Die Zielfunktion, deren Maximum zu berechnen ist, ergibt sich aus der Differenz der Rechtecksfläche mit den Seitenlängen $x\,LE$ und $y\,LE$ und der Fläche des Halbkreises zum Radius $x/2\,LE$, multipliziert mit dem Faktor $a\,LE$.

Zielfunktion:

$\quad\quad V(x;y)= [x\cdot y-\underbrace{\displaystyle \frac 12 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2\pi}_{\text{Halbkreisfläche}}]\cdot a$

Die zu knickende und umzubiegende Seitenlänge $b$ ergibt für die Zielfunktion $V(x;y)$ eine Nebenbedingung.

Nebenbedingung:

$\quad\quad x+y+k+y=b$

Berechne $k$ als Kreisbogenlänge des Halbkreises zum Radius $x/2$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\displaystyle k&=&\displaystyle \frac 12 \cdot 2 \cdot\displaystyle (\frac{x}{2})\cdot \pi\\k&=&\displaystyle \frac{1}{2}x\pi\end{array}$

Setze $k$ in die Nebenbedingung ein und löse diese nach $y$ (oder auch nach $x$) auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r c l l}x+2y+\color{red}{\frac 12 x\pi}&=&b&|\,-x-\frac 12 x\pi\\2y&=&b-x-\frac 12 x\pi &|\;:2\\y&=&\frac 12 b- x(\frac 12 + \frac 14 \pi)&|\;\text{Setze y in V(x;y) ein}\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {r c l l}V(\color{red}{x})&=&\displaystyle [x\cdot \color{red}{(}\frac 12 b- x(\frac 12 + \frac 14 \pi )\color{red}{)}-x^2\cdot \frac{\pi}{8}]\cdot a\\&=&[\displaystyle \frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac 14\pi)-x^2\cdot \frac {\pi}{8}]\cdot a\\&=&\displaystyle [\frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac 14\pi+\frac{\pi}{8})]\cdot a\\&=&\displaystyle [\frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac{3\pi}{8})]\cdot a\\V(x)&=&\displaystyle (\frac 12 bx - \frac{4+3\pi}{8}x^2)\cdot a\end{array}$

Berechne $V'(x)$ und $V''(x)$.

Setze $V'(x)$ gleich Null und löse nach $x$ auf.

Da $V''(x)$ für jedes $x$ negativ ist, ergibt sich für das Volumen ein Maximum.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ r c l l}\displaystyle \frac 12 b - \frac{4+3\pi}{4}\cdot x_{max}&=&0\\\displaystyle \frac{4+3\pi}{4}\cdot x_{max}&=&\frac 12 b&|\;:\frac {4+3\pi}{4}\\x_{max}&=&\displaystyle \frac{4b}{2(4+3\pi)}\\x_{max}&=&\displaystyle\frac{2b}{4+3\pi}\end{array}$

Für die maximale Halbkreislinie $k$ ergibt dies:

$k_{max}=\displaystyle \frac 12\cdot \color{red}{\frac{2b}{4+3\pi}}\cdot \pi$

$k_{max}=\displaystyle \frac {b\pi}{4+3\pi}$

Setze $x_{max}$ in $y=\frac 12 b-x(\frac 12 + \frac 14 \pi)$ ein, um die maximale y-Kantenlinie des Körpers zu erhalten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l c l l} y_{max}&=&\displaystyle \frac {b}{2}-\frac{2b}{(4+3\pi)}\cdot (\frac 12 + \frac 14 \pi)&|\,\text{HN}\\&=&\displaystyle \frac b2-\frac{2b}{(4+3\pi)} \cdot \frac{2+\pi}{4}&|\,\text{kürzen}\\&=&\displaystyle \frac b2 -\frac b2 \cdot \frac{2+\pi}{4+3\pi}&|\,\text{ausklammern}\\&=&\displaystyle \frac b2 (1-\frac{2+\pi}{4+3\pi})&|\,\text{HN}\\&=&\displaystyle \frac b2 \cdot \frac{4+3\pi-2-\pi}{4+3\pi}&|\,\text{zusammenfassen}\\&=&\displaystyle\frac b2 \cdot\frac{2+2\pi}{4+3\pi}&|\,\text{kürzen}\\y_{max}&=&\displaystyle b \cdot \frac {1+\pi}{4+3\pi}\end{array}$

Setze $x_{max}$ und $y_{max}$ in

$V(x;y)=\displaystyle (x\cdot y-x^2\cdot \frac \pi8)\cdot a$

ein, um das größtmögliche Volumen des Körpers zu erhalten.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {l c l l}V_{max}&=&\displaystyle \left(\color{red}{\frac {2b}{4+3\pi}}\cdot\color{green}{b\cdot \frac {1+\pi}{4+3\pi}}-\color{red}{\frac {4b^2}{(4+3\pi)^2}}\cdot \frac \pi 8\right)\cdot a\\&=&\displaystyle\left(\frac{2b^2(1+\pi)}{(4+3\pi)^2}-\frac{4b^2\pi}{8(4+3\pi)^2}\right)\cdot a&|\,\text{kürzen}\\&=&\displaystyle \left(\frac{2b^2(1+\pi)}{(4+3\pi)^2}-\frac{b^2\pi}{2(4+3\pi)^2} \right)\cdot a&|\,\text{HN}\\\displaystyle &=&\displaystyle \frac{4b^2(1+\pi)-b^2\pi}{2(4+3\pi)^2} \cdot a&\,\text{Distributivgesetz}\\&=&\displaystyle \frac{4b^2+4b^2\pi-b^2\pi}{2(4+3\pi)^2}\cdot a&|\,\text{zusammenfassen}\\&=&\displaystyle \frac{4b^2+3b^2\pi}{2(4+3\pi)^2}\cdot a&|\,\text{ausklammern}\\&=&\displaystyle \frac{b^2(4+3\pi)}{2(4+3\pi)^2}\cdot a&|\,\text{kürzen}\\V_{max}&=\displaystyle \frac{ab^2}{2(4+3\pi)}\end {array}$

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe a):

Wird die Blechtafel mit den Seitenlängen $a\,LE$ und $b\,LE$ längs der Seite $b$ so gebogen, dass die Kantenlängen $x_{max}$, $y_{max}$, die Halbkreislinie $k_{max}$ und nochmals die Kante $y_{max}$ aufeinanderfolgen, so hat der entstehende Körper sein maximales Volumen mit

$V_{max}=\displaystyle \frac{ab^2}{2(4+3\pi)}$.

Dies kannst du auch rechnerisch folgendermaßen bestätigen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}M&=&\underbrace{x\cdot a}_{\text{x-Kante}}+2\cdot [\underbrace{\frac12 b-\frac12 x(1+\frac{\pi}{2})}_{\text{y-Kante}}]\cdot a+\underbrace{x\cdot \frac{\pi}{2}\cdot a}_{\text{Kreislinie}}\\&=&x\cdot a+b\cdot a-x(1+\frac{\pi}{2})\cdot a+x\cdot \frac{\pi}{2}\cdot a\\&=&x\cdot a+b\cdot a-x\cdot a-x\cdot\frac{\pi}{2}\cdot a +x\cdot \frac{\pi}{2}\cdot a\\M&=&b\cdot a\end{array}$

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe b):

Alle Körper, die sich auf die beschriebene Weise aus der Blechtafel mit den Seitenlängen $a\,LE$ und $b\,LE$ herstellen lassen, haben die gleiche Mantelfläche $a\cdot b\,LE^2$.

Für die Oberfläche $O$ eines jeden der betrachteten Körper gilt:

$O=\text{Mantelfläche}+2\cdot\text{Grundfläche}$

Bereits in Teilaufgabe a) wurde die Grundfläche bestimmt als Differenzfläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen $x \,LE$ und $y\, LE$ und der Halbkreisfläche zum Radius $\frac{x}{2} \,LE$.

Für die zu maximierende Oberfläche ergibt sich somit die folgende

Zielfunktion:

Ebenso wie für die Volumenoptimierung in Teilaufgabe a) ergibt sich als

Nebenbedingung:

$x+y+k+y=b$ mit $k=\frac12x\pi$.

$k$ eingesetzt und nach $y$ aufgelöst ergibt:

Setze $y$ in $O(x;y)$ ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}O(\color{red}{x})&=&b\cdot a+2\left[x\cdot \left(\frac12 b-\frac12 x(1+\frac{\pi}{2})\right)-x^2\cdot\frac{\pi}{8}\right]\\&=&b\cdot a+2\left[\frac12 bx-\frac12 x^2(1+\frac{\pi}{2})-x^2\cdot \frac{\pi}{8}\right]\\&=&b\cdot a+bx-x^2(1+\frac{\pi}{2})-x^2\cdot \frac{\pi}{4}\\&=&b\cdot a+bx-x^2(1+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})\\O(x)&=&b\cdot a+bx-x^2(1+\frac34 \pi)\end{array}$

Der Graph von $O(x)$ ist wegen des negativen Faktors beim $x^2$-Glied eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr Scheitelpunkt liefert also eine maximale Oberfläche des Körpers.

Mit der 1. Ableitung von $O(x)$ bestimmst du den x-Wert der maximalen Oberfläche:

$O'(x)=b-2x(1+\frac34 \pi)$

Setze $O'(x)$ gleich Null um $x_{max}$ zu bestimmen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}b-2\cdot x_{max}(1+\frac34 \pi)&=&0&|\,HN\\b-2\cdot x_{max}\cdot \displaystyle\frac{4+3\pi}{4}&=&0&|\,\text{kürzen}\\b-x_{max}\cdot \displaystyle \frac{4+3\pi}{2}&=&0&|\, \cdot 2\\x_{max}\cdot (4+3\pi)&=&2b&|\,:(4+3\pi)\\x_{max}&=&\displaystyle\frac{2b}{4+3\pi}\\\text{Setze}\, x_{max}\,\text{ in O(x) ein.}\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcll}O_{max}=b\cdot a + b\cdot \displaystyle \frac{2b}{4+3\pi}-\frac{4b^2}{(4+3\pi)^2}\cdot \frac{4+3\pi}{4}\\\quad\quad=b\cdot a+\displaystyle \frac{2b^2}{4+3\pi}-\frac{b^2}{4+3\pi}\\O_{max}=b\cdot a+\displaystyle \frac{b^2}{4+3\pi}\end{array}$

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe c):

Die größtmögliche Oberfläche für einen Körper, der in der beschriebenen Weise aus einer Blechtafel mit den Seitenlängen $a\,LE$ und $b\,LE$ gebildet werden kann, beträgt

Es ist derselbe Körper, der auch das größtmögliche Volumen aufweist.

Der Körper mit dem größten Volumen und gleichzeitig der größten Oberfläche besitzt bei den Blechtafelmaßen $a=5\,m$ und $b=10\,m$ folgende Kantenmaße:

$x-\text{Kante}=\displaystyle\frac{2b}{4+3\pi}=\frac{20}{4+3\pi}\approx{1{,}49\,m}$

$y-\text{Kante}=\displaystyle b\cdot \frac{1+\pi}{4+\pi}\approx{3{,}09\,m}$

$\text{Halbkreiskante}=\displaystyle \frac{b\cdot \pi}{4+3\pi}\approx{2{,}34\,m}$

Für das maximale Volumen und die maximale Oberfläche ergibt sich:

$V_{max}(5;10)\approx{18{,}622\,m^3}$

$O_{max}(5;10)\approx{57{,}45\,m^2}$

Im beigefügten Applet kannst du den Gleitpunkt $G$ der Blechtafel verschieben und damit das Verhalten des zu errichtenden Körpers überprüfen und die Ergebnisse für die Blechtafelmaße $a=\,5\,LE$ und $b\,=\,10\,LE$ überprüfen.

Anhand des beigefügten Applets kannst du durch Verschieben des rechten unteren Eckpunkts $P$ das Verhalten des Körpers und die Ergebnisse für die Blechtafelmaße $a=5\,LE$ und $b=10\,LE$ überprüfen.