Aufgaben zur Spieltheorie

Nein

Für jede Strategie von Spieler 1 hat Spieler 2 eine Antwort, die seinen Gewinn maximiert, aber Spieler 1 nicht gefällt.

Schere besiegt Papier daher ist das vermutlich die beste Strategie.

$u_2(\text{Schere})=e_2(\text{Papier, Schere})=1$

$u_2(\text{Papier})=e_2(\text{Papier, Papier})=0$

$u_2(\text{Stein})=e_2(\text{Papier, Stein})=-1$

Man sieht das $u_2(\text{Schere})$ Wert $1$ hat, somit hat die reine Strategie, immer Schere zu nehmen, den grösten erwarteten Nutzen.

$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=u_1(\text{Papier})$

$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Stein})$

$v_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot(-1)+0{,}5\cdot1=0$

$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot u_2(\text{Schere})+0{,}5\cdot u_2(\text{Stein})$

$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5 \cdot e_2(\text{Papier, Schere}) +0{,}5 \cdot e_2(\text{Papier, Stein})$

$v_2(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5 \cdot 1 +0{,}5 \cdot (-1)=0$

Das erwartete Ergebnis ist ein Unentschieden. Obwohl beide nie dasselbe machen, gewinnen beide Seiten gleich oft/wahrscheinlich.

Zunächst berechnen wir den erwarteten Gewinn der Reinen Strategien gegen die Uwe und die BeiHerta Strategien.

$u_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Papier, Stein})$$u_1(\text{Papier, BeiHerta})=0{,}5\cdot(-1)+0{,}5\cdot1=0$

$u_1(\text{Schere, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Schere, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Schere, Stein})$

$u_1(\text{Schere, BeiHerta})=0{,}5\cdot0+0{,}5\cdot(-1)=-0{,}5$

$u_1(\text{Stein, BeiHerta})=0{,}5\cdot e_1(\text{Stein, Schere})+0{,}5\cdot e_1(\text{Stein, Stein})$

$u_1(\text{Stein, BeiHerta})=0{,}5\cdot1+0{,}5\cdot0=0{,}5$

Das beste, was man gegen Herta spielen kann, ist immer Stein zu machen.

$u_2(\text{Uwe ,Papier})=0{,}25\cdot e_2(\text{Papier, Papier})+0{,}35\cdot e_2(\text{Schere, Papier})+0{,}4\cdot e_2(\text{Stein, Papier})$

$u_2(\text{Uwe, Papier})=0{,}25\cdot 0+0{,}35\cdot (-1)+0{,}4\cdot 1= 0{,}05$

$u_2(\text{Uwe, Schere})=0{,}25\cdot e_2(\text{Papier, Schere})+0{,}35\cdot e_2(\text{Schere, Schere})+0{,}4\cdot e_2(\text{Stein, Schere})$

$u_2(\text{Uwe, Schere})=0{,}25\cdot 1+0{,}35\cdot 0+0{,}4\cdot (-1) = -0{,}15$

$u_2(\text{Uwe, Stein})=0{,}25\cdot e_2(\text{Papier, Stein})+0{,}35\cdot e_2(\text{Schere, Stein})+0{,}4\cdot e_2(\text{Stein, Stein})$

$u_2(\text{Uwe, Stein})=0{,}25\cdot (-1)+0{,}35\cdot 1+0{,}4\cdot 0= 0{,}1$

Das beste, was man gegen Uwe spielen kann, ist immer Stein zu machen.

Berechnen wir, wie Mark gegen Herta spielt:

$v_2(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}5\cdot u_2(\text{Uwe, Schere})+0{,}5\cdot u_2(\text{Uwe, Stein})$

$v_2(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}5\cdot(-0{,}15)+0{,}5\cdot0{,}1=-0{,}025$

$v_1(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}25\cdot u_1(\text{Papier ,BeiHerta})+0{,}35\cdot u_1(\text{Schere, BeiHerta})+0{,}4\cdot u_1(\text{Stein, BeiHerta})$

$v_1(\text{Uwe, BeiHerta})=0{,}25\cdot 0+0{,}35\cdot (-0{,}5)+0{,}4\cdot 0{,}5 = 0{,}025$

Im Schnitt gewinnt Mark mit seiner neuen Taktik gegen Herta. Da der erwartete Gewinn von $v_1(\text{Uwe, BeiHerta})$ jedoch nur knapp über dem von Herta $v_2(\text{Uwe, BeiHerta})$ ist, müsste man sehr oft spielen, um zu sehen, dass es kein faires Spiel ist.

Ja.

Die Strategie, alles gleich oft zu machen führt dazu, dass es egal ist, was der andere macht. Wenn beide alles gleich oft machen, hat keiner einen Grund, etwas zu ändern. Wir haben ein Gleichgewicht.

Spieltheoretisch würde man sagen, der erwartete Gewinn aller reinen Strategien ist gleich.

$u_1(\text{Schere, Zufall})\\=\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Schere})+\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Stein})+\frac{1}{3}\cdot e_1(\text{Schere, Papier})\\=\frac{1}{3}\cdot0+\frac{1}{3}(-1)+\frac{1}{3}\cdot1\\=0$

$u_1(\textup{ausweichen},p)=p\cdot 0 + (1-p)\cdot -1 =p-1 \newline u_1(\textup{Kurshalten},p)=p \cdot 1 + (1-p)\cdot -10=11\cdot p-10$

Um eine gemischte Strategie zu erreichen, muss Spieler 2 sein $p$ so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, was er spielt.

$u_1(\textup{ausweichen},p)=u_1(\textup{Kurshalten},p) \newline p-1=11 \cdot p-10 \newline 9=10 \cdot p \newline p=0{,}9$

Spieler 2 wählt also sein $p$, sodass er in 9 von 10 Fällen ausweicht. Wenn Spieler zwei das auch macht, haben wir ein gemischtes Gleichgewicht.

Der erwartete Gewinn dieser gemischten Strategie ist:

$v_1(0{,}9;0{,}9)= 0{,}9 \cdot u_1(\textup{ausweichen};0{,}9)+0{,}1 \cdot u_1(\textup{Kurshalten};0{,}9)\newline v_1(0{,}9;0{,}9)= 0{,}9 \cdot (0{,}9-1)+0{,}1 \cdot (11 \cdot 0{,}9-10) \newline v_1(0{,}9;0{,}9)= 0{,}9 \cdot (-0{,}1)+0{,}1 \cdot (-0{,}1)\newline v_1(0{,}9;0{,}9)= -0{,}09 -0{,}01 =-0{,}1$

Da das Spiel symmetrisch ist, haben beide Spieler den selben hier negativen erwarteten Gewinn. In anderen Worten: alle Spielteilnehmer verlieren im Schnitt immer, man sollte das Spiel nicht spielen.

$u_1(\textup{lügt},p)=p\cdot -1 + (1-p)\cdot -5 =4 \cdot p-5 \newline u_1(\textup{gestehen},p)=p \cdot 0 + (1-p)\cdot -2=2\cdot p-2$

Um ein Gleichgewicht in einer gemischten Strategie zu erreichen, muss Spieler 2 sein $p$ so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, was er spielt. Setzen wir dementsprechend den von Spieler 1 erwarteten Gewinn der beiden Strategien gleich.

$u_1(\textup{lügt},p)=u_1(\textup{gestehen},p)\newline 4 \cdot p-5 =2\cdot p-2\newline 2 \cdot p =3\newline p =\frac{3}{2}=1{,}5$

Moment ?! Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 2 lügt, soll 1,5 sein, das ist über 1 und kann somit nicht richtig sein!

Werfen wir noch einmal einen Blick in die Bi-Matrix ohne groß zu rechen.

Wenn Spieler 2 lügt, sind wir in der linken Spalte. Angenommen Spieler 1 weiß, dass Spieler 2 lügt, dann kann er sich für auch zum Lügen entscheiden und -1 bekommen. (links oben) oder er gesteht und bekommt 0. (links unten) Wenn Spieler 1 seinen Gewinn maximiert, gesteht er.

Wenn Spieler 2 gesteht, sind wir in der rechten Spalte. Angenommen Spieler 1 weiß, dass Spieler 2 gesteht, dann kann er sich für zum Lügen entscheiden und -5 bekommen. (rechts oben) oder er gesteht und bekommt -2. (rechts unten) Wenn Spieler 1 seinen Gewinn maximiert, gesteht er.

Beiden Fällen ist es für Spieler 1 besser zu gestehen, also ist es auch in jeder gemischten Strategie von Spieler 2 ist es besser zu gestehen.

Spieler 2 kann sein $p$ überhaupt nicht so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, welche Strategie er wählt. Unser Ansatz, die den erwarteten Gewinn der beiden Strategien gleichzusetzen, ist nicht zielführend und es kommt ein komisches Ergebnis für $p$ heraus.

Mathematisch gesehen kann man sagen für alle p zwischen 0 und 1 gilt:

$u_1(\textup{gestehen},p)>u_1(\textup{lügt},p)$

Es gibt also kein Gleichgewicht in gemischten Strategien.

Offensichtlich ist es für beide das beste die Strategie 'Ja' zu wählen.

Es ist ein starkes Nash-Gleichgewicht, wenn beide Spieler 'Ja' wählen. Denn es wäre für beide Spieler schlecht abzuweichen.

Interessanterweise haben wir auch ein schwaches Nash-Gleichgewicht, wenn beide Spieler 'Nein' wählen. Dann kann keiner der beiden seinen Gewinn erhöhen, wenn er (alleine) seine Strategie ändert.

Da wir (wie im Kampf der Geschlechter) zwei Nash-Gleichgewichte haben, können wir nach einer gemischten Strategie suchen.

Wenn Spieler 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von p ja sagt, ist der erwartete Gewinn von Spieler 1 für seine reinen Strategien wie folgt:

$u_1(\text{Ja, p})=p \cdot e_1(\text{Ja, Ja})+(p-1) \cdot e_1(\text{Ja, Nein})=p\cdot 1+(p-1)\cdot 0 =p \newline u_1(\text{Nein, p})= p \cdot e_1(\text{Nein, Ja})+(p-1)\cdot e_1(\text{Nein, Nein})=p\cdot 0+(p-1)\cdot 0=0$

Es gibt kein $p\text{ }(\text{mit }0<p<1)$ , das Spieler 2 wählen könnte, damit der erwartete Gewinn der beiden Strategien gleich ist. Wenn er $p=0$ wählt, ist es für Spieler 1 egal welche Strategie er wählt. Aber wenn beide Spieler $p=0$ wählen, haben wir ein Gleichgewicht in einer reinen und nicht in einer gemischten Strategie.

Um eine gemischte Strategie zu haben, muss p zwischen 0 und 1 liegen.

Es gibt hier kein Gleichgewicht in einer gemischten Strategie.