$u_1(\textup{ausweichen},p)=p\cdot 0 + (1-p)\cdot -1 =p-1 \newline u_1(\textup{Kurshalten},p)=p \cdot 1 + (1-p)\cdot -10=11\cdot p-10$

Um eine gemischte Strategie zu erreichen, muss Spieler 2 sein $p$ so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, was er spielt.

$u_1(\textup{ausweichen},p)=u_1(\textup{Kurshalten},p) \newline p-1=11 \cdot p-10 \newline 9=10 \cdot p \newline p=0{,}9$

Spieler 2 wählt also sein $p$, sodass er in 9 von 10 Fällen ausweicht. Wenn Spieler zwei das auch macht, haben wir ein gemischtes Gleichgewicht.

Der erwartete Gewinn dieser gemischten Strategie ist:

$v_1(0{,}9;0{,}9)= 0{,}9 \cdot u_1(\textup{ausweichen};0{,}9)+0{,}1 \cdot u_1(\textup{Kurshalten};0{,}9)\newline v_1(0{,}9;0{,}9)= 0{,}9 \cdot (0{,}9-1)+0{,}1 \cdot (11 \cdot 0{,}9-10) \newline v_1(0{,}9;0{,}9)= 0{,}9 \cdot (-0{,}1)+0{,}1 \cdot (-0{,}1)\newline v_1(0{,}9;0{,}9)= -0{,}09 -0{,}01 =-0{,}1$

Da das Spiel symmetrisch ist, haben beide Spieler den selben hier negativen erwarteten Gewinn. In anderen Worten: alle Spielteilnehmer verlieren im Schnitt immer, man sollte das Spiel nicht spielen.

$u_1(\textup{lügt},p)=p\cdot -1 + (1-p)\cdot -5 =4 \cdot p-5 \newline u_1(\textup{gestehen},p)=p \cdot 0 + (1-p)\cdot -2=2\cdot p-2$

Um ein Gleichgewicht in einer gemischten Strategie zu erreichen, muss Spieler 2 sein $p$ so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, was er spielt. Setzen wir dementsprechend den von Spieler 1 erwarteten Gewinn der beiden Strategien gleich.

$u_1(\textup{lügt},p)=u_1(\textup{gestehen},p)\newline 4 \cdot p-5 =2\cdot p-2\newline 2 \cdot p =3\newline p =\frac{3}{2}=1{,}5$

Moment ?! Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 2 lügt, soll 1,5 sein, das ist über 1 und kann somit nicht richtig sein!

Werfen wir noch einmal einen Blick in die Bi-Matrix ohne groß zu rechen.

Wenn Spieler 2 lügt, sind wir in der linken Spalte. Angenommen Spieler 1 weiß, dass Spieler 2 lügt, dann kann er sich für auch zum Lügen entscheiden und -1 bekommen. (links oben) oder er gesteht und bekommt 0. (links unten) Wenn Spieler 1 seinen Gewinn maximiert, gesteht er.

Wenn Spieler 2 gesteht, sind wir in der rechten Spalte. Angenommen Spieler 1 weiß, dass Spieler 2 gesteht, dann kann er sich für zum Lügen entscheiden und -5 bekommen. (rechts oben) oder er gesteht und bekommt -2. (rechts unten) Wenn Spieler 1 seinen Gewinn maximiert, gesteht er.

Beiden Fällen ist es für Spieler 1 besser zu gestehen, also ist es auch in jeder gemischten Strategie von Spieler 2 ist es besser zu gestehen.

Spieler 2 kann sein $p$ überhaupt nicht so wählen, dass es für Spieler 1 egal ist, welche Strategie er wählt. Unser Ansatz, die den erwarteten Gewinn der beiden Strategien gleichzusetzen, ist nicht zielführend und es kommt ein komisches Ergebnis für $p$ heraus.

Mathematisch gesehen kann man sagen für alle p zwischen 0 und 1 gilt:

$u_1(\textup{gestehen},p)>u_1(\textup{lügt},p)$

Es gibt also kein Gleichgewicht in gemischten Strategien.

Offensichtlich ist es für beide das beste die Strategie 'Ja' zu wählen.

Es ist ein starkes Nash-Gleichgewicht, wenn beide Spieler 'Ja' wählen. Denn es wäre für beide Spieler schlecht abzuweichen.

Interessanterweise haben wir auch ein schwaches Nash-Gleichgewicht, wenn beide Spieler 'Nein' wählen. Dann kann keiner der beiden seinen Gewinn erhöhen, wenn er (alleine) seine Strategie ändert.

Da wir (wie im Kampf der Geschlechter) zwei Nash-Gleichgewichte haben, können wir nach einer gemischten Strategie suchen.

Wenn Spieler 2 mit einer Wahrscheinlichkeit von p ja sagt, ist der erwartete Gewinn von Spieler 1 für seine reinen Strategien wie folgt:

$u_1(\text{Ja, p})=p \cdot e_1(\text{Ja, Ja})+(p-1) \cdot e_1(\text{Ja, Nein})=p\cdot 1+(p-1)\cdot 0 =p \newline u_1(\text{Nein, p})= p \cdot e_1(\text{Nein, Ja})+(p-1)\cdot e_1(\text{Nein, Nein})=p\cdot 0+(p-1)\cdot 0=0$

Es gibt kein $p\text{ }(\text{mit }0<p<1)$ , das Spieler 2 wählen könnte, damit der erwartete Gewinn der beiden Strategien gleich ist. Wenn er $p=0$ wählt, ist es für Spieler 1 egal welche Strategie er wählt. Aber wenn beide Spieler $p=0$ wählen, haben wir ein Gleichgewicht in einer reinen und nicht in einer gemischten Strategie.

Um eine gemischte Strategie zu haben, muss p zwischen 0 und 1 liegen.

Es gibt hier kein Gleichgewicht in einer gemischten Strategie.