Aufgaben zum Runden und Abschätzen natürlicher Zahlen

Gesucht ist die Menge der natürlichen Zahlen, die auf Hunderter gerundet noch 7000 ergeben.

Das ist die Menge von der kleinsten bis zur größten Zahl, die auf Hunderter gerundet noch 7000 ergeben.

Die kleinste gesuchte Zahl

Da auf Hunderter gerundet wird ist die Zehnerstelle entscheidend. Diese soll möglichst klein sein, aber immernoch aufgerundet werden. Daher muss hier eine 5 stehen. Die Einerstelle spielt beim Runden keine Rolle, kann also eine beliebige Zahl sein. Es ist eine möglichst kleine Zahl gesucht, wähle also Null. Da die Zehnerstelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab ($70-1=69$).

Damit ergibt sich 6950 als kleinste Zahl.

Die größte gesuchte Zahl

Hier ist wieder die Zehnerstelle die Entscheidende. Die größte Ziffer, die noch abgerundet wird ist 4. Die Einerstellen hat wieder keinen Einfluss. Wähle also 9, um die Zahl möglichst groß zu machen. Da die Zehnerstelle diesmal abgerundet wird, bleiben die höheren Stellen die Gleichen wie bei 7000.

Also ist 7049 die Maximalzahl.

Damit ergibt sich die gesuchten Zahlenmenge:

$L=\{6950{,}6951,…,7048{,}7049\}$.

Finde heraus, welche Stelle relevant ist, wenn du auf Tausender rundest. Dies sind die Hunderter.

Überlege dir die größtmögliche Zahl, die nach wenn man nach den Regeln des Rundens auf Tausender rundet, noch auf 70 000 abgerundet werden kann.

Alle natürlichen Zahlen zwischen 69 500 und 70 499 ergeben gerundet 70000, wenn man sie auf ganze Tausender rundet.

Die Lösungsmenge ist also: $L=\left[69500{,}70499\right]$

Die kleinstmögliche Zahl, die auf Tausender gerundet 60$\,$000 ergibt, ist 59$\,$500.

Die größtmögliche Zahl, die auf Tausender gerundet 60$\,$000 ergibt, ist 60$\,$499.

Die Lösungsmenge ist also:

$L=\left[59\,500,\;60\,499\right]$

Es bietet sich an, die Zahl der Mitglieder auf ihre Hunderter-Stellen zu runden.

Trägst du nun die Zahl der Mitglieder in Tausender-Schritten auf der y-Achse ein, so entsteht das folgende Diagramm. Natürlich gibt es mehrere mögliche Lösungswege.

Die kleinste Zahl, die auf eine halbe Million gerundet 80Millionen ergibt, ist 79$\,$750$\,$000. So viele Leute leben also mindestens in Deutschland.

Die größte Zahl, die auf eine halbe Million gerundet 80Millionen ergibt, ist 80$\,$249$\,$999. Also leben maximal so viele Leute in Deutschland.

Bei dieser Aufgabe geht es darum, die kleinste und die größte Zahl zufinden, die auf Hunderttausender gerundet 20 000 000 ergeben.

Dadurch ergeben sich mindestens 19 950 000 und maximal 20 049 999 Einwohner.

Begründung für die minimalen Einwohnerzahl

Die minimale Einwohnerzahl ist die kleinste Zahl die aufgerundet 20 000 000 ergibt.

Da auf Hunderttausender gerundet wird ist die Zehntausender-Stelle entscheidend. Diese soll möglichst klein sein, aber immernoch aufgerundet werden. Daher muss hier eine 5 stehen. Alle kleineren Stellen spielen beim Runden keine Rolle, können also beliebige Zahlen sein. Es ist eine möglichst kleine Zahl gesucht, wähle also Nullen. Da die Zehntausender-Stelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab.

Damit ergibt sich 19 950 000 als minimale Einwohnerzahl.

Begründung für die maximale Einwohnerzahl

Die Maximalzahl von Einwohnern ist größte Zahl, die noch auf 20 000 000 abgerundet wird.

Hier ist wieder die Zehntausender-Stelle die Entscheidende. Die größte Ziffer, die noch abgerundet wird ist 4. Die kleineren Stellen haben wieder keinen Einfluss. Wähle also 9, um die Zahl möglichst groß zu machen. Da die Zehntausender-Stelle diesmal abgerundet wird, bleiben die höheren Stellen die Gleichen wie bei 20 000 000.

Also ist 20 049 999 die Maximalzahl.

Gegeben ist die Zahl 1 200 000 000, die die Anzahl der Einwohner in Indien angibt.

Was ist nun gesucht?

Gesucht sind die zwei Zahlen, die auf eine halbe Million ab- bzw. aufgerundet wieder die Zahl 1 200 000 000 ergeben.

Dabei ist die Zahl, die abgerundet wieder 1 200 000 000 ergibt, die Höchstanzahl an Einwohnern in Indien. Ich bezeichne diese Zahl hier mit x.

Die Zahl, die aufgerundet wieder 1 200 000 000 ergibt, ist die Mindestzahl an Einwohnern in Indien. Diese bezeichne ich hier mit y.

Also sind x und y gesucht.

Herleitung von x und y mit Hilfe obiger Definition

Schaue dir jeweils die sechste und die fünfte Stelle von x an:

x muss so gewählt werden, dass sie minimal, aber auch Aufrundbar ist. Die 5 ist die kleinste Zahl, bei der aufgerundet wird, also setzt du diese auf die Zehntausender-Stelle. Da die Tausender-, Hunderter-, Zehner- und Einer-Stelle nicht wichtig beim Runden auf eine halbe Million ist, nimmst du an diesen Stellen Nullen, weil die Zahl klein sein soll.

$\Rightarrow$ $x=\ -\ -\ -\ -750000$.

Da die Millionen-Stelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab.

$\Rightarrow$ $x = 1 1 9 9 7 5 0 0 0 0$.

y muss so gewählt werden, dass sie maximal, aber auch Abrundbar ist. Dieses mal setzt du an die Hunderttausender-Stelle eine 4, da sie die größte Zahl ist, bei der abgerundet wird. Wie vorher sind die kleineren Stellen nicht wichtig, wähle also Neunen, da die größte Zahl gesucht ist.

$\Rightarrow$ $y=-\ -\ -\ -\ 249999$

Da die Millionen-Stelle abgerundet wird, verändern sich die höheren Stellen nicht. $\Rightarrow$ $y = 1 2 0 0 2 4 9 9 9 9$.

Ergebnis

x= 1199750000;

y= 1200249999;

Finde die gerundete Zahl in der Aussage "In Bayern leben, auf halbe Hunderttausender gerundet, dreizehn Millionen Menschen."

Ausgehend von dieser Aussage, gib nun Grenzen an, wie viele Menschen mindestens und wie viele Menschen höchstens in Bayern leben.

Untergrenze

Obergrenze

Ergebnis

Die möglichen Einwohnerzahlen Bayerns, die wir aus dieser Aussage schließen können, sind alle Zahlen zwischen 12 975 000 und 13 024 999. Stelle sie in einer Lösungsmenge dar:

$L=\left[12\;975\;000,\;13\;024\;999\right]$

Das Ziel der Aufgabe ist, die kleinste und größte Zahl zu finden, die gerundet $2000000$ ergibt, wenn du auf Zehntausender rundest.

Wenn du auf Zehntausender rundest, ist nur die Tausender-Stelle wichtig. Ist hier eine 1,2,3 oder 4, rundest du ab. Bei einer 5,6,7,8 oder 9 rundest du auf.

Lösungsweg für die kleinste Zahl

Die 5 ist die kleinste Zahl, bei der aufgerundet wird, also setzt du diese auf die Tausender-Stelle. Da die Hunderter-, Zehner- und Einer-Stelle nicht wichtig beim Runden auf Zehntausender ist, nimmst du an diesen Stellen Nullen, weil die Zahl klein sein soll.

Da die Zehntausender-Stelle aufgerundet wird, erhöhen sich die höheren Stellen um Eins. Nimm also diese Stellen der gerundeten Zahl und ziehe Eins ab.

Deshalb ist $1995000$ die Lösung für die kleinste Zahl.

Lösungsweg für die größte Zahl

Dieses mal setzt du an die Tausender-Stelle eine 4, da sie die größte Zahl ist, bei der abgerundet wird. Wie vorher sind die kleineren Stellen nicht wichtig, wähle also Neunen, da die größte zahl gesucht ist.

Da die Zehntausender-Stelle abgerundet wird, verändern sich die höheren Stellen nicht. Deshalb ist $2004999$ die Lösung für die größte Zahl.///

Überlege dir, was für einen Zeitungsartikel eine sinnvolle Größenangabe ist, um die Anzahl der Zuschauer angemessen zu beschreiben.

Sinnvoll ist es, wenn du auf Hunderter rundest, da das Runden auf Tausender zu ungenau ist, während auf Zehner zu runden zu genaue Informationen geben würde.

Der Zeitungsreporter sollte daher als Besucheranzahl die Angabe 5300 verwenden.

Die kleinste Zahl, die auf Hunderter gerundet 1300 ergibt, ist 1250.

Die größte Zahl, die auf hunderter gerundet 1300 ergibt, ist 1349.

Alle Zahlen , die dazwischen liegen, nennen wir $z$. Daraus ergibt sich die Doppelungleichung:

$1250\leq z\leq1349$

$24\cdot1{,}5\text{cm}=36\text{cm}\\$

$\;\;\Rightarrow$ Der Schneidezahn auf dem Plakat ist etwa 36 cm groß.