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Komplexere Anwendungsaufgaben mit Extremwertproblemen

Absolut extrem! Mit diesen Anwendungsaufgaben lernst du, Extremwertprobleme zu lösen und vertiefst dein Wissen.

  1. 1

    Ein Versandhaus verschickt seine Artikel weltweit als PĂ€ckchen der Deutschen Post AG (DHL) mit deren GebĂŒhrenordnung fĂŒr quaderförmige PĂ€ckchen international. Aus verpackungstechnischen GrĂŒnden des Versandhauses ist die LĂ€nge einer Seite mit 35 cm35\,\mathrm{cm} festgelegt.

    Die PĂ€ckchen mĂŒssen Mindestmaße einhalten.

    FĂŒr die MaximalgrĂ¶ĂŸe ist beim Tarif PĂ€ckchen international die Summe aus LĂ€nge, Breite und Höhe begrenzt und keine der Seiten darf lĂ€nger als 60 cm60\,\mathrm{cm} sein.

    Das Maximalgewicht fĂŒr PĂ€ckchen ist 2 kg2\,\mathrm{kg}.

    Bild
    1. Bestimme fĂŒr ein Volumen von V=21 dm3V=21\,\mathrm{dm^3} den Zusammenhang von Breite und Höhe.

    2. Wie groß ist das fĂŒr eine vorgegebene SeitenlĂ€nge von 35 cm35\,\mathrm{cm} erreichbare maximale Volumen eines PĂ€ckchens?

    3. Verallgemeinere die Teilaufgabe b) indem du zeigst, dass fĂŒr jede vorgegebene zugelassene PĂ€ckchenseitenlĂ€nge l  (1 cm≀ l ≀60 cm)l \;(1\,\text{cm}\leq \,l\,\leq60\,\text{cm}) das PĂ€ckchen mit dem grĂ¶ĂŸtmöglichen Volumen einen quadratischen Querschnitt besitzt.

    4. Gibt die Funktion fĂŒr das maximale Volumen eines PĂ€ckchens in AbhĂ€ngigkeit von einer vorgegebenen zulĂ€ssigen PĂ€ckchenseitenlĂ€nge l  (1 cm≀ l ≀ 60 cm)l\;(1\,\text{cm}\leq \,l\,\leq\,60\,\text{cm}) an.

  2. 2

    Langfristige Klimaprognosen prophezeien auch fĂŒr unser Wetter zunehmende SturmschĂ€den, von denen auch Bahnstrecken betroffen sein können.

    \quad\quad

    Sturmschaden
    Skizze der Situation in einem Koordinatensystem

    Neben der Bahnlinie b(x)=0,5x+1b(x)=0{,}5x+1 steht im Punkt A(5∣1)A(5|1) eine 20 m20\,m hohe Fichte.

    Ob sie fĂŒr die Bahnstrecke eine Gefahr darstellt?

  3. 3

    Zwischen einer Straße und einem Bach soll als Hochwasserschutz ein Damm errichtet werden.

    Aus technischen GrĂŒnden ist dies aber nur möglich, wenn der Bach der Straße auf höchstens 5 m nahekommt.

    Bild

    Berechne, ob der Schutzdamm bei dem gegebenen GelĂ€ndeplan (1LE = 10 m) gebaut werden kann, wenn der Bach dem Graphen der Funktion f(x)=2xf(x)=2^xund die Straße dem Graphen der Funktion s(x)=xs(x)=x folgen.

    Bild
  4. 4

    Aus einer rechteckigen Blechtafel der LĂ€nge a LEa\,LE% und der Breite b LEb\,LE soll eine Dachrinne (LĂ€nge aa) hergestellt werden, die maximales Wasservolumen aufnehmen kann.

    Blechtafel
    1. Die Blechtafel wird V-förmig gebogen.

      Welcher "Knickwinkel" ist zu wÀhlen? Welches maximale Wasservolumen ergibt sich?

      Bild
    2. Die Blechtafel wird rechteckig gebogen. Wie ist das Blech zu biegen, damit sich ein maximales Wasservolumen ergibt?

      rechteckige Dachrinne
    3. Die Blechtafel wird halbkreisförmig gebogen. Welches Wasservolumen ergibt sich?

      Vergleiche die Ergebnisse der drei Teilaufgaben.

      Dachrinne halbkreisförmig
  5. 5

    Eine rechteckige Blechtafel mit den SeitenlĂ€ngen a LEa\,LE und b LEb\,LE wird zu einem quaderförmigen Gegenstand so geknickt und gebogen, dass dieser an der oberen MantelflĂ€che halbkreisförmig eingedellt ist. Der Körper sei durch seine beiden GrundflĂ€chen abgeschlossen. (Siehe die nachfolgende Skizze.)

    Bild
    1. Bestimme das grĂ¶ĂŸtmögliche Volumen eines solchen Körpers.

    2. Bestimme seine MantelflÀche.

    3. Berechne die grĂ¶ĂŸtmögliche OberflĂ€che des Körpers.

    4. Welche Kantenmaße hat dieser grĂ¶ĂŸtmögliche Körper fĂŒr b=10 mb=10\,m und a=5 ma=5\,m?

  6. 6
    Bild

    Eine WĂŒstenrallye gewinnt

    1. bei einer "traditionellen" Rallye, wer als Erster am Ziel ankommt,

    2. bei einer "alternativen" Rallye, wer den geringsten Bezinverbrauch hat.

    Vor dem Start steht das Team vor folgendem Problem:

    Der Startort liegt mitten in der WĂŒste und ist 50 km50\,\text{km} vom Zielort entfernt.

    Der direkte Weg zum Ziel fĂŒhrt durch den WĂŒstensand. Dort kann das Fahrzeug des Teams eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h60\,\text{km/h}bei einem Durchschnittsverbrauch von 20 Liter/100km20\,\text{Liter/100km} erreichen.

    In 30 km30\,\text{km} Entfernung vom Standort fĂŒhrt allerdings eine schnurgerade Karawanenstraße zum Zielort. Dort könnte das Fahrzeug eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h100\,\text{km/h}% bei einem Durchschnittsverbrauch von nur 4 Liter/100km4\,\text{Liter/100km} fahren.

    1. Welche Route wird das Team bei der traditionellen Rallye wÀhlen?

    2. Welche Route wird das Team bei einer alternativen wĂ€hlen, wenn es jede Route zwischen Startort, Straße und Zielort fahren kann? Nach welcher Zeit bzw. mit welchem Verbrauch wird es jeweils das Ziel erreichen?


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