Komplexere Anwendungsaufgaben mit Extremwertproblemen
Absolut extrem! Mit diesen Anwendungsaufgaben lernst du, Extremwertprobleme zu lösen und vertiefst dein Wissen.
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Ein Versandhaus verschickt seine Artikel weltweit als Päckchen der Deutschen Post AG (DHL) mit deren Gebührenordnung für quaderförmige Päckchen international. Aus verpackungstechnischen Gründen des Versandhauses ist die Länge einer Seite mit 35cm festgelegt.
Die Päckchen müssen Mindestmaße einhalten.
Für die Maximalgröße ist beim Tarif Päckchen international die Summe aus Länge, Breite und Höhe begrenzt und keine der Seiten darf länger als 60cm sein.
Das Maximalgewicht für Päckchen ist 2kg.
Bestimme für ein Volumen von V=21dm3 den Zusammenhang von Breite und Höhe.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ungleichungen lösen
Die Aufgabe verlangt die Lösung einer quadratischen Ungleichung.
Für das Volumen V eines quaderförmigen Päckchens mit den Seiten l,b,h gilt:
Da gilt V=21dm3=21000cm3 und l=35cm ergibt sich:
35⋅b⋅h=21000.
Somit gilt:
b⋅h=600
Also:
h=b600.
Betrachtet man die Größe b als unabhängige und h als abhängige Variable, so ist der Zusammenhang der beiden Päckchenseiten b und h der einer gebrochenrationale Funktion.
Der Definitionsbereich dieser Funktion - d.h. welche Werte für b in Frage kommen - bestimmt sich nun durch die Größenbegrenzungen in den Tarifbestimmungen der Post.
Mit der vorgegebenen Seitenlänge l=35cm ergibt sich für die zulässige Summe der drei Päckchenmaße die Ungleichung:
35 + b + h ≤ 90 −35 b+h ≤ 55 −b h ≤ 55−b Setzt man h in die Volumengleichung 21000=35⋅b⋅h ein, so ergibt sich die Ungleichung
21000≤35b(55−b)
So löst man die sich ergebende quadratische Ungleichung:
2100 ≤ 35b(55−b) :35 600 ≤ b(55−b) ↓ ausmultiplizieren
600 ≤ 55b − b2 −55b + b2 b2−55b + 600 ≤ 0 b2 − 55b + 600 = 0 Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel:
b1,2 = 255±552−2400 b1 = 15 b2 = 40 Damit ist die gesuchte Lösungsmenge der Ungleichung b2−55b+600≤0 das Intervall [15;40] zwischen den beiden Nullstellen, da der quadratische Term eine nach oben geöffnete Parabel ergibt.
Der gesuchte Zusammenhang zwischen Breite und Höhe der Postpäckchen mit dem Volumen 21dm3 ist mit folgender Funktion beschrieben:
Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Gleitpunktes P an dessen Koordinaten die Breiten- und Höhenwerte aller in Frage kommenden Päckchen mit dem Volumen 21dm3 ablesen.
Keine Seite der Päckchen überschreitet dabei die zusätzliche Begrenzung von 60cm.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Wie groß ist das für eine vorgegebene Seitenlänge von 35cm erreichbare maximale Volumen eines Päckchens?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Bei dieser Teilaufgabe handelt es sich um eine Extremwertbestimmung mit der Zielfunktion des Volumens eines Quaders.
Zielfunktion
V(l;b;h)=l⋅b⋅h
wenn l, b und h die Maße für Länge, Breite und Höhe der Päckchen sind.
Nebenbedingungen sind:
l=35cm
Der maximale Wert der Summe aus Länge, Breite und Höhe beträgt 90cm.
Also: l+b+h=90cm.
Somit :
b+hh=55cm=55cm−b
Damit ergibt sich durch Einsetzen von l und h in V(l,b,h):
bzw.
Interpretation der Zielfunktion:
V ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von V′ ergibt somit ein absolutes Maximum von V.
Gemäß den Tarifbestimmungen git für den Definitionsbereich von V:DV=[1;60]
V′(b)=−70b+1925Setze V’(b)=0:
−70b + 1925 = 0 −1925 −70b = −1925 : −70 b = 27,5 ⇒Vmax=−35⋅27,52+1925⋅27,5=26468,75
Ergebnis:
Bei einer vorgegebenen Seitenlänge von 35cm kann bei DHL im Tarif Päckchen international ein quaderförmiges Päckchen bis zu einem Volumen von rund 26,4dm3 versandt werden.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Verallgemeinere die Teilaufgabe b) indem du zeigst, dass für jede vorgegebene zugelassene Päckchenseitenlänge l(1cm≤l≤60cm) das Päckchen mit dem größtmöglichen Volumen einen quadratischen Querschnitt besitzt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
l mit 1cm≤l≤60cm sei die vorgegebene Seitenlänge.
Zielfunktion
V(b;h)=l⋅b⋅h
Nebenbedingung
l+b+hb+hh===9090−l90−l−b∣−l∣−b
h in V(b;h) einsetzen:
V(b)=l⋅b⋅(90−l−b)
bzw.
V(b)=−l⋅b2+l(90−l)b
Interpretation der Zielfunktion:
V mit DV=[1;60] ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph ist demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von V′ ergibt somit ein maximales Volumen.
V′(b)=−2l⋅b+l(90−l)Setze V’(b) gleich Null.
−2l⋅b+l(90−l) = 0 −l(90−l) −2l⋅b = −l(90−l) :(−2l) bmax = 290−l bmax in die 2. Nebenbedingung eingesetzt ergibt:
hmax=90−l−290−l
hmax=290−l⇒bmax=hmax
Ergebnis
Bei einer beliebig vorgegebenen zulässigen Päckchenseite sind beim zugehörigen volumenmäßig größten Päckchen die beiden anderen Seiten gleich lang. Das heißt, dieses Päckchen hat einen quadratischen Querschnitt.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gibt die Funktion für das maximale Volumen eines Päckchens in Abhängigkeit von einer vorgegebenen zulässigen Päckchenseitenlänge l(1cm≤l≤60cm) an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Aus der Teilaufgabe c) ergibt sich für volumenmäßig größte Päckchen in Abhängigkeit der gegebene Seitenlänge l:
V(l)=−l⋅b2+l(90−l)bmitb=290−l
b eingesetzt ergibt die gesuchte Funktion:
V(l)=−l⋅(290−l)2+l(90−l)⋅290−l
V(l)=−4l(90−l)2+2l(90−l)2
V(l)=41⋅l(90−l)2DV=[1;60]
Interpretation des Ergebnisses
Die volumengrößten Päckchen, die sich bei Vorgabe einer Päckchenseite ergeben, folgen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades.
Deren Maximum ergibt sich für l=30 mit V=27000cm3.
Für dieses Päckchen erhält man b=h=30cm. Somit einen Würfel.
Die nachfolgende Zeichnung fasst die Ergebnisse zusammen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Langfristige Klimaprognosen prophezeien auch für unser Wetter zunehmende Sturmschäden, von denen auch Bahnstrecken betroffen sein können.
Neben der Bahnlinie b(x)=0,5x+1 steht im Punkt A(5∣1) eine 20m hohe Fichte.
Ob sie für die Bahnstrecke eine Gefahr darstellt?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Tipp: Der Baum stellt dann eine Gefahr für Züge dar, wenn sein Abstand zur Bahn kleiner ist als seine Höhe.
Bei einem Sturm könnte er entwurzelt werden und auf die Bahnstrecke fallen.
Die drei möglichen unterschiedlichen Lösungswege für die gestellte Aufgabe:
Berechnung der Lösung als Extremwertaufgabe:Welcher Punkt der Funktion b(x) kommt dem Punkt A am nächsten?
Konstruktion und/oder Berechnung des Fußpunktes des Lotes von A auf die Gerade b(x) und Bestimmung seines Abstands zu A.
Betrachtung der Sicherheitszone des gegebenen Baumes und ihre Lage zur Bahnstrecke.
Bei dieser Aufgabe sollst du den Abstand eines Punktes von einer Geraden als Extremwertaufgabe berechnen und das Ergebnis in seiner praktischen Bedeutung eines notwendigen Sicherheitsabstandes deuten.
Hinweis:
Die benötigten Funktionen werden nur mit den Maßzahlen der Größen (ohne ihre Maßeinheit) erstellt.
Zielfunktion
Zu minimieren ist der Abstand der beiden Punkte P und A.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
PA
=d(x,y)=(5−x)2+(y−1)2
Der verschiebbare Punkt P gehört zur Funktion y=0,5x+1. Dies ist die Nebenbedingung für die Zielfunktion d(x,y).
Die Nebenbedingung in die Zielfunktion d(x,y) eingesetzt ergibt:
d(x)=(5−x)2+(0,5x+1−1)2
Beachte, dass die Zielfunktion jetzt nur noch von der einen Variablen x abhängt.
Fasse zusammen.
d(x)=1,25x2−10x+25
Beachte: Für denselben - noch zu berechnenden x-Wert - für den d(x) ein Minimum wird, wird auch der Term d2(x) minimal.
Quadriere deshalb die Gleichung.
d2(x)=1,25x2−10x+25
Bilde die 1. Ableitung von d2(x).
(d2)′(x)=2,5x−10
Setze (d2)′(x) gleich Null und löse die Gleichung nach x auf.
2,5x−102,5xx=0=10=4
x=4 liefert ein kleinstes d, wenn die 2. Ableitung (d2)′′(4) positiv ist.
(d2)′′(x)=2,5>0
Setze x=4 in die Nebenbedingung ein.
y=0,5⋅4+1=3
⇒P(4∣3) ist der gesuchte Punkt auf der Bahnstrecke mit minimalem Abstand zu Punkt A.
Setze die Koordinaten von P in d ein (nicht in d2).
d=(5−4)2+(3−1)2=5≈2,24LE≈22,4m
Da der Baum nur 20m hoch ist, kann er - vorausgesetzt, ein Sturm trägt einzelne Äste nicht noch weiter - auch dann, wenn er entwurzelt umfällt, die Bahnstrecke nicht gefährden.
Im Applet kannst du den Punkt P verschieben und den jeweiligen Abstand zu A ablesen.
Alternative Lösung
Der als Extremwert berechnete Punkt P(4∣3) mit minimalem Abstand von A zur Geraden b kann auch als Lotfußpunkt des Lotes von A auf die Gerade b konstruiert oder berechnet werden.
Die Konstruktion des Lotfußpunktes:
Der Kreis um A mit r=3LE schneidet die Gerade b in E und F.
Die Kreise um E und F mit r=3LE schneiden sich in G und A.
Die Geraden b und GA schneiden sich im Lotfußpunkt P.
Die Konstruktion kann im obigen Applet schrittweise nachvollzogen werden. Benutze dazu die Konstruktionsleiste im unteren Teil des Applets.
Die Berechnung des Lotfußpunktes:
Schneide die Gerade b:y=0,5x+1 mit der dazu senkrechten Geraden s durch den Punkt A(5∣1).
b:y=0,5x+1
Lies die Steigung mb für die Gerade b aus der Funktionsgleichung ab.
mb=0,5
Für die zu mb senkrechte Steigung ms gilt:mb⋅ms=−1.
Berechne ms.
0,5⋅msmsms=−1=−1:0,5=−2
Stelle die Gleichung für die Lotgerade s durch A auf.
Benutze die Formel
s:x−xAy−yA=ms.
s:x−5y−1=−2
Multipliziere mit dem Nenner und löse nach y auf.
s:y=−2x+11
Schneide s mit b indem du die Funktionsterme gleichsetzt.
−2x+11−2,5xx=0,5x+1=−10∣:−2,5x=4
Setze x=4 in b(x) ein.
b(4)=0,5⋅4+1=3
⇒ P(4∣3) ist der gesuchte Lotfußpunkt.
Ergänzende Betrachtung der Aufgabenstellung
Die Kreisfläche um A mit Radius 20m (= Baumhöhe) beschreibt die Sicherheitszone falls der Baum bei Sturm umstürzen würde.
Da in der Aufgabenstellung lediglich gefragt wird, ob der Baum für die Bahnstrecke "gefährlich" sein könnte, genügt es, rechnerisch oder graphisch nachzuweisen, ob der Sicherheitskreis die Gerade b(x)=0,5x+1 schneidet oder nicht.
Die graphische Lösung:
Die Kreisfläche um A mit Radius 20m erreicht die Bahnstrecke nicht.
Der rechnerische Nachweis, dass der Kreis k(A;2LE) die Gerade b(x)=0,5x+1 nicht schneidet:
Benutze zum Schnitt die Kreisgleichung
(x−xA)2+(y−yA)2=r2
für einen Kreis um den Punkt A mit Radius rund die Geradengleichung y=b(x).
Die Kreisgleichung:
(x−5)2+(y−1)2=4
Die Geradengleichung:
y=0,5x+1
Setze y=0,5x+1 in die Kreisgleichung ein.Fasse die entstehende quadratische Gleichung zusammen.
(x−5)2+(0,5x+1−1)2x2−10x+25+0,25x21,25x2−10x+21=4=4=0
Gib die Diskriminante D an.
D=100−4⋅1,25⋅21=−5
Da die Diskriminante negativ ist, schneiden sich der "Sicherheitskreis" um A und die Bahnstrecke nicht.
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Zwischen einer Straße und einem Bach soll als Hochwasserschutz ein Damm errichtet werden.
Aus technischen Gründen ist dies aber nur möglich, wenn der Bach der Straße auf höchstens 5 m nahekommt.
Berechne, ob der Schutzdamm bei dem gegebenen Geländeplan (1LE = 10 m) gebaut werden kann, wenn der Bach dem Graphen der Funktion f(x)=2xund die Straße dem Graphen der Funktion s(x)=x folgen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Berechne den Abstand d(x) eines beliebigen Punktes P(x∣2x) des Bachs von der Straße.
Benutze dazu im gleichschenkligen Dreieck den Satz des Pythagoras.
d2(x)+d2(x)=(2x−x)2
d2(x)=21⋅(2x−x)2
d(x)=21⋅(2x−x)
Um das Minimum von d(x) zu berechnen, brauchst du mit Hilfe der Ableitung der Exponentialfunktion 2x die Ableitung d′(x).
d′(x)=21(ln(2)⋅2x−1)
Setze d′(x)=0 um das Minimum von d(x) zu berechnen.
21⋅(ln(2)⋅2x−1)=0
der 2. Faktor muss 0 werden
ln(2)⋅2x−1=0
nach 2x auflösen
2x=ln(2)1
nach x mit Hilfe einer Logarithmusfunktion auflösen
x=ln(2)1⋅ln(ln(2)1)
x≈0,53
Noch fehlt der Nachweis, dass x≈0,53 tasächlich ein Abstandsminimum liefert.
Da 2x streng monton steigend ist, gilt:d′(0,53−h)<0 und d′(0,53+h)>0.Damit liefert x≈0,53 das Abstandsminimum.
Berechne d(0,53).
d(0,53)=21(20,53−0,53)
d(0,53)≈0,65
Der Bach kommt der Straße auf rund 6,50 m nahe. Der Schutzdamm kann deshalb gebaut werden.
Bestätige das Rechenergebnis am nebenstehenden Applet.
Verschiebe dazu den Punkt P auf dem Fluss und lies den jeweiligen Abstand d zur Straße ab. Beachte dabei: 1 LE = 10 m.
alternative Lösung
Berechne denjenigen Punkt der Exponentialfunktion f, in dem die Steigung 1 ist. Der Abstand dieses Punktes von der Geraden s ist das gesuchte Abstandsminimum.
Bilde die Ableitung der Exponentialfunktion.
f(x)=2x⇒f′(x)=ln(2)⋅2x
Setze f′(x) gleich 1.
ln(2)⋅2x=1
Teile durch ln(2)
2x=ln(2)1
Löse die Gleichung durch Logarithmieren.
x=ln(2)1⋅ln(ln(2)1)
Einsatz des Taschenrechners.
x≈0,53
Setze x=0,53 und berechne den Näherungswert der y-Koordinate.
P(0,53∣1,44)
Den Abstand des Punktes P(0,53∣1,44) von der Geraden s:y−x=0 berechnet man am bequemsten mit der Hessesche Normalenform der Geraden.
HNF von s:
Du erhältst den gesuchten Abstand d(P;s), wenn du die Koordinaten von P in die linke Seite der HNF einsetzt.
dmin=d(P;s)≈0,64
Der geringfügige Unterschied zum ersten Ergebnis resultiert aus dem Rundungswert der y-Koordinate von P.
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Aus einer rechteckigen Blechtafel der Länge aLE und der Breite bLE soll eine Dachrinne (Länge a) hergestellt werden, die maximales Wasservolumen aufnehmen kann.
Die Blechtafel wird V-förmig gebogen.
Welcher "Knickwinkel" ist zu wählen? Welches maximale Wasservolumen ergibt sich?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Da die rechteckige Blechtafel V-förmig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Höhe a.
Für das Volumen der geknickten Dachrinne gilt somit:
VDachrinne=Dreiecksfla¨che△ABC⋅a
Und da der Buchstabe V achsensymmmetrisch ist, ist die Grundfläche des Prismas ein gleichschenkliges Dreieck mit der vorgegebenen Schenkellänge 2b, dessen Flächeninhalt A vom Knickwinkel γ abhängt.
γ ist ein Winkel zwischen 0° und 180°.
Die Abhängigkeit der Dreiecksfläche A△ABC von γ kannst du an dem gegebenen Applet für b=4LE nachvollziehen.
Wegen des fest vorgegebenen Wertes a für die Höhe des Prismas ist sein Volumen dann am größten, wenn die Dreiecksfläche A△ABC maximal ist.
Als Zielfunktion für die Extremwertaufgabe, das größtmögliche Dachrinnenvolumen zu ermitteln, verwendest du im weiteren deshalb die von γ abhängige Dreiecksfläche.
Das Applet macht deutlich, dass sowohl die Grundlinie wie auch die Höhe des Dreiecks vom Knickwinkel γ abhängen und mit diesem variieren.
Für die Dreiecksfläche der Grundfläche des Prismas gilt:
A△ABC=21⋅Grundlinie⋅Ho¨he
Also ergibt sich die
Zielfunktion
A(c;h)=c⋅h
mit c∈[0;b/2] und h∈[0;b/2]
Das gleichschenklige Dreieck ABC enthält das rechtwinklige Teildreieck BMC mit der gegebenen Hypotenusenlänge b/2 und dem variierenden Winkel γ/2.
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus kannst du nun die Dreiecksfläche als Funktion des Knickwinkels γ darstellen.
1. Nebenbedingung
sin2γ=2bc
2. Nebenbedingung
cos2γ=2bh
Löse die 1. Nebenbedingung nach c und die 2. Nebenbedingung nach h auf.
c=2b⋅sin2γ
h=2b⋅cos2γ
Setze c und h in A(c;h) ein, um die Dreiecksfläche als Funktion von γ zu erhalten.
Erinnerung: b ist ein konstanter Wert.
Zielfunktion
A(γ)=(2b⋅sin2γ)⋅(2b⋅cos2γ)
Fasse zusammen.
A(γ)=4b2⋅sin2γ⋅cos2γ
Bilde unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung A′(γ).
A′(γ)=4b2⋅(ProduktregelKettenregel21cos2γ−Kettenregel21sin2γ)∣21ausklammern
A′(γ)=8b2⋅(cos2γ−sin2γ)
Setze A′(2γ) gleich Null um zu berechnen, für welchen Knickwinkel γ die Grundfläche des Dachrinnenprimas maximal sein kann.
8b2⋅(cos2γ−sin2γ)cos2γ−sin2γcos2γ12γγ======00sin2γtan2γ45°90°∣:8b2∣+sin2γ∣:cos2γ∣tan−1∣⋅2
Um nachzuweisen, dass A(γ) für γ=90° tatsächlich maximal ist, hast du zwei Möglichkeiten.
Möglichkeit 1
Bilde die 2. Ableitung von A(γ).
A′(γ)=8b2⋅(cos2γ−sin2γ)⇒
A′′(γ)=8b2⋅(Kettenregel−21sin2γ−Kettenregel21cos2γ)
−21 ausklammern
A′′(γ)=−16b2⋅(sin2γ+cos2γ)
Setze γ= 90° ein:
A′′(90°)=−16b2⋅(212+212)<0⇒
γ=90° liefert maximalen Flächeninhalt des Grunddreiecks.
Möglichkeit 2 ohne Benutzung der 2. Ableitung:
Die Funktion A(γ) hat für die Randpunkte des Definitionsbereichs (γ=0° und γ=180°) ihr Minimum 0. Dann liefert das (einzige) lokale Extremum dazwischen ein Maximum.
A(0°)=0 und A(180°)=0⇒A(90°)liefert ein Maximum.
Für das Volumen der v-förmig geknickten Dachrinne galt:
VDachrinne=Dreiecksfla¨che⋅a.
Somit ergibt sich für das größtmöglichde Volumen dieser Dachrinne:
Vmax=4b2⋅sin(45°)⋅cos(45°)⋅a.
Also:
Vmax=81ab2
Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Blechtafel wird rechteckig gebogen. Wie ist das Blech zu biegen, damit sich ein maximales Wasservolumen ergibt?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Da die Blechtafel rechtwinklig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein Quader mit der Höhe a und einem Rechteck mit den Seitenlängen x und y als Grundfläche.
Für das Volumen des Quaders gilt somit:
VQuader=Grundfla¨che⋅a
Da das Volumen des Quaders maximal werden soll, erhältst du folgende
Zielfunktion
mit x∈]0;2b[ und y∈]0;b[ und der Konstanten a.
Da die Blechtafel achsensymmetrisch zur Seite b geknickt wird ergibt sich als
Nebenbedingung
2x+yy=b=b−2x
Setze y in V(x;y) ein.
V(x)=x⋅(b−2x)⋅a
V(x)=(−2x2+bx)⋅a
Bilde V′(x).
V′(x)=(−4x+b)⋅a
Setze V′(x) gleich Null und löse nach X auf.
(−4x+b)⋅a−4x+bx===004b∣:a
Argumentiere, dass sich für x=b/4 ein Maximum ergibt.
Es gilt:
A′′(γ)=−4a<0.
A′′(x) ist also eine negative Konstante.
Das Extremum ist also ein Maximum.
Ohne Benutzung der 2. Ableitung kannst du auch so argumentieren:
Der Graph der Funktion A(γ) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das lokale Extremum deshalb ein Maximum.
x=4b in V(x)=(−2x2+bx)⋅a eingesetzt, ergibt das größtmögliche Volumen Vmax dieser Dachrinne:
Vmax=(−2⋅16b2+b⋅4b)⋅a
Also:
Vmax=8ab2
Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Blechtafel wird halbkreisförmig gebogen. Welches Wasservolumen ergibt sich?
Vergleiche die Ergebnisse der drei Teilaufgaben.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylindervolumen
Diese Teilaufgabe ist keine Extremwertaufgabe. Das halbkreisförmig gebogene Blechrechteck ergibt eine Zylinderhälfte der Höhe a. Dessen Volumen ist mit den Ergebnissen der Teilaufgaben a) und b) zu vergleichen.
Der Umfang des (ganzen) Grundkreises ist 2b.
Dann gilt für den Radius r:
2rπ=2b⇒r=πb
Die Dachrinne, d.h. der halbe Zylinder, hat dann folgendes Volumen:
VRinne=21⋅(πb)2⋅π⋅a.
Damit ergibt sich:
VRinne=2π1⋅a⋅b2≈0,16ab2
Der Vergleich der drei Teilaufgaben ergibt:
Die beiden maximalen Dachrinnenvolumina der Teilaufgaben a) und b) sind mit 0,125ab2 gleich und kleiner als das halbkreisförmig gebogene Volumen der Teilaufgabe c) mit 0,16ab2. Dieses ist somit um rund 28% größer als das Maximum jeder geknickten Rinne.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Eine rechteckige Blechtafel mit den Seitenlängen aLE und bLE wird zu einem quaderförmigen Gegenstand so geknickt und gebogen, dass dieser an der oberen Mantelfläche halbkreisförmig eingedellt ist. Der Körper sei durch seine beiden Grundflächen abgeschlossen. (Siehe die nachfolgende Skizze.)
Bestimme das größtmögliche Volumen eines solchen Körpers.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben
Für das Volumen des durch Verformen der Blechtafel zu bildenden Körpers gilt nach dem Satz des Cavalieri:
Die Grundfläche und damit auch das Volumen des eingedellten quaderförmigen Körpers hängt von den variablen Größen x,y,k der Blechtafelseite b und dem fest vorgegeben Wert a der zweiten Tafelseite ab.
Die Zielfunktion, deren Maximum zu berechnen ist, ergibt sich aus der Differenz der Rechtecksfläche mit den Seitenlängen xLE und yLE und der Fläche des Halbkreises zum Radius x/2LE, multipliziert mit dem Faktor aLE.
Zielfunktion:
V(x;y)=[x⋅y−Halbkreisfla¨che21⋅(2x)2π]⋅a
Die zu knickende und umzubiegende Seitenlänge b ergibt für die Zielfunktion V(x;y) eine Nebenbedingung.
Nebenbedingung:
x+y+k+y=b
Berechne k als Kreisbogenlänge des Halbkreises zum Radius x/2.
kk==21⋅2⋅(2x)⋅π21xπ
Setze k in die Nebenbedingung ein und löse diese nach y (oder auch nach x) auf.
x+2y+21xπ2yy===bb−x−21xπ21b−x(21+41π)∣−x−21xπ∣:2∣Setze y in V(x;y) ein
V(x)V(x)=====[x⋅(21b−x(21+41π))−x2⋅8π]⋅a[21bx−x2(21+41π)−x2⋅8π]⋅a[21bx−x2(21+41π+8π)]⋅a[21bx−x2(21+83π)]⋅a(21bx−84+3πx2)⋅a
Berechne V′(x) und V′′(x).
Setze V′(x) gleich Null und löse nach x auf.
Da V′′(x) für jedes x negativ ist, ergibt sich für das Volumen ein Maximum.
21b−44+3π⋅xmax44+3π⋅xmaxxmaxxmax====021b2(4+3π)4b4+3π2b∣:44+3π
Für die maximale Halbkreislinie k ergibt dies:
kmax=21⋅4+3π2b⋅π
kmax=4+3πbπ
Setze xmax in y=21b−x(21+41π) ein, um die maximale y-Kantenlinie des Körpers zu erhalten:
ymaxymax=======2b−(4+3π)2b⋅(21+41π)2b−(4+3π)2b⋅42+π2b−2b⋅4+3π2+π2b(1−4+3π2+π)2b⋅4+3π4+3π−2−π2b⋅4+3π2+2πb⋅4+3π1+π∣HN∣ku¨rzen∣ausklammern∣HN∣zusammenfassen∣ku¨rzen
Setze xmax und ymax in
V(x;y)=(x⋅y−x2⋅8π)⋅a
ein, um das größtmögliche Volumen des Körpers zu erhalten.
VmaxVmax========2(4+3π)ab2(4+3π2b⋅b⋅4+3π1+π−(4+3π)24b2⋅8π)⋅a((4+3π)22b2(1+π)−8(4+3π)24b2π)⋅a((4+3π)22b2(1+π)−2(4+3π)2b2π)⋅a2(4+3π)24b2(1+π)−b2π⋅a2(4+3π)24b2+4b2π−b2π⋅a2(4+3π)24b2+3b2π⋅a2(4+3π)2b2(4+3π)⋅a∣ku¨rzen∣HNDistributivgesetz∣zusammenfassen∣ausklammern∣ku¨rzen
Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe a):
Wird die Blechtafel mit den Seitenlängen aLE und bLE längs der Seite b so gebogen, dass die Kantenlängen xmax, ymax, die Halbkreislinie kmax und nochmals die Kante ymax aufeinanderfolgen, so hat der entstehende Körper sein maximales Volumen mit
Vmax=2(4+3π)ab2.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Eine ebene Fläche soll so gebogen werden, dass ein Körper vorgegebener Form entsteht, der ein größtmögliches Volumen besitzt.
Dazu soll dessen Mantelfläche und seine größtmögliche Oberfläche betrachtet werden.
Bestimme seine Mantelfläche.
Die Mantelfläche eines jeden der quaderförmigen eingedellten Körper ist - unabhängig von seinem Volumen - die Fläche der Blechtafel.
Also:
M=a⋅b.
Dies kannst du auch rechnerisch folgendermaßen bestätigen:
MM====x-Kantex⋅a+2⋅[y-Kante21b−21x(1+2π)]⋅a+Kreisliniex⋅2π⋅ax⋅a+b⋅a−x(1+2π)⋅a+x⋅2π⋅ax⋅a+b⋅a−x⋅a−x⋅2π⋅a+x⋅2π⋅ab⋅a
Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe b):
Alle Körper, die sich auf die beschriebene Weise aus der Blechtafel mit den Seitenlängen aLE und bLE herstellen lassen, haben die gleiche Mantelfläche a⋅bLE2.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Berechne die größtmögliche Oberfläche des Körpers.
Für die Oberfläche O eines jeden der betrachteten Körper gilt:
O=Mantelfla¨che+2⋅Grundfla¨che
Bereits in Teilaufgabe a) wurde die Grundfläche bestimmt als Differenzfläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen xLE und yLE und der Halbkreisfläche zum Radius 2xLE.
Für die zu maximierende Oberfläche ergibt sich somit die folgende
Zielfunktion:
Ebenso wie für die Volumenoptimierung in Teilaufgabe a) ergibt sich als
Nebenbedingung:
x+y+k+y=b mit k=21xπ.
k eingesetzt und nach y aufgelöst ergibt:
Setze y in O(x;y) ein:
O(x)O(x)=====b⋅a+2[x⋅(21b−21x(1+2π))−x2⋅8π]b⋅a+2[21bx−21x2(1+2π)−x2⋅8π]b⋅a+bx−x2(1+2π)−x2⋅4πb⋅a+bx−x2(1+2π+4π)b⋅a+bx−x2(1+43π)
Der Graph von O(x) ist wegen des negativen Faktors beim x2-Glied eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr Scheitelpunkt liefert also eine maximale Oberfläche des Körpers.
Mit der 1. Ableitung von O(x) bestimmst du den x-Wert der maximalen Oberfläche:
O′(x)=b−2x(1+43π)
Setze O′(x) gleich Null um xmax zu bestimmen.
b−2⋅xmax(1+43π)b−2⋅xmax⋅44+3πb−xmax⋅24+3πxmax⋅(4+3π)xmaxSetzexmax in O(x) ein.=====0002b4+3π2b∣HN∣ku¨rzen∣⋅2∣:(4+3π)
Omax=b⋅a+b⋅4+3π2b−(4+3π)24b