Aufgaben zur Spieltheorie - lernen mit Serlo!

Werfen wir einen spieltheoretischen Blick auf das Spiel Schere, Stein, Papier.

Erstelle eine Bi-Matrix zu dem Spiel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nash-Gleichgewicht und Gefangenen-Dilemma
Spieler 1
/Spieler 2
Schere
Stein
Papier
Schere
0
/0
-1
/1
1
/-1
Stein
1
/-1
0
/0
-1
/1
Papier
-1
/1
1
/-1
0
/0
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Gibt es in dem Spiel Nash-Gleichgewichte?

Nein
Für jede Strategie von Spieler 1 hat Spieler 2 eine Antwort, die seinen Gewinn maximiert, aber Spieler 1 nicht gefällt.
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Mark (Spieler 1) spielt immer Papier. Was ist die beste Strategie dagegen?
Begründe damit, dass du den erwarteten Nutzen $u_{2} ()$ für alle Strategien ausrechnest.

Schere besiegt Papier daher ist das vermutlich die beste Strategie.
$u_2(\text{Schere})=e_2(\text{Papier, Schere})=1$
$u_2(\text{Papier})=e_2(\text{Papier, Papier})=0$
$u_2(\text{Stein})=e_2(\text{Papier, Stein})=-1$
Man sieht das $u_2(\text{Schere})$ Wert $1$ hat, somit hat die reine Strategie, immer Schere zu nehmen, den grösten erwarteten Nutzen.
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Herta (Spieler 2) spielt nur Schere und Stein, beides mit 50% Wahrscheinlichkeit. Sie nennt das die BeiHerta Strategie
Was ist das erwartete Ergebnis, wenn Mark gehen Herta spielt? Berechne $v_1(\text{Papier, BeiHerta})$ und $v_2(\text{Papier, BeiHerta})$ .

$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=u_1(\text{Papier})$
$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Stein})$
$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot(-1)+0{,}5\cdot1=0$
$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot u_2(\text{Schere})+0{,}5\cdot u_2(\text{Stein})$
$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5 \cdot e_2(\text{Papier, Schere}) +0{,}5 \cdot e_2(\text{Papier, Stein})$
$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5 \cdot 1 +0{,}5 \cdot (-1)=0$
Das erwartete Ergebnis ist ein Unentschieden. Obwohl beide nie dasselbe machen, gewinnen beide Seiten gleich oft/wahrscheinlich.
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Mark war ein bisschen zu lange bei Herta und hat sich danach folgende angeblich perfekte Strategie ausgedacht. Er spielt mit 25% Wahrscheinlichkeit Papier, mit 35% Schere und mit 40% Wahrscheinlichkeit Stein. Er nennt die Strategie Uwe. Wer gewinnt vermutlich, wenn Mark gegen Herta spielt?

Zunächst berechnen wir den erwarteten Gewinn der Reinen Strategien gegen die Uwe und die BeiHerta Strategien.
$u_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Stein})$ $u_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot(-1)+0{,}5\cdot1=0$
$u_1(\text{Schere, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Schere, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Schere, Stein})$
$u_1(\text{Schere, BeiHerta})=0{,}5\cdot0+0{,}5\cdot(-1)=-0{,}5$
$u_1(\text{Stein, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Stein, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Stein, Stein})$
$u_1(\text{Stein, BeiHerta})=0{,}5\cdot1+0{,}5\cdot0=0{,}5$
Das beste, was man gegen Herta spielen kann, ist immer Stein zu machen.
$u_2(\text{Uwe ,Papier})=0{,}25\cdot e_2(\text{Papier, Papier})+0{,}35\cdot e_2(\text{Schere, Papier})+0{,}4\cdot e_2(\text{Stein, Papier})$
$u_2(\text{Uwe, Papier})=0{,}25\cdot 0+0{,}35\cdot (-1)+0{,}4\cdot 1= 0{,}05$
$u_2(\text{Uwe, Schere})=0{,}25\cdot e_2(\text{Papier, Schere})+0{,}35\cdot e_2(\text{Schere, Schere})+0{,}4\cdot e_2(\text{Stein, Schere})$
$u_2(\text{Uwe, Schere})=0{,}25\cdot 1+0{,}35\cdot 0+0{,}4\cdot (-1) = -0{,}15$
$u_2(\text{Uwe, Stein})=0{,}25\cdot e_2(\text{Papier, Stein})+0{,}35\cdot e_2(\text{Schere, Stein})+0{,}4\cdot e_2(\text{Stein, Stein})$
$u_2(\text{Uwe, Stein})=0{,}25\cdot (-1)+0{,}35\cdot 1+0{,}4\cdot 0= 0{,}1$
Das beste, was man gegen Uwe spielen kann, ist immer Stein zu machen.
Berechnen wir, wie Mark gegen Herta spielt:
$v_2(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}5\cdot u_2(\text{Uwe, Schere})+0{,}5\cdot u_2(\text{Uwe, Stein})$
$v_2(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}5\cdot(-0{,}15)+0{,}5\cdot0{,}1=-0{,}025$
$v_1(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}25\cdot u_1(\text{Papier ,BeiHerta})+0{,}35\cdot u_1(\text{Schere, BeiHerta})+0{,}4\cdot u_1(\text{Stein, BeiHerta})$
$v_1(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}25\cdot 0+0{,}35\cdot (-0{,}5)+0{,}4\cdot 0{,}5 = 0{,}025$
Im Schnitt gewinnt Mark mit seiner neuen Taktik gegen Herta. Da der erwartete Gewinn von $v_1(\text{Uwe, BeiHerta})$ jedoch nur knapp über dem von Herta $v_2(\text{Uwe, BeiHerta})$ ist, müsste man sehr oft spielen, um zu sehen, dass es kein faires Spiel ist.
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Gibt es ein Gleichgewicht in einer gemischten Startegie bei Schere, Stein, Papier?

Ja.
Die Strategie, alles gleich oft zu machen führt dazu, dass es egal ist, was der andere macht. Wenn beide alles gleich oft machen, hat keiner einen Grund, etwas zu ändern. Wir haben ein Gleichgewicht.
Spieltheoretisch würde man sagen, der erwartete Gewinn aller reinen Strategien ist gleich.
$u_1(\text{Schere, Zufall})\\=\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Schere})+\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Stein})+\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Papier})\\=\frac{1}{3}\cdot0+\frac{1}{3}(-1)+\frac{1}{3}\cdot1\\=0$
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Spieler 1 /Spieler 2	Schere	Stein	Papier
Schere	0 /0	-1 /1	1 /-1
Stein	1 /-1	0 /0	-1 /1
Papier	-1 /1	1 /-1	0 /0

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