Aufgaben zum Tetraeder - lernen mit Serlo!

Berechnen der Kantenlänge eines Tetraeders

Berechne die Kantenlänge $a$ der Tetraeder aus den Teilaufgaben mithilfe der gegebenen Information (Höhe, Oberfläche oder Volumen). Runde ggf. auf zwei Nachkommastellen.

$h = 12 cm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichung

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für die Höhe eines Tetraeders.	$h = \frac{a}{3} \cdot \sqrt{6}$
Setze die gegebene Information ein.	$12 = \frac{a}{3} \cdot \sqrt{6}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a = \frac{12 \cdot 3}{\sqrt{6}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a \approx 14,70 cm$

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$h = 0,4 dm$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Gleichung

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für die Höhe eines Tetraeders.	$h = \frac{a}{3} \cdot \sqrt{6}$
Setze die gegebene Information ein.	$0,4 = \frac{a}{3} \cdot \sqrt{6}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a = \frac{0,4 \cdot 3}{\sqrt{6}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a \approx 0,49 dm$

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$O = 82,4 m^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen, Unterthema "Rein quadratische Gleichungen"

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für die Oberfläche eines Tetraeders.	$O = a^{2} \cdot \sqrt{3}$
Setze die gegebene Information ein.	$82,4 = a^{2} \cdot \sqrt{3}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a = \sqrt{\frac{82,4}{\sqrt{3}}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a \approx 6,74 m$

Die Umformung der Gleichung nach $a$ ergibt sich Schritt für Schritt aus:

$O$	$=$	$a^{2} \cdot \sqrt{3}$	$: \sqrt{3}$
$\frac{O}{\sqrt{3}}$	$=$	$a^{2}$	$\sqrt{}$
	↓	Beidseitiges Ziehen der Quadratwurzel "entfernt" das Quadrat auf der rechten Seite.
$\sqrt{\frac{O}{\sqrt{3}}}$	$=$	$a$
	↓	Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schließlich gleich.
$a$	$=$	$\sqrt{\frac{O}{\sqrt{3}}}$

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$O = 105,5 {mm}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Gleichungen, Unterthema "Rein quadratische Gleichungen"

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für die Oberfläche eines Tetraeders.	$O = a^{2} \cdot \sqrt{3}$
Setze die gegebene Information ein.	$105,5 = a^{2} \cdot \sqrt{3}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a = \sqrt{\frac{105,5}{\sqrt{3}}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a \approx 7,80 mm$

Die Umformung der Gleichung nach $a$ ergibt sich Schritt für Schritt aus:

$O$	$=$	$a^{2} \cdot \sqrt{3}$	$: \sqrt{3}$
$\frac{O}{\sqrt{3}}$	$=$	$a^{2}$	$\sqrt{}$
	↓	Beidseitiges Ziehen der Quadratwurzel "entfernt" das Quadrat auf der rechten Seite.
$\sqrt{\frac{O}{\sqrt{3}}}$	$=$	$a$
	↓	Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schließlich gleich.
$a$	$=$	$\sqrt{\frac{O}{\sqrt{3}}}$

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$V = 745,9 m^{3}$

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für das Volumen eines Tetraeders.	$V = \frac{a^{3}}{12} \cdot \sqrt{2}$
Setze die gegebene Information ein.	$745,9 = \frac{a^{3}}{12} \cdot \sqrt{2}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a = \sqrt[3]{\frac{745,9 \cdot 12}{\sqrt{2}}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a \approx 18,50 m$

Die Umformung der Gleichung nach $a$ ergibt sich Schritt für Schritt aus:

$V$	$=$	$\frac{a^{3}}{12} \cdot \sqrt{2}$	$: \sqrt{2}$
$\frac{V}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{a^{3}}{12}$	$\cdot 12$
$\frac{V \cdot 12}{\sqrt{2}}$	$=$	$a^{3}$	$\sqrt[3]{}$
	↓	Beidseitiges Ziehen der dritten Wurzel "entfernt" das "hoch drei" auf der rechten Seite.
$\sqrt[3]{\frac{V \cdot 12}{\sqrt{2}}}$	$=$	$a$
	↓	Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schließlich gleich.
$a$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{V \cdot 12}{\sqrt{2}}}$

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$V = 13,5 l$

Beachte, dass die Einheit $l$ dasselbe ist, wie ${dm}^{3}$ .

Beschreibung	Berechnung
Verwende die Formel für das Volumen eines Tetraeders.	$V = \frac{a^{3}}{12} \cdot \sqrt{2}$
Setze die gegebene Information ein.	$13,5 = \frac{a^{3}}{12} \cdot \sqrt{2}$
Forme die Gleichung nach $a$ um.	$a = \sqrt[3]{\frac{13,5 \cdot 12}{\sqrt{2}}}$
Berechne das Ergebnis. Beachte die richtige Angabe der Einheit und runde auf zwei Nachkommastellen.	$a \approx 4,86 dm$

Die Umformung der Gleichung nach $a$ ergibt sich Schritt für Schritt aus:

$V$	$=$	$\frac{a^{3}}{12} \cdot \sqrt{2}$	$: \sqrt{2}$
$\frac{V}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{a^{3}}{12}$	$\cdot 12$
$\frac{V \cdot 12}{\sqrt{2}}$	$=$	$a^{3}$	$\sqrt[3]{}$
	↓	Beidseitiges Ziehen der dritten Wurzel "entfernt" das "hoch drei" auf der rechten Seite.
$\sqrt[3]{\frac{V \cdot 12}{\sqrt{2}}}$	$=$	$a$
	↓	Die Seiten können einfach vertauscht werden, sie sind ja beide schließlich gleich.
$a$	$=$	$\sqrt[3]{\frac{V \cdot 12}{\sqrt{2}}}$

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