Aufgaben zu Varianz und Standardabweichung

Berechne die Varianz und die Standardabweichung der gegebenen Zufallsvariable.

Ein 6-seitiger Laplace-Würfel wird geworfen. Die Zufallsvariable gibt die Augenzahl eines Wurfes wieder.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Varianz
Varianz
Hier ist $\mathit\Omega=\{1{,}2,3{,}4,5{,}6\}$ , $X(ω)=ω$ und $\displaystyle P(X=x_i)=\frac16$ .
Zunächst muss der Erwartungswert berechnet werden:
$E\left(X\right)=\mu=\frac{1}{6}\cdot1+\frac{1}{6}\cdot2+\frac{1}{6}\cdot3+\frac{1}{6}\cdot4+\frac{1}{6}\cdot5+\frac{1}{6}\cdot6=3{,}5$
Nun benutzt man die Formel für die Varianz:
$\displaystyle V(X) = \sum\limits_{i=1}^{n} = P(X=x_i)\cdot(x_i-\mu)^2$
Setze die gegebenen Werte ein.
$\displaystyle =\frac16\cdot(1-3{,}5)^2+\frac16\cdot(2-3{,}5)^2+\frac16\cdot(3-3{,}5)^2+\frac16\cdot(4-3{,}5)^2+\frac16\cdot(5-3{,}5)^2+\frac16\cdot(6-3{,}5)^2$
Vereinfache.
$\displaystyle=\frac{35}{12}\approx2{,}92.$
Die mittlere quadratische Abweichung der Augenzahl beim Werfen eines Würfels ist also etwa 2,92.
Standardabweichung
Die Standardabweichung erhält man durch Wurzelziehen:
$\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{2{,}92}\approx1{,}71\$
Die Standardabweichung der Augenzahl beim Werfen eines Würfels ist also etwa 1,71.
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Bei einer Wette wird eine Münze geworfen. Bei Zahl gewinnst du 5 Euro und bei Kopf verlierst du 6 Euro. Die Zufallsvariable gibt den Gewinn bei einem Münzwurf an. Der Erwartungswert ist $-0{,}5$ .

Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Die Zufallsvariable gibt an, wie oft die Zahl 3 gefallen ist. Der Erwartungswert ist $3{,}\overline3$ .

In einer Urne befinden sich 12 Kugeln, darunter 4 schwarze und 8 weiße. Daraus werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Die Zufallsvariable gibt an, wie viele weiße Kugeln gezogen wurden. Der Erwartungswert ist $4$ .

$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}P(X=x_i)⋅(x_i−\mu)^2$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac12\cdot(5-(-0{,}5))^2+\frac12(-6-(-0{,}5))^2$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 30{,}25$

$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle n\cdot p\cdot (1-p)$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle 20 \cdot \frac16 \cdot \frac56$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \frac{100}{36}$
	$=$	$\displaystyle 2{,}\bar{7}$

$\displaystyle V(X)$	$=$	$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} P(X=x_i)\cdot(x_i-\mu)^2$
	↓	Setz die Werte ein.
	$=$	$\displaystyle \frac1{33}\cdot(2-4)^2+\frac8{33}\cdot(3-4)^2+\frac{15}{33}\cdot(4-4)^2 +\displaystyle\frac8{33}\cdot(5-4)^2+\frac1{33}\cdot(6-4)^2$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \frac{8}{11}$
	$=$	$\displaystyle 0{,}\overline{72}$

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