Aufgabengruppe II

Die allgemeine Geradengleichung lautet:$\quad y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t}$

Den $y$-Achsenabschnitt kannst Du aus der Skizze ablesen:$\ t_{1}=3$

Setze die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden$\ g_{1}\$mit der $x$-Achse in die Geradengleichung ein, und berechne die Steigung $m_{1}$.

$\ y=\ \ \ mx+t\\\ 0=4{,}5m+3\ |-(4{,}5m)\\\ -4{,}5m=3\ |:(-4{,}5)\qquad\Rightarrow\qquad m_{1}=-\dfrac{2}{3}$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_1\$ lautet:

$g_1:y=-\dfrac{2}{3}x+3$

Die allgemeine Geradengleichung lautet:$\quad y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t}$

Setze $A$ und $B$ in die Geradengleichung ein.

$(A):\ \ \ 6m\ +\ t\ =\ 3$

$(B): -2m\ +\ t\ =\ \ \ \ 5\quad\Rightarrow\quad\ t\ =\ 5+2m\$

Setze $m_{2}$ in$(B)$ ein und berechne $t_{2}$.

$t\ =\ 5+2\cdot(-\frac{1}{4})\quad\Rightarrow\quad t\ =5-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad t_2\ =4{,}5$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_2\$ lautet:

$g_{2}:\ y\ =\ -\dfrac{1}{4}x+4{,}5$

Berechnung des Schnittpunktes $T$.

Setze$\ g_{3}=g_{4}$

Setze $x=3\$in $g_3\$oder$\ g_4\$ein und berechne $y.$

x eingesetzt in $g_3\$ergibt:

$\ -2\cdot3+6=y\quad\Rightarrow\quad y=0$

Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:

$T(3|0)$

Setze die Koordinaten des Punktes $\ P\$in die Geradengleichung

$\ g_{3}:y=-2x+6\$ ein.

$11{,}75=-2\cdot7{,}25+6$

$11{,}75\neq-8{,}5\qquad\Rightarrow\qquad$der Punkt $\ P\$liegt nicht auf der Geraden$\ g_{3}$

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $N$ der Geraden $g_{5}$ mit der

x-Achse.

Setze$\ g_{5}=0\$ und berechne$\ x$.

Nach $y\$umgeformt lautet $g_{5}:y=-4x+0{,}5$

$-4x+0{,}5=0$

Die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $\ g_{5}\$mit der $x-$Achse sind dann:

$N\biggl(\dfrac{1}{8}|0\biggr)$

Berechne $y$ indem Du die entsprechenden$\ x$ Werte in die Funktionsgleichung einsetzt.

Berechne y , setzte z.B. $1$ und $-1$ in die Geradengleichung $\\g_{5}:y=-4x+0{,}5\$ein

$\ -4x+0{,}5=y\quad\Rightarrow\quad-4\cdot(-1)+0{,}5=y\quad\Rightarrow\quad y=4+0{,}5\hspace{1.8mm}\Rightarrow\hspace{1mm} y=\ \ \ 4{,}5$

$\ -4x+0{,}5=y\quad\Rightarrow\quad-4\cdot1+0{,}5=y\hspace{9mm}\Rightarrow\quad y=-4+0{,}5\hspace{1mm}\Rightarrow y=-3{,}5$

Berechne den Winkel $\alpha\$mit dem Tangens.

$\text{tan}\alpha=\dfrac{3}{4{,}5}\quad\Rightarrow\quad \text{tan}\alpha\approx0{,}67\quad\Rightarrow\quad \alpha\approx34^\circ$

Der Winkel$\ \alpha\$ beträgt ungefähr$\ 34^\circ$

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N_0\ =\ 50000\qquad p_{1}\ =\ 9\%\ \ t_{1}\ =\ 2\ \text{Jahre};\qquad p_{2}\ =\ 8\%\ \ t_{2}\ =\ 4\ \text{Jahre}\qquad$

Berechne den Wert des Wohnmobils nach 6 Jahren

$\ N\left(6\right)=50000\cdot(1-0{,}09)^2\cdot(1-0{,}08)^4$

$\ N\left(6\right)=50000\cdot0{,}91^2\cdot0{,}92^4$

$\ N\left(6\right)=50000\cdot0{,}593245\\\ \underline{\underline{N\left(6\right)\approx29662\ €}}$

Nach $6$ Jahren beträgt der Wert des Wohnmobils noch ungefähr $29662$ Euro.

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N_t\ =\ 19500\qquad N_{0}\ =\ 45000\qquad t\ =\ 12\ \text{Jahre}\qquad$setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4cm}19500=45000\cdot(1-p)^{12}$

$19500\ =\ 45000\ \cdot\ (1-p)^{12}\ \Rightarrow\ (1-p)\ =\ \sqrt[\scriptsize{12}]{\dfrac{19500}{45000}}\quad\Rightarrow\quad(1-p)\ \approx\ 0{,}933\ \\\qquad \underline{\underline{p\approx6{,}7\%}}$

Der Wertverlust pro Jahr beträgt ungefähr $6{,}7\%$.

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N_t\ =\ 9750\ \text{€}\qquad p\ =\ 6{,}6\%\qquad N_{0}\ =\ 19500\ \text{€}\quad$setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4cm}9750=19500\cdot(1-0{,}066)^t$

$\ (1-0{,}066)^t=\dfrac{9750}{19500}\quad\Rightarrow\quad(0{,}934)^t=0{,}5\quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{\text{ln}\ 0{,}5}{\text{ln}\ 0{,}934}$

$\hspace{80mm}\underline{\underline{t\approx10\ \text{Jahre}}}$

Die Familie Grün müsste ihr Wohnmobil nach ungefähr $10$ Jahren verkaufen um noch mindestens die Hälfte des Kaufpreises von $19500\ €$ zu erhalten.

(1) Länge $\overline{DE}$ :

$\sin 60^\circ=\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}}=\dfrac{\overline{DE}}{8}$ $\Rightarrow$ $\overline{DE}\approx0{,}866\cdot 8\approx6{,}9$

(2) Länge $\overline{AD}$:

$\cos 50^\circ=\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AE}}=\dfrac{\overline{AD}}{{8}}$ $\Rightarrow$ $\overline{AD}=0{,}5\cdot 8=4$

(3) Länge $\overline{GF}$:

$\overline{GF}^2=1\cdot(11+4)=15$ $\Rightarrow$ $\overline{GF}\approx3{,}9$

Flächeninhalt Trapez $DGFE$:

$A_{DGFE}=\dfrac{(6{,}9+3{,}9)\cdot 11}{2}\approx59{,}4$

Der Flächeninhalt des Trapezes $DGFE$ beträgt $\approx 59{,}4\cm^2.$$$

Länge $\overline {EF}$:

$\overline{EF}=\sqrt{[\overline{DE}-\overline {GF}]^2+\overline{DG}^2}=\sqrt{[6{,}9-3{,}9]^2+11^2}\approx$ 11,4

$U_{DGFE}=11+3{,}9+11{,}4+6{,}9=33{,}2$

Der Umfang des Trapezes beträgt $33{,}2\cm$.

Der Scheitel der Parabel $p_{\tiny 1}\$ist laut Angabe: $\ S_{\tiny 1}(-1|-6)\$

Die Scheitelform lautet:

$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$\ S_{\tiny 1}$ ein.

$p_{\tiny 1}:y\ =\ (x+1)^2-6$

die Normalform ist dann:

$p_{\tiny 1}:y\ =\ x^2+2x-5$

Um die Schnittpunkte der Parabel mit der $x$-Achse zu bestimmen, setze die Funktionsgleichung gleich $0$ und berechne $x$ z.B. mit der Mitternachtsformel.

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$-x^2-6x-5\ =\ 0$

$x_{1{,}2}=\dfrac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot[(-1)\cdot (-5)]}}{2\cdot (-1)}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{-2}\quad\Rightarrow\quad x_{\tiny 1}\ =\ -1$

$\hspace{43mm}x_{\tiny2}\ =\ -5$

Umformen der allgemeinen Form in die Scheitelform:

Jetzt kannst Du den Scheitelpunkt der Parabel $p_{2}$ ablesen:$\quad \mathrm S_2\left(-3\left|4\right.\right)$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=1$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl}\text{Aus }D(-1|2): &I &2 &= &1\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+c\\\text{Aus }E(6|-5): &II &-5 &= &1\cdot 6^2+b\cdot6+c\end{array}$

Berechnung der Parameter mit dem Gleichsetzungsverfahren;

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &I &\quad2 &= &1-b+c\end{array}\ \ \ \ \ \quad\Rightarrow\quad\ c=\ \ \ \ \ b+1$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{llrcl} &II &-5 &=&36+6b+c\end{array}\ \quad\Rightarrow\quad c=-6b-41$

Setze $I\ =\ II$

Setze $-6$ in $I\$oder $II$ein und berechne $c$

$c\ =\ -6+1\ =\ -5$

$c\ =\ -5\ \$jetzt kannst Du die Funktionsgleichung aufstellen.

$p_{\tiny3}:y\ =x^2-6x-5$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

für den Öffnungsfaktor $\text{a}$ gilt:$\qquad a>0\quad\Rightarrow\quad\text{Parabel\ ist\ nach\ oben\ geöffnet}$

$\hspace{49mm}a<0\quad\Rightarrow\quad\text{Parabel\ ist\ nach\ unten\ geöffnet}$

Löse die Funktionsgleichung der Parabel$\ p_{4}\$nach$\ y\$auf.

$\ p_{4}:3y+2x^2=-(-36x+24+x^2)\$

Da der Öffnungsfaktor$\ a\$ negativ ist, ist die Parabel$\ p_{4}\$nach unten geöffnet.

Berechne zunächst die Differenz der Gipfelhöhen zur Höhe des Ausgangspunktes. Rechne in km.

Zugspitze: $2{,}962-0{,}900=2{,}062$

Säuling: $2{,}047-0{,}900=1{,}147$

Wende nun den 2. Strahlensatz an.

$\dfrac{28+x}{2{,}062}=\dfrac{28}{1{,}147}$ $\Rightarrow$ $x\approx22$

Der Abstand der beiden Gipfel beträgt ca. 22km.

Streckungsfaktor k:

$k=\dfrac{2062}{1147}$ $\Rightarrow$ $k\approx 1{,}8$

In der Urne befinden sich $19$ Karten, auf $2$ der Karten steht jeweils ein N.

Die Wahrscheinlichkeit eine Karte mit einem $N$ zu ziehen ist dann:

$\ \dfrac{\text{Anzahl Karten mit einem N }}{\text{Anzahl aller Karten}}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{2}{19}\ \ \ \approx\ 0{,}105\ \text{oder}\ \approx\ 10{,}5\%$

b.) Baumdiagramm

Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein $\text{S}$

$\ P=\dfrac{3}{19}+\dfrac{16}{19}\cdot\dfrac{3}{18}=\dfrac{3}{19}+\dfrac{48}{342}=\dfrac{54+48}{342}=\dfrac{102}{342}=\dfrac{17}{57}\approx0.298\approx29{,}8\%$

Die Wahrscheinlichkeit mit der Sarah ein S zieht beträgt $\ \approx\ \boxed{29{,}8\%}$

$\underline{\text{Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein S :}}$

$\ \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{24}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{16}{120}=\dfrac{2}{15}\approx0{,}13\approx13\%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Sarah ein S zieht beträgt ungefähr $\boxed{13\%}.$

Berechne mithilfe der Fakultät $n!$ die Anzahl aller möglichen verschiedenen Reihenfolgen von Sarahs Ziehung.

Anzahl aller möglichen Reihenfolgen der Ziehung:

$\ n!\ \text{setze\ für}\ n=5\quad\Rightarrow\quad5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\ =\ \underline{\underline{120}}$

Sarah kann in $\ \boxed{120}\$ verschiedenen Reihenfolgen die$\ 5\$Buchstaben aus der Urne ziehen.

$O_{Kugel}=4\cdot \pi\cdot r^2$

$O_{Kugel}=4\cdot 3{,}14\cdot 1^2=12{,}56$

Die Oberfläche der Kugel beträgt $12{,}56cm^2$.

$V_{Kugel}=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$

$V_{Kugel(gesamt)}=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 1^3$ $\Rightarrow$ $V_{Kugel(gesamt)}\approx 4{,}19$

$V_{Kugel(innen)}=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot (1-0{,}032)^3$ $\Rightarrow$ $V_{Kugel(innen)}\approx 3{,}8$

$V_{Metall}=4{,}19-3{,}8=0{,}39$

$m_{Metall}=0{,}39\cdot 7{,}870$ $\Rightarrow$ $m_{Metall}\approx 3{,}07$

Der Kran muss mindesten $3{,}07$ t heben.

$V_{Kugel}=4{,}19$

$V_{Wasser}=r^2\cdot \pi\cdot h$

$V_{Wasser}=1{,}5^2\cdot 3{,}14\cdot 3$ $\Rightarrow$ $V_{Wasser}\approx 21{,}20$

$V_{gesamt}=4{,}19+21{,}20$

$V_{gesamt}\approx25{,}39$

$25{,}39=1{,}5^2\cdot 3{,}14\cdot h_{Tauchbecken}$ $\Rightarrow$ $h_{Tauchbecken}\approx 3{,}593$

Die Höhe des Tauchbeckens muss mindestens $3{,}6$ m betragen.