Aufgaben zur Spieltheorie - lernen mit Serlo!

Im Folgenden werden wir eine Bi-Matrix für einen Kartell-Bruch aufstellen. Ein Kartell ist ein Zusammenschluss mehrerer Parteien, die gemeinsam wie ein Monopol auftreten. Ein Kartell-Bruch entsteht, wenn sich eine oder mehrere Parteien nicht an die Absprachen halten, um ihre eigenen Gewinne zu maximieren.

Wir betrachten hierbei den Punschverkauf der beiden Klassen aus dem Artikel zur "Wie Dinge ihren Preis bekommen". Hier nochmal die benötigten Funktionen:

$\displaystyle K_a(x_a)$	$=$	$\displaystyle 0{,}75 \cdot x$
$\displaystyle K_b(x_b)$	$=$	$\displaystyle 1{,}2\cdot x$
$\displaystyle p(x)$	$=$	$\displaystyle 4-\frac{x}{200}$

Die beiden Klassen beschließen, gemeinsam wie ein Monopolist aufzutreten. Sie legen fest, den Punsch für 1 € zu verkaufen und dann jeweils die Hälfte der gesamten idealen Punschmenge anzubieten.

Stellen wir zunächst die Gewinnfunktion des Monopols auf.

$\displaystyle G(x)$	$=$	$\displaystyle x \cdot p(x)-K(x)$
$\displaystyle G(x)$	$=$	$\displaystyle x\cdot (4- \frac{x}{200})- x\cdot 1$
$\displaystyle G(x)$	$=$	$\displaystyle 3x-\frac{x^2}{200}$

Das Monopol möchte seinen Gewinn maximieren, daher bestimmen wir das Maximum von $G (x)$ .

$\displaystyle G'(x)$	$=$	$\displaystyle 3-\frac{x}{100}$	$\displaystyle G' \overset{!}{=} 0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 3-\frac{x}{100}$	$\displaystyle +\frac{x}{100}$
$\displaystyle \frac{x}{100}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot 100$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 300$

Insgesamt sollen also 300 Becher verkauft werden, wobei jede Klasse 150 Becher verkauft. Damit können wir den Gewinn der einzelnen Klassen berechnen, indem wir die Gewinnfunktion entsprechend aufteilen.

$\displaystyle G_a(x_a,x_b)$	$=$	$\displaystyle x_a \cdot p(x_a+x_b)-K_a(x_a)$
	↓	einsetzen
$\displaystyle G_a(150{,}150)$	$=$	$\displaystyle 150 \cdot p(300)-K_a(150)$
$\displaystyle G_a(150{,}150)$	$=$	$\displaystyle 150 \cdot (4-\frac{300}{200})-150 \cdot 0{,}75$
$\displaystyle G_a(150{,}150)$	$=$	$\displaystyle 150 \cdot (2{,}5)- 112{,}50$
$\displaystyle G_a(150{,}150)$	$=$	$\displaystyle 375- 112{,}50$
$\displaystyle G_a(150{,}150)$	$=$	$\displaystyle 262{,}50$
$\displaystyle G _b (x _a ,x _b )$	$=$	$\displaystyle x_b \cdot p(x_a+x_b)-K_b(x_b)$
$\displaystyle G_b(150{,}150)$	$=$	$\displaystyle 375-150 \cdot 1{,}2$
$\displaystyle G_b(150{,}150)$	$=$	$\displaystyle 195$

Mit der Kartellabsprache erzielt Klasse A einen Gewinn von $262,50 €$ und Klasse B einen Gewinn von $195,00 € .$

Obwohl beide Klassen die gleiche Menge Punsch (150 Becher) zum gleichen Preis ( $2,50 €$ ) verkaufen, erzielt Klasse A einen höheren Gewinn, da sie den Punsch günstiger produziert.

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Nutze die Beste-Antwort-Funktion, um zu berechnen, welchen Gewinn jede Klasse erzielen würde, wenn sie sich nicht an die Absprache hält.

$\displaystyle x_a(x_b)$	$=$	$\displaystyle 325-0{,}5 \cdot x_b$
$\displaystyle x_b(x_a)$	$=$	$\displaystyle 280-0{,}5 \cdot x_a$

Erstelle eine Bi-Matrix zur Darstellung der Entscheidungen.

Tragen wir zunächst alle Werte in die Matrix ein, die wir bereits berechnet haben.

Klasse A / Klasse B	Absprache halten (150 Becher verkaufen)	Abweichen (205 verkaufen)
Absprache halten (150 Becher verkaufen)	262,50 / 195	?/ 210,13
Abweichen (250 Becher verkaufen)	312,50 / ?	? / ?

Berechnen wir die fehlenden Werte mithilfe der Gewinnfunktion $G_{a} (x_{a}, x_{b})$

Klasse A / Klasse B	Absprache halten (150 Becher verkaufen)	Abweichen (205 verkaufen)
Absprache halten (150 Becher verkaufen)	262,50 / 195	$G_a(150{,}205)$ / 210,13
Abweichen (250 Becher verkaufen)	312,50 / $G_b(150{,}250)$	$G_a(250{,}205)$ / $G_b(250{,}205)$

Klasse A / Klasse B	Absprache halten (150 Becher verkaufen)	Abweichen (205 verkaufen)
Absprache halten (150 Becher verkaufen)	262,50 / 195	221,25 / 210,13
Abweichen (250 Becher verkaufen)	312,50 / 120	243,75 / 107,63

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Gibt es in diesem Spiel ein Nash-Gleichgewicht?
- Halten/Halten
- Halten/Abweichen
- Abweichen/Halten
- Halten/Halten
Zu welchem anderen Spiel lassen sich Parallelen ziehen?

Zu keinem – entgegen der Erwartung handelt es sich nicht um ein Gefangenendilemma.
Zwar wäre der Gesamtgewinn beider Parteien größer, wenn sie sich an das Kartell halten, als wenn sie es brechen. Jedoch hat Spieler 1 (Klasse A) einen klaren Anreiz, das Kartell zu brechen, indem sie $250$ Becher verkauft. Abweichen wäre hier eine dominante Strategie.
Wären nur diese zwei Optionen möglich, wäre es für Spieler 2 (Klasse B) am besten, die Absprache einzuhalten und 150 Becher zu verkaufen. Würde Klasse B jedoch davon ausgehen, dass Klasse A sich ohnehin nicht an die Absprache hält und $250$ Becher verkaufen wird, könnte sie mithilfe der besten Antwort-Funktion eine bessere Strategie berechnen. Nämlich: $x_{b} (250) = 155$
Denkt nun Klasse A, dass Klasse B $155$ Becher verkauft, kann sie ihre Strategie wiederum anpassen. $x_{a} (155) = 247$
Passt nun Klasse B ihre Produktion an, optimiert sie ihre Menge entsprechend der neuen Erwartung über Klasse A's Verkaufsstrategie. $x_{b} (247) = 157$
Haben wir das Cournot-Nash-Gleichgewicht erreicht, ist ein weiteres Anpassen nicht mehr möglich. (Durch das wechselseitige Anpassen wird hier stets das Cournot-Nash-Gleichgewicht erreicht.) In diesem Gleichgewicht erzielen die Klassen folgende Gewinne:

$\displaystyle G_a(247{,}157)$ $=$ $\displaystyle 303{,}81$
$\displaystyle G_b(247{,}157)$ $=$ $\displaystyle 122{,}46$
Hier erkennt man bereits, dass der Gewinn von Klasse A im Cournot-Nash-Gleichgewicht höher ist als unter der Absprache. Die Absprache war also von Anfang an nachteilig für Klasse A.
Das liegt an der vermeintlich fairen Strategie, dass beide Klassen gleich viel Punsch produzieren. Diese Aufteilung ist jedoch ungünstig für Klasse A, da ihr Kostenvorteil durch die günstigere Produktion nicht berücksichtigt wird – ein Vorteil, der im Wettbewerb eine Rolle spielt, hier aber nicht mehr zum Tragen kommt.
Durch eine Aufteilung, die den Kostenvorteil von Klasse A einbezieht, könnten jedoch beide Klassen höhere Gewinne erzielen. Dies wirst du in der nächsten Teilaufgabe untersuchen.
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Erstelle die Bi-Matrix für den Kartell-Bruch unter der Annahme, dass sich die Klassen im Vorfeld darauf einigen, dass Klasse A doppelt so viel Punsch wie Klasse B verkauft.Nutze die Geogebra-Anwendung, um die Gewinne schnell zu berechnen.
Prinzipiell ändert die Aufteilung des Punschverkaufs nichts an der Gesamtnachfrage. Daher sollten die Klassen, wenn sie gemeinsam als Monopolist auftreten, weiterhin insgesamt 300 Tassen Punsch verkaufen.
Nach der Absprache soll:
Klasse A $200$ Tassen verkaufen.
Klasse B $100$ Tassen verkaufen.
Würde Klasse A jedoch das Kartell brechen, wäre es für sie ideal, $275$ Tassen zu verkaufen. $x_a(100)=275\$
Für Klasse B wäre es hingegen vorteilhaft, die Absprache zu brechen und 180 Tassen zu verkaufen. $x_{b} (200) = 180$
Hieraus ergibt sich die folgende Bi-Matrix:
Klasse A / Klasse B
Absprache halten
(100 Becher
verkaufen)
Abweichen
(180
verkaufen)
Absprache halten
(200 Becher
verkaufen)
350/ 130
270 / 162
Abweichen
(275 Becher
verkaufen)
378,13 / 92,50
268,13 / 107,63
Hier erkennt man, dass die Gewinne beider Klassen im Kartell höher sind als im Cournot-Nash-Gleichgewicht.
Zum Vergleich: Die Gewinne im Cournot-Nash-Gleichgewicht betragen für Klassen:
$\displaystyle G_a(247{,}157)$ $=$ $\displaystyle 303{,}81$
$\displaystyle G_b(247{,}157)$ $=$ $\displaystyle 122{,}46$
Man sieht jedoch auch deutlich, dass jeder der Spieler ein starkes Interesse daran hat, als Einziger von der Absprache abzuweichen.
Sollte man das Spiel jedoch mehrfach spielen, könnte es sinnvoll sein, sich an die Absprache zu halten. Wie auch im echten Leben lohnt sich Teamwork, da ein Preiskampf zum Cournot-Nash-Gleichgewicht führt, in dem die Gewinne für alle Beteiligten geringer sind als bei Zusammenarbeit.
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$\displaystyle G_a(x_a,x_b)$	$=$	$\displaystyle x_a \cdot p(x_a+x_b)-K_a(x_a)$
$\displaystyle G_a(250{,}150)$	$=$	$\displaystyle 250 \cdot p(400)-K_a(250)$
$\displaystyle G_a(250{,}150)$	$=$	$\displaystyle 250 \cdot (4-\frac{400}{200})-250\cdot 0{,}75$
$\displaystyle G_a(250{,}150)$	$=$	$\displaystyle 500-187{,}50$
$\displaystyle G_a(250{,}150)$	$=$	$\displaystyle 312{,}50$

$\displaystyle G_a(247{,}157)$	$=$	$\displaystyle 303{,}81$
$\displaystyle G_b(247{,}157)$	$=$	$\displaystyle 122{,}46$

Klasse A / Klasse B	Absprache halten (100 Becher verkaufen)	Abweichen (180 verkaufen)
Absprache halten (200 Becher verkaufen)	350/ 130	270 / 162
Abweichen (275 Becher verkaufen)	378,13 / 92,50	268,13 / 107,63