Der Scheitel der Parabel $p_1$ist laut Angabe: $S_1(-1|-6)$

Die Scheitelform lautet:

$f\left(x\right)=a(x-d{)}^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$S_1$ ein.

$p_1:y=(x+1{)}^2-6$

die Normalform ist dann:

$p_1:y=x^2+2x-5$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel.

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

$-x^2-6x-5=0$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\cdot [(-1)\cdot (-5)]}}{2\cdot (-1)}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{36-20}}{-2}}\Rightarrow x_1=-1$

$x_2=-5$

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunkt der Parabel $p_2$ ablesen:${\mathrm{S}}_2(-3|4)$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=1$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

$\begin{array}{llrcl}\text{Aus }D(-1|2):& I& 2& =& 1\cdot (-1{)}^2+b\cdot (-1)+c\\ \text{Aus }E(6|-5):& II& -5& =& 1\cdot 6^2+b\cdot 6+c\end{array}$

Berechnung der Parameter mit dem Gleichsetzungsverfahren;

$\begin{array}{llrcl}& I& 2& =& 1-b+c\end{array}\Rightarrow c=b+1$

$\begin{array}{llrcl}& II& -5& =& 36+6b+c\end{array}\Rightarrow c=-6b-41$

Setze $I=II$

Setze $-6$ in $I$oder $II$ein und berechne $c$

$c=-6+1=-5$

$c=-5$jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.

$p_3:y=x^2-6x-5$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

für den Öffnungsfaktor $\text{a}$ gilt:$a>0\Rightarrow \text{Parabel ist nach oben geöffnet}$

$a<0\Rightarrow \text{Parabel ist nach unten geöffnet}$

Löse die Funktionsgleichung der Parabel$p_4$nach$y$auf.

$p_4:3y+2x^2=-(-36x+24+x^2)$

Da der Öffnungsfaktor$a$ negativ ist, ist die Parabel$p_4$nach unten geöffnet.