Aufgabengruppe II - lernen mit Serlo!

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Lösen Sie die folgende Gleichung rechnerisch. Geben Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.

$\dfrac{8x+7}{(x+1)\cdot(x+2)}=\dfrac{9}{x+2}-\dfrac{2x}{x+1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen

Da ein Bruch nur definiert ist, wenn der Nenner $\ne0$ lautet die Definitonsmenge

$\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2;-1\}$

$\displaystyle \frac{8x+7}{(x+1)\cdot(x+2)}$	$=$	$\displaystyle \frac{9}{x+2}-\frac{2x}{x+1}$
$\displaystyle 8x+7$	$=$	$\displaystyle \dfrac{9\cdot(x+1)\cdot(x+2)}{x+2}-\dfrac{2x\cdot(x+1)\cdot(x+2)}{x+2}$
	↓	kürze
$\displaystyle 8x+7$	$=$	$\displaystyle 9x+9-2x^2-4x$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 8x+7$	$=$	$\displaystyle -2x^2+5x+9$
$\displaystyle 2x^2+3x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x^2+1{,}5x-1$	$=$	$\displaystyle 0$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-1{,}5\pm\sqrt{(-1{,}5)^2-4\cdot 1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}$

$x_{1{,}2}=\dfrac{-1{,}5\pm\sqrt{2{,}25+4}}{2\cdot 1}=\dfrac{-1{,}5\pm2{,}5}{2}$

$x_1=0{,}5$ und $x_2=-2$ .

Da $x_2=-2$ kein Element der Definitionsmenge ist, lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{0{,}5\}$ .

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Multipliziere die Brüche zunächst mit dem Hauptnenner und löse dann die quadratische Gleichung.