Nein

Für jede Strategie von Spieler 1 hat Spieler 2 eine Antwort, die seinen Gewinn maximiert, aber Spieler 1 nicht gefällt.

Schere besiegt Papier daher ist das vermutlich die beste Strategie.

$u_2(\text{Schere})=e_2(\text{Papier, Schere})=1$

$u_2(\text{Papier})=e_2(\text{Papier, Papier})=0$

$u_2(\text{Stein})=e_2(\text{Papier, Stein})=-1$

Man sieht das $u_2(\text{Schere})$ Wert $1$ hat, somit hat die reine Strategie, immer Schere zu nehmen, den grösten erwarteten Nutzen.

$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=u_1(\text{Papier})$

$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Stein})$

$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot(-1)+0{,}5\cdot1=0$

$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot u_2(\text{Schere})+0{,}5\cdot u_2(\text{Stein})$

$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5 \cdot e_2(\text{Papier, Schere}) +0{,}5 \cdot e_2(\text{Papier, Stein})$

$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5 \cdot 1 +0{,}5 \cdot (-1)=0$

Das erwartete Ergebnis ist ein Unentschieden. Obwohl beide nie dasselbe machen, gewinnen beide Seiten gleich oft/wahrscheinlich.

Zunächst berechnen wir den erwarteten Gewinn der Reinen Strategien gegen die Uwe und die BeiHerta Strategien.

$u_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Stein})$$u_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot(-1)+0{,}5\cdot1=0$

$u_1(\text{Schere, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Schere, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Schere, Stein})$

$u_1(\text{Schere, BeiHerta})=0{,}5\cdot0+0{,}5\cdot(-1)=-0{,}5$

$u_1(\text{Stein, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Stein, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Stein, Stein})$

$u_1(\text{Stein, BeiHerta})=0{,}5\cdot1+0{,}5\cdot0=0{,}5$

Das beste, was man gegen Herta spielen kann, ist immer Stein zu machen.

$u_2(\text{Uwe ,Papier})=0{,}25\cdot e_2(\text{Papier, Papier})+0{,}35\cdot e_2(\text{Schere, Papier})+0{,}4\cdot e_2(\text{Stein, Papier})$

$u_2(\text{Uwe, Papier})=0{,}25\cdot 0+0{,}35\cdot (-1)+0{,}4\cdot 1= 0{,}05$

$u_2(\text{Uwe, Schere})=0{,}25\cdot e_2(\text{Papier, Schere})+0{,}35\cdot e_2(\text{Schere, Schere})+0{,}4\cdot e_2(\text{Stein, Schere})$

$u_2(\text{Uwe, Schere})=0{,}25\cdot 1+0{,}35\cdot 0+0{,}4\cdot (-1) = -0{,}15$

$u_2(\text{Uwe, Stein})=0{,}25\cdot e_2(\text{Papier, Stein})+0{,}35\cdot e_2(\text{Schere, Stein})+0{,}4\cdot e_2(\text{Stein, Stein})$

$u_2(\text{Uwe, Stein})=0{,}25\cdot (-1)+0{,}35\cdot 1+0{,}4\cdot 0= 0{,}1$

Das beste, was man gegen Uwe spielen kann, ist immer Stein zu machen.

Berechnen wir, wie Mark gegen Herta spielt:

$v_2(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}5\cdot u_2(\text{Uwe, Schere})+0{,}5\cdot u_2(\text{Uwe, Stein})$

$v_2(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}5\cdot(-0{,}15)+0{,}5\cdot0{,}1=-0{,}025$

$v_1(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}25\cdot u_1(\text{Papier ,BeiHerta})+0{,}35\cdot u_1(\text{Schere, BeiHerta})+0{,}4\cdot u_1(\text{Stein, BeiHerta})$

$v_1(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}25\cdot 0+0{,}35\cdot (-0{,}5)+0{,}4\cdot 0{,}5 = 0{,}025$

Im Schnitt gewinnt Mark mit seiner neuen Taktik gegen Herta. Da der erwartete Gewinn von $v_1(\text{Uwe, BeiHerta})$ jedoch nur knapp über dem von Herta $v_2(\text{Uwe, BeiHerta})$ ist, müsste man sehr oft spielen, um zu sehen, dass es kein faires Spiel ist.

Ja.

Die Strategie, alles gleich oft zu machen führt dazu, dass es egal ist, was der andere macht. Wenn beide alles gleich oft machen, hat keiner einen Grund, etwas zu ändern. Wir haben ein Gleichgewicht.

Spieltheoretisch würde man sagen, der erwartete Gewinn aller reinen Strategien ist gleich.

$u_1(\text{Schere, Zufall})\\=\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Schere})+\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Stein})+\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Papier})\\=\frac{1}{3}\cdot0+\frac{1}{3}(-1)+\frac{1}{3}\cdot1\\=0$