3â
Setze den Wert fĂŒr a ein.
O=222â 3â
Berechne das Ergebnis. Achte bei der Angabe des Ergebnisses auf die Einheit, in diesem Fall wird ein FlÀchenmaà verwendet.
Oâ838,31 m2
Volumen
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel zur Berechnung des Volumens.
V=12a3ââ 2â
Setze den Wert fĂŒr a ein.
V=12223ââ 2â
Berechne das Ergebnis. Achte bei der Angabe des Ergebnisses auf die Einheit, in diesem Fall wird ein VolumenmaĂ verwendet.
Vâ1254,88 m3
Hast du eine Frage oder Feedback?
Verwende die angegebenen Formeln aus dem Artikel. Achte auf die richtige Angabe der Einheit im Ergebnis.
a=12 cm
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tetraeder
Höhe
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel zur Berechnung der Höhe.
h=3aââ 6â
Setze den Wert fĂŒr a ein.
h=312ââ 6â
Berechne das Ergebnis. Achte bei der Angabe des Ergebnisses auf die Einheit, in diesem Fall wird ein LĂ€ngenmaĂ verwendet.
hâ9,80 cm
OberflÀche
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel zur Berechnung der OberflÀche.
O=a2â 3â
Setze den Wert fĂŒr a ein.
O=122â 3â
Berechne das Ergebnis. Achte bei der Angabe des Ergebnisses auf die Einheit, in diesem Fall wird ein FlÀchenmaà verwendet.
Oâ249,42 cm2
Volumen
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel zur Berechnung des Volumens.
V=12a3ââ 2â
Setze den Wert fĂŒr a ein.
V=12123ââ 2â
Berechne das Ergebnis. Achte bei der Angabe des Ergebnisses auf die Einheit, in diesem Fall wird ein VolumenmaĂ verwendet.
Vâ203,65 cm3
Hast du eine Frage oder Feedback?
Verwende die angegebenen Formeln aus dem Artikel. Achte auf die Angabe der Einheit im Ergebnis.
a=5 dm
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tetraeder
Höhe
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel zur Berechnung der Höhe.
h=3aââ 6â
Setze den Wert fĂŒr a ein.
h=35ââ 6â
Berechne das Ergebnis. Achte bei der Angabe des Ergebnisses auf die Einheit, in diesem Fall wird ein LĂ€ngenmaĂ verwendet.
hâ4,08 dm
OberflÀche
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel zur Berechnung der OberflÀche.
O=a2â 3â
Setze den Wert fĂŒr a ein.
O=52â 3â
Berechne das Ergebnis. Achte bei der Angabe des Ergebnisses auf die Einheit, in diesem Fall wird ein FlÀchenmaà verwendet.
Oâ43,30 dm2
Volumen
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel zur Berechnung des Volumens.
V=12a3ââ 2â
Setze den Wert fĂŒr a ein.
V=1253ââ 2â
Berechne das Ergebnis. Achte bei der Angabe des Ergebnisses auf die Einheit, in diesem Fall wird ein VolumenmaĂ verwendet. In diesem Fall kann sogar die Einheit Liter l verwendet werden.
Vâ14,73 dm3 Vâ14,73 l
Hast du eine Frage oder Feedback?
Verwende die angegebenen Formeln aus dem Artikel. Achte auf die Angabe der Einheit im Ergebnis.
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Berechnen der KantenlÀnge eines Tetraeders
Berechne die KantenlÀnge a der Tetraeder aus den Teilaufgaben mithilfe der gegebenen Information (Höhe, OberflÀche oder Volumen). Runde ggf. auf zwei Nachkommastellen.
h=12 cm
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichung
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel fĂŒr die Höhe eines Tetraeders.
h=3aââ 6â
Setze die gegebene Information ein.
12=3aââ 6â
Forme die Gleichung nach a um.
a=6â12â 3â
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.
aâ14,70 cm
Hast du eine Frage oder Feedback?
Verwende die Formel fĂŒr die Höhe eines Tetraeders. Der Wert fĂŒr h kann eingesetzt und die Formel nach a umgestellt werden.
h=0,4 dm
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichung
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel fĂŒr die Höhe eines Tetraeders.
h=3aââ 6â
Setze die gegebene Information ein.
0,4=3aââ 6â
Forme die Gleichung nach a um.
a=6â0,4â 3â
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.
aâ0,49 dm
Hast du eine Frage oder Feedback?
Verwende die Formel fĂŒr die Höhe eines Tetraeders. Der Wert fĂŒr h kann eingesetzt und die Formel nach a umgestellt werden.
O=82,4 m2
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen, Unterthema "Rein quadratische Gleichungen"
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel fĂŒr die OberflĂ€che eines Tetraeders.
O=a2â 3â
Setze die gegebene Information ein.
82,4=a2â 3â
Forme die Gleichung nach a um.
a=3â82,4ââ
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.
aâ6,74 m
Die Umformung der Gleichung nach a ergibt sich Schritt fĂŒr Schritt aus:
O = a2â 3â :3â 3âOâ = a2 â â Beidseitiges Ziehen der Quadratwurzel "entfernt" das Quadrat auf der rechten Seite.
3âOââ = a â Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schlieĂlich gleich.
a = 3âOââ Hast du eine Frage oder Feedback?
Verwende die Formel fĂŒr die OberflĂ€che eines Tetraeders. Der Wert fĂŒr O kann eingesetzt und die Formel nach a umgestellt werden.
O=105,5 mm2
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen, Unterthema "Rein quadratische Gleichungen"
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel fĂŒr die OberflĂ€che eines Tetraeders.
O=a2â 3â
Setze die gegebene Information ein.
105,5=a2â 3â
Forme die Gleichung nach a um.
a=3â105,5ââ
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.
aâ7,80 mm
Die Umformung der Gleichung nach a ergibt sich Schritt fĂŒr Schritt aus:
O = a2â 3â :3â 3âOâ = a2 â â Beidseitiges Ziehen der Quadratwurzel "entfernt" das Quadrat auf der rechten Seite.
3âOââ = a â Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schlieĂlich gleich.
a = 3âOââ Hast du eine Frage oder Feedback?
Verwende die Formel fĂŒr die OberflĂ€che eines Tetraeders. Der Wert fĂŒr O kann eingesetzt und die Formel nach a umgestellt werden.
V=745,9 m3
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel fĂŒr das Volumen eines Tetraeders.
V=12a3ââ 2â
Setze die gegebene Information ein.
745,9=12a3ââ 2â
Forme die Gleichung nach a um.
a=32â745,9â 12ââ
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.
aâ18,50 m
Die Umformung der Gleichung nach a ergibt sich Schritt fĂŒr Schritt aus:
V = 12a3ââ 2â :2â 2âVâ = 12a3â â 12 2âVâ 12â = a3 3â â Beidseitiges Ziehen der dritten Wurzel "entfernt" das "hoch drei" auf der rechten Seite.
32âVâ 12ââ = a â Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schlieĂlich gleich.
a = 32âVâ 12ââ Hast du eine Frage oder Feedback?
Das ist eine kubische Gleichung. Verwende die dritte Wurzel 3â, um das Ergebnis zu berechnen.
V=13,5 l
Beachte, dass die Einheit l dasselbe ist, wie dm3.
Beschreibung
Berechnung
Verwende die Formel fĂŒr das Volumen eines Tetraeders.
V=12a3ââ 2â
Setze die gegebene Information ein.
13,5=12a3ââ 2â
Forme die Gleichung nach a um.
a=32â13,5â 12ââ
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.
aâ4,86 dm
Die Umformung der Gleichung nach a ergibt sich Schritt fĂŒr Schritt aus:
V = 12a3ââ 2â :2â 2âVâ = 12a3â â 12 2âVâ 12â = a3 3â â Beidseitiges Ziehen der dritten Wurzel "entfernt" das "hoch drei" auf der rechten Seite.
32âVâ 12ââ = a â Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schlieĂlich gleich.
a = 32âVâ 12ââ Hast du eine Frage oder Feedback?
Das ist eine kubische Gleichung. Verwende die dritte Wurzel 3â, um das Ergebnis zu berechnen.
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Volumen und OberflÀche eines Tetraeders
In der GeoGebra Anwendung befindet sich ein Tetraeder, der vergröĂert bzw. verkleinert werden kann, indem man den Punkt A bewegt. Untersuche, wie sich die OberflĂ€che und das Volumen in AbhĂ€ngigkeit der SeitenlĂ€nge a verĂ€ndert.
FĂŒr welche SeitenlĂ€nge ist das Volumen kleiner als die OberflĂ€che?
FĂŒr welche SeitenlĂ€nge ist das Volumen gröĂer als die OberflĂ€che?
FĂŒr welche SeitenlĂ€nge (ungefĂ€hr) ist das Volumen gleich groĂ wie die OberflĂ€che?
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tetraeder
FĂŒr den Wert aâ14,7 sind OberflĂ€che und Volumen etwa gleich. Ist die SeitenlĂ€nge kleiner, ist die OberflĂ€che gröĂer als das Volumen. Ist die SeitenlĂ€nge gröĂer, ist das Volumen gröĂer als die OberflĂ€che.
Wieso der Wert aâ14,7?
Volumen und OberflÀche sind gegeben durch die Formeln:
V=12a3ââ 2â
O=a2â 3â
Sie können als Funktionen, in AbhĂ€ngigkeit der SeitenlĂ€nge, betrachtet werden. Der Schnittpunkt deren Schaubilder zeigt genau diejenige SeitenlĂ€nge, fĂŒr die die Funktionen den gleichen Wert annehmen.
Rechnerisch ergibt sich der genaue Wert fĂŒr die SeitenlĂ€nge zu a=216â.
Stelle verschieden groĂe SeitenlĂ€ngen ein und untersuche. FĂŒr die letzte Frage, suche im Bereich 15â€aâ€20.
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