Aufgaben zu Varianz und Standardabweichung

Varianz

Hier ist $\Omega =\{\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5,6}\}\backslash mathit\backslash Omega=\backslash \{1\{,\}2,3\{,\}4,5\{,\}6\backslash \}$, $X(\omega )=\omega X(\omega )=\omega$ und ${\displaystyle P(X=x_i)=\frac{1}{6}}\backslash displaystyle\; P(X=x\_i)=\backslash frac16$.

Zunächst muss der Erwartungswert berechnet werden:

$E\left(X\right)=\mu =\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{1}{6}\cdot 2+\frac{1}{6}\cdot 3+\frac{1}{6}\cdot 4+\frac{1}{6}\cdot 5+\frac{1}{6}\cdot 6=\mathrm{3,5}E\backslash left(X\backslash right)=\backslash mu=\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot1+\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot2+\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot3+\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot4+\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot5+\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot6=3\{,\}5$

Nun benutzt man die Formel für die Varianz:

${\displaystyle =\frac{35}{12}\approx \mathrm{2,92.}}\backslash displaystyle=\backslash frac\{35\}\{12\}\backslash approx2\{,\}92.$

Die mittlere quadratische Abweichung der Augenzahl beim Werfen eines Würfels ist also etwa 2,92.

Standardabweichung

Die Standardabweichung erhält man durch Wurzelziehen:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{\mathrm{2,92}}\approx \mathrm{1,71}\backslash sigma\backslash left(X\backslash right)=\backslash sqrt\{V\backslash left(X\backslash right)\}=\backslash sqrt\{2\{,\}92\}\backslash approx1\{,\}71\backslash$

Die Standardabweichung der Augenzahl beim Werfen eines Würfels ist also etwa 1,71.

Varianz

Hier ist $\Omega =\{\mathrm{K},\mathrm{Z}\}\backslash mathit\backslash Omega=\backslash \{\backslash mathrm\; K,\backslash mathrm\; Z\backslash \}$, und $P(X=x_i)P(X=x\_i)$ jeweils ${\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash displaystyle\backslash frac12$.

Benutz die Formel für die Varianz.

Die mittlere quadratische Abweichung des Gewinns bei diesem Glücksspiel ist also 30,25.

Standardabweichung

Die Standardabweichung erhält man durch Wurzelziehen:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{\mathrm{30,25}}=\mathrm{5,5}\backslash sigma\backslash left(X\backslash right)=\backslash sqrt\{V\backslash left(X\backslash right)\}=\; \backslash sqrt\{30\{,\}25\}\; =\; 5\{,\}5$

Die Standardabweichung beträgt also 5,5.

Varianz

Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette. Die Varianz einer Bernoulli-Kette beträgt $n\cdot p\cdot (1-p)n\cdot p\backslash cdot(1-p)$. Hier ist $n=20n=20$ und $pp$ die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Wurf eine Drei zu werfen, also ${\displaystyle \frac{1}{6}}\backslash displaystyle\backslash frac16$.

Die mittlere quadratische Abweichung der Häufigkeit, eine Drei bei 20 Würfen zu würfeln, ist also etwa 2,78.

Standardabweichung

Die Standardabweichung erhält man durch Wurzelziehen:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{\frac{100}{36}}=\frac{5}{3}\backslash sigma\backslash left(X\backslash right)=\backslash sqrt\{V\backslash left(X\backslash right)\}=\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{100\}\{36\}\}\; =\; \backslash frac53$

Die Standardabweichung beträgt also $\frac{5}{3}\backslash frac53$.

Varianz

Die Wahrscheinlichkeit 2, 3, 4, 5 oder 6 weiße Kugeln zu ziehen, berechnest du mit dem Urnenmodell. Da sich nur 4 schwarze Kugeln in der Urne befinden, ist es nicht möglich, keine oder nur eine weiße Kugel zu ziehen.

Berechne nun die Varianz mit der Formel:

Die mittlere quadratische Abweichung der Anzahl gezogener weißer Kugeln ist also etwa 0,73.

Standardabweichung

Die Standardabweichung erhält man durch Wurzelziehen:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{\frac{8}{11}}\approx 0.85\backslash sigma\backslash left(X\backslash right)=\backslash sqrt\{V\backslash left(X\backslash right)\}=\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{8\}\{11\}\}\; \backslash approx\; 0.85$

Die Standardabweichung beträgt etwa 0,85.