Der Scheitel der Parabel $p_{\tiny 1}\$ist laut Angabe: $\ S_{\tiny 1}(-1|-6)\$

Die Scheitelform lautet:

$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$\ S_{\tiny 1}$ ein.

$p_{\tiny 1}:y\ =\ (x+1)^2-6$

die Normalform ist dann:

$p_{\tiny 1}:y\ =\ x^2+2x-5$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel.

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$-x^2-6x-5\ =\ 0$

$x_{1{,}2}=\dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot[(-1)\cdot (-5)]}}{2\cdot (-1)}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{-2}\quad\Rightarrow\quad x_{\tiny 1}\ =\ -1$

$\hspace{43mm}x_{\tiny2}\ =\ -5$

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunkt der Parabel $p_{2}$ ablesen:$\quad \mathrm S_2\left(-3\left|4\right.\right)$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=1$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl}\text{Aus }D(-1|2): &I &2 &= &1\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c\\\text{Aus }E(6|-5): &II &-5 &= &1\cdot 6^2+b\cdot6+c\end{array}$

Berechnung der Parameter mit dem Gleichsetzungsverfahren;

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &I &\quad2 &= &1-b+c\end{array}\ \ \ \ \ \quad\Rightarrow\quad\ c=\ \ \ \ \ b+1$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &II &-5 &=&36+6b+c\end{array}\ \quad\Rightarrow\quad c=-6b-41$

Setze $I\ =\ II$

Setze $-6$ in $I\$oder $II$ein und berechne $c$

$c\ =\ -6+1\ =\ -5$

$c\ =\ -5\ \$jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.

$p_{\tiny3}:y\ =x^2-6x-5$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

für den Öffnungsfaktor $\text{a}$ gilt:$\qquad a>0\quad\Rightarrow\quad\text{Parabel\ ist\ nach\ oben\ geöffnet}$

$\hspace{49mm}a<0\quad\Rightarrow\quad\text{Parabel\ ist\ nach\ unten\ geöffnet}$

Löse die Funktionsgleichung der Parabel$\ p_{4}\$nach$\ y\$auf.

$\ p_{4}:3y+2x^2=-(-36x+24+x^2)\$

Da der Öffnungsfaktor$\ a\$ negativ ist, ist die Parabel$\ p_{4}\$nach unten geöffnet.