Komplexere Anwendungsaufgaben mit Extremwertproblemen



Aufgaben

Ein Versandhaus verschickt seine Artikel weltweit als Päckchen der Deutschen Post AG (DHL) mit deren Gebührenordnung für quaderförmige Päckchen international. Aus verpackungstechnischen Gründen des Versandhauses ist die Länge einer Seite mit %%35\,\mathrm{cm}%% festgelegt.

Die Päckchen müssen Mindestmaße einhalten.

Für die Maximalgröße ist beim Tarif Päckchen international die Summe aus Länge, Breite und Höhe begrenzt und keine der Seiten darf länger als %%60\,\mathrm{cm}%% sein.

Das Maximalgewicht für Päckchen ist %%2\,\mathrm{kg}%%.

Mindestgröße

Maximalgröße

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Bestimme für ein Volumen von %%V=21\,\mathrm{dm^3}%% den Zusammenhang von Breite und Höhe.

Die Aufgabe verlangt die Lösung einer quadratischen Ungleichung.

Für das Volumen %%V%% eines quaderförmigen Päckchens mit den Seiten %%l,b,h%% gilt:$$V(l,b,h)=l\cdot b \cdot h$$

Da gilt %%V=21\,dm^3=21000\,cm^3%% und %%l=35\,cm%% ergibt sich:

%%35\cdot b\cdot h=21000%%.

Somit gilt:

%%b\cdot h=600%%

Also:

%%\displaystyle h=\frac{600}{b}%%.

Betrachtet man die Größe %%b%% als unabhängige und %%h%% als abhängige Variable, so ist der Zusammenhang der beiden Päckchenseiten %%b%% und %%h%% der einer gebrochenrationale Funktion.

Der Definitionsbereich dieser Funktion - d.h. welche Werte für %%b%% in Frage kommen - bestimmt sich nun durch die Größenbegrenzungen in den Tarifbestimmungen der Post.

Mit der vorgegebenen Seitenlänge %%l=35\,\mathrm{cm}%% ergibt sich für die zulässige Summe der drei Päckchenmaße die Ungleichung:

%%\begin{array}{rcll} 35+b+h&\leq&90\;&|-35\\ b+h&\leq&55&\;|-b\\ h&\leq&55-b\end{array}\\ %%

Setzt man %%h%% in die Volumengleichung %%21000=35\cdot b\cdot h%% ein, so ergibt sich die Ungleichung

%%21000\color{red}{\leq}35b(55-b)%%

So löst man die sich ergebende quadratische Ungleichung:

%%\begin{array}{rcll} 2100&\leq&35b(55-b)&\;|\,:35\\ 600&\leq&b(55-b)&\;|\;\text{ausmultiplizieren}\\ 600&\leq&55b-b^2&\;|-55b+b^2\\ b^2-55b+600&\leq&0&\;|\,\text{löse die}\color{red}{\text{ Gleichung}}\\ b^2-55b+600&\color{red}{=}&0&\,|\,\text{Mitternachtsformel}\end{array}%%

%%\begin{array}{rcl} b_{1,2}&=&\displaystyle \frac{55\pm \sqrt{55^2-2400}}{2}\\ b_1&=&15\\ b_2&=&40\end{array}%%

Damit ist die gesuchte Lösungsmenge der %%\color{red}{\text{Ungleichung}}\;%% %%b^2-55b+600\color{red}{\leq}0%% das Intervall %%[15;40]%% zwischen den beiden Nullstellen, da der quadratische Term eine nach oben geöffnete Parabel ergibt.

Der gesuchte Zusammenhang zwischen Breite und Höhe der Postpäckchen mit dem Volumen %%21\,dm^3%% ist mit folgender Funktion beschrieben:$$h=\frac{600}{b};\quad b\in\,[15;40]$$

Paketaufgabe a

Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Gleitpunktes %%P%% an dessen Koordinaten die Breiten- und Höhenwerte aller in Frage kommenden Päckchen mit dem Volumen %%21\,dm^3%% ablesen.

Keine Seite der Päckchen überschreitet dabei die zusätzliche Begrenzung von %%60\,cm%%.

Postpäckchen international
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Wie groß ist das für eine vorgegebene Seitenlänge von %%35\,\mathrm{cm}%% erreichbare maximale Volumen eines Päckchens?

Bei dieser Teilaufgabe handelt es sich um eine Extremwertbestimmung mit der Zielfunktion des Volumens eines Quaders.

Zielfunktion

%%V(l;b;h)=l\cdot b\cdot h%%

wenn %%l%%, %%b%% und %%h%% die Maße für Länge, Breite und Höhe der Päckchen sind.

Nebenbedingungen sind:

  1. %%l=35\,cm%%

  2. Der maximale Wert der Summe aus Länge, Breite und Höhe beträgt %%90\,cm%%.

    Also: %%l+b+h=90\,cm%%.

    Somit :

    %%\begin{align}b+h&=55\,cm\\ h&=55\,cm- b\end{align}%%

Damit ergibt sich durch Einsetzen von %%l%% und %%h%% in %%V(l,b,h)%%:$$V(b)=35b(55-b)$$ bzw. $$V(b)=-35b^2+1925b$$

Interpretation der Zielfunktion:

V ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von %%V'%% ergibt somit ein absolutes Maximum von %%V%%.

Gemäß den Tarifbestimmungen git für den Definitionsbereich von %%V%%:%%\quad\quad\mathbb{D}_V=[1;60]%%

%%V'(b)=-70b+1925\quad\text{Setze V'(b)=0}%%

%%\begin{align}-70b+1925&=0\\ b&=27,5\;\Rightarrow\\ V_{max}&=-35\cdot 27,5^2+1925\cdot 27,5\\ V_{max}&=26468,75\end{align}%%

Ergebnis:

Bei einer vorgegebenen Seitenlänge von %%35\,cm%% kann bei DHL im Tarif Päckchen international ein quaderförmiges Päckchen bis zu einem Volumen von rund %%26,4\,dm^3%% versandt werden.

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Verallgemeinere die Teilaufgabe b) indem du zeigst, dass für jede vorgegebene zugelassene Päckchenseitenlänge %%l \;(1\,\text{cm}\leq \,l\,\leq60\,\text{cm})%% das Päckchen mit dem größtmöglichen Volumen einen quadratischen Querschnitt besitzt.

%%l%% mit %%1\,cm\leq l\leq60\,cm%% sei die vorgegebene Seitenlänge.

Zielfunktion

%%V(b;h)=l\cdot b\cdot h%%

Nebenbedingung

%%\begin{array}{rcll} l+b+h&=&90&\;|\,-l\\ b+h&=&90-l&\;|\,-b\\ h&=&90-l-b \end{array}%%

%%h%% in %%V(b;h)%% einsetzen:

%%V(b)=l\cdot b\cdot (90-l-b)%%

bzw.

%%V(b)=-l\cdot b^2+l(90-l)b%%

Interpretation der Zielfunktion:

%%V%% mit %%\mathbb{D}_V=[1;60]%% ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph ist demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von %%V'%% ergibt somit ein maximales Volumen.

%%V'(b)=-2l\cdot b+l(90-l)\quad\quad\text{Setze V'(b) gleich Null}.%%

%%\begin{array}{rcll} -2l\cdot b+l(90-l)&=&0&\;|\,-l(90-l)\\ -2l\cdot b&=&-l(90-l)&\;|\,:(-2l)\\ b_{max}&=&\displaystyle \frac{90-l}{2}\end{array}%%

%%b_{max}%% in die 2. Nebenbedingung eingesetzt ergibt:

%%\quad\quad \quad h_{max}=90-l-\displaystyle \frac{90-l}{2}%%

%%\quad\quad\quad h_{max}=\displaystyle \frac{90-l}{2}\quad\Rightarrow\quad b_{max}=h_{max}%%

Ergebnis

Bei einer beliebig vorgegebenen zulässigen Päckchenseite sind beim zugehörigen volumenmäßig größten Päckchen die beiden anderen Seiten gleich lang. Das heißt, dieses Päckchen hat einen quadratischen Querschnitt.

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Gibt die Funktion für das maximale Volumen eines Päckchens in Abhängigkeit von einer vorgegebenen zulässigen Päckchenseitenlänge %%l\;(1\,\text{cm}\leq \,l\,\leq\,60\,\text{cm})%% an.

Aus der Teilaufgabe c) ergibt sich für volumenmäßig größte Päckchen in Abhängigkeit der gegebene Seitenlänge %%l%%:

%%V(l)=-l\cdot b^2+l(90-l)b\quad\quad%%mit%%\quad b=\displaystyle\frac{90-l}{2}%%

%%b%% eingesetzt ergibt die gesuchte Funktion:

%%V(l)=-l\cdot \displaystyle \left(\frac{90-l}{2}\right)^2+l(90-l)\cdot \frac{90-l}{2}%%

%%V(l)=-\displaystyle \frac{l(90-l)^2}{4}+\frac {l(90-l)^2}{2}%%

%%V(l)=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot l(90-l)^2\quad\quad\mathbb{D}_V=[1;60]%%

Interpretation des Ergebnisses

Die volumengrößten Päckchen, die sich bei Vorgabe einer Päckchenseite ergeben, folgen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades.

Deren Maximum ergibt sich für %%l=30%% mit %%V=27000\,cm^3%%.

Für dieses Päckchen erhält man %%b=h=30\,cm%%. Somit einen Würfel.

Die nachfolgende Zeichnung fasst die Ergebnisse zusammen.

größte Päckchen

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Langfristige Klimaprognosen prophezeien auch für unser Wetter zunehmende Sturmschäden, von denen auch Bahnstrecken betroffen sein können.
\quad\quad
Sturmschaden
Skizze der Situation in einem Koordinatensystem
Neben der Bahnlinie b(x)=0,5x+1b(x)=0,5x+1 steht im Punkt A(5∣1)A(5|1) eine 20 m20\,m hohe Fichte.
Ob sie für die Bahnstrecke eine Gefahr darstellt?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgaben

Tipp: Der Baum stellt dann eine Gefahr für Züge dar, wenn sein Abstand zur Bahn kleiner ist als seine Höhe.
Bei einem Sturm könnte er entwurzelt werden und auf die Bahnstrecke fallen.
Die drei möglichen unterschiedlichen Lösungswege für die gestellte Aufgabe:
  1. Berechnung der Lösung als Extremwertaufgabe:Welcher Punkt der Funktion b(x)b(x) kommt dem Punkt AA am nächsten?
  2. Konstruktion und/oder Berechnung des Fußpunktes des Lotes von AA auf die Gerade b(x)b(x) und Bestimmung seines Abstands zu AA.
  3. Betrachtung der Sicherheitszone des gegebenen Baumes und ihre Lage zur Bahnstrecke.
Bei dieser Aufgabe sollst du den Abstand eines Punktes von einer Geraden als Extremwertaufgabe berechnen und das Ergebnis in seiner praktischen Bedeutung eines notwendigen Sicherheitsabstandes deuten.
Hinweis:
Die benötigten Funktionen werden nur mit den Maßzahlen der Größen (ohne ihre Maßeinheit) erstellt.
Zielfunktion
Zu minimieren ist der Abstand der beiden Punkte PP und AA.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
PA‾\overline{PA}
=d(x,y)=(5−x)2+(y−1)2=d(x,y) = \sqrt{(5-x)^2 + (y-1)^2}
Einzeichnen eines rechtwinkligen Dreiecks
Der verschiebbare Punkt PP gehört zur Funktion y=0,5x+1y=0,5x+1. Dies ist die Nebenbedingung für die Zielfunktion d(x,y)d(x,y).
Die Nebenbedingung in die Zielfunktion d(x,y)d(x,y) eingesetzt ergibt:
d(x)=(5−x)2+(0,5x+1−1)2d(x) = \sqrt{(5-x)^2+(0,5x+1-1)^2}
Beachte, dass die Zielfunktion jetzt nur noch von der einen Variablen x abhängt.
Fasse zusammen.
d(x)=1,25x2−10x+25d(x)=\sqrt{1,25x^2-10x+25}
Beachte: Für denselben - noch zu berechnenden x-Wert - für den d(x)d(x) ein Minimum wird, wird auch der Term d2(x)d^2(x) minimal.
Quadriere deshalb die Gleichung.
d2(x)=1,25x2−10x+25d^2(x)=1,25x^2-10x+25
Bilde die 1. Ableitung von d2(x)d^2(x).
(d2)′(x)=2,5x−10\left(d^2\right)'(x)=2,5x-10
Setze (d2)′(x)\left(d^2\right)'(x) gleich Null und löse die Gleichung nach x auf.
%%\begin{align} 2,5x - 10 &=0\\2,5x&=10\\x&=4\end{align}%%
x=4x=4 liefert ein kleinstes dd, wenn die 2. Ableitung (d2)′′(4)\left(d^2\right)''(4) positiv ist.
(d2)′′(x)=2,5>0\left(d^2\right)''(x)=2,5\gt0
Setze x=4x=4 in die Nebenbedingung ein.
y=0,5⋅4+1=3y=0,5\cdot4+1=3
⇒P(4∣3)\Rightarrow P(4|3) ist der gesuchte Punkt auf der Bahnstrecke mit minimalem Abstand zu Punkt AA.
Setze die Koordinaten von PP in dd ein (nicht in d2d^2).
d=(5−4)2+(3−1)2=5≈2,24 LE≈22,4 md=\sqrt{(5-4)^2+(3-1)^2}=\sqrt{5}\approx{2,24} \,LE\approx22,4\,m
Da der Baum nur 20 m20\,m hoch ist, kann er - vorausgesetzt, ein Sturm trägt einzelne Äste nicht noch weiter - auch dann, wenn er entwurzelt umfällt, die Bahnstrecke nicht gefährden.
Im Applet kannst du den Punkt P verschieben und den jeweiligen Abstand zu AA ablesen.
GeoGebra

Alternative Lösung

Der als Extremwert berechnete Punkt P(4∣3)P(4|3) mit minimalem Abstand von AA zur Geraden bb kann auch als Lotfußpunkt des Lotes von AA auf die Gerade bb konstruiert oder berechnet werden.
Die Konstruktion des Lotfußpunktes:
Der Kreis um AA mit r=3 LEr=3\,LE schneidet die Gerade bb in EE und FF.
Die Kreise um EE und FF mit r=3 LEr=3\,LE schneiden sich in GG und AA.
Die Geraden bb und GAGA schneiden sich im Lotfußpunkt PP.
GeoGebra
Die Konstruktion kann im obigen Applet schrittweise nachvollzogen werden. Benutze dazu die Konstruktionsleiste im unteren Teil des Applets.
Die Berechnung des Lotfußpunktes:
Schneide die Gerade b:y=0,5x+1b: y = 0,5x+1 mit der dazu senkrechten Geraden ss durch den Punkt A(5∣1)A(5|1).
b:y=0,5x+1b: y = 0,5x + 1
Lies die Steigung mbm_b für die Gerade b aus der Funktionsgleichung ab.
mb=0,5m_b=0,5
Für die zu mbm_b senkrechte Steigung msm_s gilt:mb⋅ms=−1m_b\cdot m_s=-1.
Berechne msm_s.
%%\begin{align}0,5\cdot m_s&=-1\\m_s&=-1:0,5\\m_s&=-2\end{align}%%
Stelle die Gleichung für die Lotgerade ss durch AA auf.
Benutze die Formel
s:y−yAx−xA=ms\displaystyle s:\frac{y-y_A}{x-x_A}=m_s.
s:y−1x−5=−2\displaystyle s: \frac{y-1}{x-5}=-2
Multipliziere mit dem Nenner und löse nach y auf.
s:y=−2x+11s:y=-2x+11
Schneide ss mit bb indem du die Funktionsterme gleichsetzt.
%%\begin{align}-2x+11&=0,5x+1\\-2,5x&=-10\;\;|:-2,5x\\x&=4\end{align}%%
Setze x=4x=4 in b(x)b(x) ein.
b(4)=0,5⋅4+1=3b(4)=0,5\cdot4+1=3

⇒\Rightarrow P(4∣3)P(4|3) ist der gesuchte Lotfußpunkt.


Ergänzende Betrachtung der Aufgabenstellung

Die Kreisfläche um AA mit Radius 20 m20\,m (= Baumhöhe) beschreibt die Sicherheitszone falls der Baum bei Sturm umstürzen würde.
Da in der Aufgabenstellung lediglich gefragt wird, ob der Baum für die Bahnstrecke "gefährlich" sein könnte, genügt es, rechnerisch oder graphisch nachzuweisen, ob der Sicherheitskreis die Gerade b(x)=0,5x+1b(x)=0,5x+1 schneidet oder nicht.
Die graphische Lösung:
Die Kreisfläche um AA mit Radius 20 m20\,m erreicht die Bahnstrecke nicht.
Graphische Lösung durch Einzeichnen des Kreises
Der rechnerische Nachweis, dass der Kreis k(A;2 LE)k(A;2\,LE) die Gerade b(x)=0,5x+1b(x)=0,5x+1 nicht schneidet:
Benutze zum Schnitt die Kreisgleichung
(x−xA)2+(y−yA)2=r2(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2
für einen Kreis um den Punkt AA mit Radius rrund die Geradengleichung y=b(x)y=b(x).
Die Kreisgleichung:
(x−5)2+(y−1)2=4(x-5)^2+(y-1)^2=4
Die Geradengleichung:
y=0,5x+1y=0,5x+1
Setze y=0,5x+1y=0,5x+1 in die Kreisgleichung ein.Fasse die entstehende quadratische Gleichung zusammen.
%%\begin{align}(x-5)^2+(\color{red}{0,5x+1}-1)^2&=4\\x^2-10x+25+0,25x^2&=4\\1,25x^2-10x+21&=0\end{align}%%
Gib die Diskriminante DD an.
        D=100−4⋅1,25⋅21=−5\;\;\;\,\,D=100-4\cdot1,25\cdot21=-5

Da die Diskriminante negativ ist, schneiden sich der "Sicherheitskreis" um AA und die Bahnstrecke nicht.
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Skizzen der beiden möglichen Routen
Eine Wüstenrallye gewinnt
a) bei einer "traditionellen" Rallye, wer als Erster am Ziel ankommt,
b) bei einer "alternativen" Rallye, wer den geringsten Bezinverbrauch hat.
Vor dem Start steht das Team vor folgendem Problem:
Der Startort liegt mitten in der Wüste und ist 50 km50\,\text{km} vom Zielort entfernt.
Der direkte Weg zum Ziel führt durch den Wüstensand. Dort kann das Fahrzeug des Teams eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h60\,\text{km/h}bei einem Durchschnittsverbrauch von 20 Liter/100km20\,\text{Liter/100km} erreichen.
In 30 km30\,\text{km} Entfernung vom Standort führt allerdings eine schnurgerade Karawanenstraße zum Zielort. Dort könnte das Fahrzeug eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h100\,\text{km/h}% bei einem Durchschnittsverbrauch von nur 4 Liter/100km4\,\text{Liter/100km} fahren.
Welche Route wird das Teama) bei der traditionellen Rallye, b) bei einer alternativen wählen, wenn es jede Route zwischen Startort, Straße und Zielort fahren kann? Nach welcher Zeit bzw. mit welchem Verbrauch wird es jeweils das Ziel erreichen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe

Es gewinnt im Teil A das schnellste Team, im Teil B das Team mit dem geringsten Bezinverbrauch.

A. Die traditionelle Rallye

Gegeben:
Sandstrecke: SZ‾=50 km\overline{SZ}=50\,\text{km}


Entfernung Startpunkt SS von der Karawanenstraße: 30 km30\,\text{km}

Geschwindigkeit im Wüstensand: v1=60 km/hv_1=60\,\text{km/h}
Geschwindigkeit auf der Straße: v2=100 km/hv_2=100\,\text{km/h}

Vorüberlegungen:

  1. Die Geschwindigkeitsformeln:
    v=st;      s=v⋅t;        t=sv\displaystyle \displaystyle v=\frac{s}{t};\;\;\;s=v\cdot{t};\;\;\;\;t=\frac{s}{v}
  2. Die Entfernung des Startpunktes SS von der Karawanenstraße beträgt 30 km30\,\text{km}. Dann ist FF der Lotfußpunkt mit AF‾=30 km\overline{AF}=30\,\text{km}.Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann:
    (30 km)2+FZ‾2=(50 km)2                                FZ‾2=1600 km2                                   FZ‾=40 km\displaystyle (30\,\text{km})^2+\overline{FZ}^2 =(50\,\text{km})^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\overline{FZ}^2=1600\,\text{km}^2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\overline{FZ}=40\,\text{km}
  3. Fährt das Rallyeteam von AA über FF nach ZZ, dann beträgt diese Fahrzeit:
    t1=30 km60 km/h+40 km100 km/h=54 min\displaystyle \displaystyle t_1=\frac{30\,\text{km}}{\color{green}{60}\,\text{km/h}}+\frac{40\,\text{km}}{\color{red}{100}\,\text{km/h}}=54\,\text{min}
  4. Fährt das Rallyeteam vom Startpunkt SS geradlinig im Wüstensand zum Zielpunkt ZZ, dann beträgt die Fahrzeit:
    t2=50 km60 km/h=56 h=50 min\displaystyle \displaystyle t_2=\frac{50\,\text{km}}{60\,\text{km/h}}=\frac{5}{6}\,\text{h}=50\,\text{min}
Für das Rallyeteam bringt der Umweg über FF also keinen Gewinn. Es könnte aber einen Punkt P(x)P(x) irgendwo auf der Strecke zwischen FF und ZZ geben, so dass die Fahrzeit von 50 min50\,\text{min} unterboten wird.

Die Zielfunktion f(x)f(x)

Gesamtfahrzeit f(x)f(x) = Fahrzeit von AA nach PP + Fahrzeit von PP nach ZZ.

f(x)=SP(x)‾60 km/h+(40−x) km100 km/h\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{\overline{SP(x)}}{\color{green}{60}\,\text{km/h}}+\frac{(40-x)\,\text{km}}{\color{red}{100}\,\text{km/h}}
Berechne SP(x)‾\overline{SP(x)}mit dem Satz des Pythagoras in Abhängigkeit von xx.

(30 km)2+x2=SP(x)‾2SP(x)‾2=(900+x2) km2SP(x)‾=900+x2 km\displaystyle \begin{array}{rcl} (30\,\text{km})^2+x^2&=\overline{SP(x)}^2\\\overline{SP(x)}^2&=(900+x^2)\,\text{km}^2\\\overline{SP(x)}&=\sqrt{900+x^2}\,\text{km}\end{array}
Setze SP(x)‾\overline{SP(x)} in f(x)f(x) ein. (Gib f(x)f(x) ohne Benennungen an).

f(x)=900+x260+40−x100\displaystyle \displaystyle f(x) =\frac{\sqrt{900+x^2}}{60}+\frac{40-x}{100}
Der Definitonsbereich für ff ist [0;40][0;40].
Berechne f′(x)f'(x). Benutze dabei auch die Kettenregel.

f′(x)=x60900+x2−0,01\displaystyle \displaystyle f'(x)=\frac{x}{60\sqrt{900+x^2}}-0,01
Setze f′(x)f'(x) gleich Null.

x60900+x2=0,01    ∣⋅60900+x2x=0,6900+x2    ∣2x2=0,36⋅(900+x2)0,64x2=324x=+3240,64x1=22,5\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{x}{60\sqrt{900+x^2}} &=& 0,01\;\;|\cdot60\sqrt{900+x^2}\\x &=& 0,6\sqrt{900+x^2}\;\;|^2\\x^2&=&0,36\cdot(900+x^2)\\0,64x^2&=&324\\x&=&\color{cc0000}{+}\sqrt\frac{324}{0,64}\\x_1&=&22,5 \end{array}
Überprüfe mit f′′(x)f''(x), ob ein lokales Minimum vorliegt. Berechne dazu zunächst f′′(x)f''(x):

f′′(x)=15(900+x2)1,5\displaystyle \displaystyle f''(x)=\frac{15}{(900+x^2)^{1,5}}
Setze dann x1x_1 ein.
f′′(x1)=15(900+x12)1,5>0f''(x_1) = \dfrac{15}{(900+x_1^2)^{1,5}} >0 ⇒\qquad\Rightarrow x1x_1 liefert minimale Fahrzeit.
Berechne nun mit f(x1)f(x_1) die minimale Fahrzeit.

f(22,5)=0,8\displaystyle f(22,5)=0,8

0,8 h=(0,8⋅60) min=48 min\displaystyle 0,8\,h=(0,8\cdot60)\,\text{min}=48\,\text{min}
f(x)f(x) misst die Fahrzeit in Stunden.

Ergebnis:

Das Team gewinnt die traditionelle Rallye, wenn es über den 22,5 km22,5\,\text{km} von FF entfernten Punkt PP der Karawanenstraße zum Ziel fährt. Es braucht dafür 48 Minuten48\,\text{Minuten}.
Die notwendige Ansteuerung des Zwischenpunktes PP wird das Team natürlich mit einer Navigationshilfe vornehmen.
Im nachfolgenden Applet kannst du die Gesamtfahrzeit tt in Abhängigkeit vom Zwischenpunkt PP nachvollziehen.
Klicke auf den Punkt PP und verschiebe ihn im Intervall [0;40].
GeoGebra

B. Die alternative Rallye

Skizze des Extremwertproblems für die alternative Rallye
Gegeben:
Benzinverbrauch im Sand:
20 Ltr/100km20\,\text{Ltr/100km}
Benzinverbrauch auf der Karawanenstraße:
4 Ltr/100km4\,\text{Ltr/100km}

Die Zielfunktion f(x)f(x)

Gesamtverbrauch f(x)f(x) = Verbrauch von SS nach PP + Verbrauch von PP nach ZZ.
f(x)=0,2⋅900+x2+0,04⋅(40−x)f(x)=\color{red}{0,2}\cdot\sqrt{900+x^2}+\color{green}{0,04}\cdot(40-x)
Der Definitionsbereich für ff ist [0;40][0;40].
Verzicht auf die Benennung der Größen im Funktionsterm. Bilde f′(x)f'(x).
f′(x)=0,2x900+x2−0,04f'(x)=\displaystyle\frac{0,2x}{\sqrt{900+x^2}}-0,04
Setze f′(x)f'(x) gleich Null und löse die Gleichung.

0,2x900+x2=0,04    ∣  ⋅900+x20,2x=0,04⋅900+x2    ∣  :0,045x=900+x2        ∣225x2=900+x2      ∣−x224x2=900      ∣:24x=+90024x1≈6,124\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{0,2x}{\sqrt{900+x^2}}&=&0,04\;\;|\;\cdot\sqrt{900+x^2}\\0,2x&=&0,04\cdot\sqrt{900+x^2}\;\;|\;:0,04\\5x&=&\sqrt{900+x^2}\;\;\;\;|^2\\25x^2&=&900+x^2\;\;\;|-x^2\\24x^2&=&900\;\;\;|:24\\x&=&\color{red}{+}\sqrt{\frac{900}{24}}\\x_1&\approx&{6,124} \end{array}
Überprüfe mit f′′(x)f''(x), ob ein lokales Minimum vorliegt.

f′′(x)=180(900+x2)1,5\displaystyle \displaystyle f''(x)=\frac{180}{(900+x^2)^{1,5}}
Setze x1x_1 ein.
f(x1)>0f(x_1)\gt0 ⇒\qquad \Rightarrow x1x_1 liefert minimalen Verbrauch.
Berechne mit f(x1)f(x_1) den minimalen Verbrauch.

f(6,124)≈7,48\displaystyle f(6,124)\approx7,48
f(x)f(x) misst den Verbrauch in Liter.

Ergebnis:

Das Team gewinnt die alternative Rallye, wenn es über den 6,124 km6,124\,\text{km} von FF entfernten Punkt PP der Karawanenstraße zum Zielpunkt fährt. Es verbraucht dabei rund 7,5 Liter7,5\ \text{Liter} Benzin.
Im nachfolgenden Applet kannst du den Gesamtbenzinverbrauch vv in Abhängigkeit vom Zwischenpunkt PP nachvollziehen.
Klicke auf den Punkt PP und verschiebe ihn im Intervall [0;40].
GeoGebra

Interpretation der Ergebnisse

Geschwindigkeitsrallye
Resultate für die traditionelle Rallye
Verbrauchsrallye
Resultate für die alternative Rallye
Das Rallyeteam nützt bei der traditionellen Rallye (Fahrzeit 48 Min.; Verbrauch 8,7 Liter) die Karawanenstraße weit weniger als bei der alternativen (Fahrzeit rund 51 Min.; Verbrauch 7,5 Liter).
Dies hängt damit zusammen, dass der "Geschwindigkeitsvorteil" der Straße (120 km/h:60 km/h120\,\text{km/h}:60\,\text{km/h}) weniger ausgeprägt ist, als der "Verbrauchsvorteil" (20 Liter/100 km:4 Liter/100 km20\,\text{Liter/100 km}:4\,\text{Liter/100 km}).
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Zwischen einer Straße und einem Bach soll als Hochwasserschutz ein Damm errichtet werden.
Aus technischen Gründen ist dies aber nur möglich, wenn der Bach der Straße auf höchstens 5 m nahekommt.
Berechne, ob der Schutzdamm bei dem gegebenen Geländeplan (1LE = 10 m) gebaut werden kann, wenn der Bach dem Graphen der Funktion f(x)=2xf(x)=2^xund die Straße dem Graphen der Funktion s(x)=xs(x)=x folgen.
Berechne den Abstand d(x) eines beliebigen Punktes P(x∣2x)P(x\vert2^x) des Bachs von der Straße.
d2(x)+d2(x)=(2x−x)2d^2(x)+d^2(x)=\left(2^x-x\right)^2

d2(x)=12⋅(2x−x)2d^2(x)=\frac12\cdot\left(2^x-x\right)^2
d(x)=12⋅(2x−x)d(x)=\frac1{\sqrt2}\cdot\left(2^x-x\right)
Um das Minimum von d(x)d(x) zu berechnen, brauchst du mit Hilfe der Ableitung der Exponentialfunktion 2x2^x die Ableitung d′(x)d'(x).
d′(x)=12(ln⁡(2)⋅2x−1)d'(x)=\frac1{\sqrt2}\left(\ln(2)\cdot2^x-1\right)
Setze d′(x)=0d'(x)=0 um das Minimum von d(x) zu berechnen.
12⋅(ln⁡(2)⋅2x−1)=0\frac1{\sqrt2}\cdot\left(\ln(2)\cdot2^x-1\right)=0
der 2. Faktor muss 0 werden
                  ln⁡(2)⋅2x−1=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ln(2)\cdot2^x-1=0
nach 2x2^x auflösen
                                                2x=1ln⁡(2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle 2^x=\frac1{\ln(2)}
nach x mit Hilfe einer Logarithmusfunktion auflösen
x=1ln⁡(2)⋅ln⁡(1ln⁡(2))\displaystyle x=\frac1{\ln(2)}\cdot\ln\left(\frac1{\ln(2)}\right)

x≈0,53x\approx0,53
Noch fehlt der Nachweis, dass x≈0,53x\approx0,53 tasächlich ein Abstandsminimum liefert.
Da 2x2^x streng monton steigend ist, gilt:d′(0,53−h)<0d'(0,53-h)<0 und d′(0,53+h)>0d'(0,53+h)>0.Damit liefert x≈0,53x\approx0,53 das Abstandsminimum.
Berechne d(0,53)d(0,53).
d(0,53)=12(20,53−0,53)d(0,53)=\frac1{\sqrt2}\left(2^{0,53}-0,53\right)
d(0,53)≈0,65d(0,53)\approx0,65
Der Bach kommt der Straße auf rund 6,50 m nahe. Der Schutzdamm kann deshalb gebaut werden.
GeoGebra
Bestätige das Rechenergebnis am nebenstehenden Applet.
Verschiebe dazu den Punkt P auf dem Fluss und lies den jeweiligen Abstand d zur Straße ab. Beachte dabei: 1 LE = 10 m.

alternative Lösung

Berechne denjenigen Punkt der Exponentialfunktion f, in dem die Steigung 1 ist. Der Abstand dieses Punktes von der Geraden s ist das gesuchte Abstandsminimum.
Bilde die Ableitung der Exponentialfunktion.
f(x)=2x⇒f′(x)=ln⁡(2)⋅2xf(x)=2^x\Rightarrow f'(x)=\ln(2)\cdot2^x
Setze f′(x)f'(x) gleich 1.
ln⁡(2)⋅2x=1\ln(2)\cdot2^x=1
Teile durch ln⁡(2)\ln(2)
2x=1ln⁡(2)\displaystyle 2^x=\frac1{\ln(2)}
Löse die Gleichung durch Logarithmieren.
x=1ln⁡(2)⋅ln⁡(1ln⁡(2))\displaystyle x=\frac1{\ln(2)}\cdot\ln\left(\frac1{\ln(2)}\right)
Einsatz des Taschenrechners.
x≈0,53x\approx0,53
Setze x=0,53x=0,53 und berechne den Näherungswert der y-Koordinate.
P(0,53∣1,44)P(0,53\vert1,44)

Den Abstand des Punktes P(0,53∣1,44)P(0,53\vert1,44) von der Geraden s:  y  −  x  =  0s:\;y\;-\;x\;=\;0 berechnet man am bequemsten mit der Hessesche Normalenform der Geraden.
Formel der Hesseschen Normalenform einer Geraden
Die Gerade mit der Funktionsgleichung   y=mx+t  \;y=mx+t\; bzw.  y−mx−t=0  \;y-mx-t=0\; hat die
Hessesche Normalenform (HNF)
y−mx−t+m2+1=0\displaystyle \frac{y-mx-t}{+\sqrt{m^2+1}}=0     falls    t≥0\;\;falls\;\;t\geq0
y−mx−t−m2+1=0\displaystyle\frac{y-mx-t}{-\sqrt{m^2+1}}=0    falls    t<0\;\;falls\;\;t\lt0
HNF von s:
y−x2=0\displaystyle \frac{y-x}{\sqrt2}=0
Du erhältst den gesuchten Abstand d(P;s)d(P;s), wenn du die Koordinaten von P in die linke Seite der HNF einsetzt.
1,44−0,532=d(P;s)\displaystyle \frac{1,44-0,53}{\sqrt2}=d(P;s)

dmin=  d(P;s)≈0,64d_{min}=\;d(P;s)\approx0,64
Der geringfügige Unterschied zum ersten Ergebnis resultiert aus dem Rundungswert der y-Koordinate von P.
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Eine rechteckige Blechtafel mit den Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%% wird zu einem quaderförmigen Gegenstand so geknickt und gebogen, dass dieser an der oberen Mantelfläche halbkreisförmig eingedellt ist. Der Körper sei durch seine beiden Grundflächen abgeschlossen. (Siehe die nachfolgende Skizze.)

a) Bestimme das größtmögliche Volumen eines solchen Körpers.

b) Bestimme seine Mantelfläche.

c) Berechne die größtmögliche Oberfläche des Körpers.

d) Welche Kantenmaße hat dieser größtmögliche Körper für %%b=10\,m%% und %%a=5\,m%%?

Blechtafel biegen

Extremwertaufgabe

Eine ebene Fläche soll so gebogen werden, dass ein Körper vorgegebener Form entsteht, der ein größtmögliches Volumen besitzt.

Dazu soll dessen Mantelfläche und seine größtmögliche Oberfläche betrachtet werden.

Teilaufgabe a)

Für das Volumen des durch Verformen der Blechtafel zu bildenden Körpers gilt nach dem Satz des Cavalieri:$$V=\text{Grundfläche}\cdot a$$

Die Grundfläche und damit auch das Volumen des eingedellten quaderförmigen Körpers hängt von den variablen Größen %%x,y,k%% der Blechtafelseite %%b%% und dem fest vorgegeben Wert %%a%% der zweiten Tafelseite ab.

Körper

Querschnitt durch den Körper

Querschnitt

Die Zielfunktion, deren Maximum zu berechnen ist, ergibt sich aus der Differenz der Rechtecksfläche mit den Seitenlängen %%x\,LE%% und %%y\,LE%% und der Fläche des Halbkreises zum Radius %%x/2\,LE%%, multipliziert mit dem Faktor %%a\,LE%%.

Zielfunktion:

%%\quad\quad V(x;y)= [x\cdot y-\underbrace{\displaystyle \frac 12 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2\pi}_{\text{Halbkreisfläche}}]\cdot a%% $$\quad \quad V(x;y)=(x\cdot y-\displaystyle x^2 \cdot \frac {\pi}{8})\cdot a$$

Die zu knickende und umzubiegende Seitenlänge %%b%% ergibt für die Zielfunktion %%V(x;y)%% eine Nebenbedingung.

Nebenbedingung:

%%\quad\quad x+y+k+y=b%%

Berechne %%k%% als Kreisbogenlänge des Halbkreises zum Radius %%x/2%%.

%%\begin{array}{rcl} \displaystyle k&=&\displaystyle \frac 12 \cdot 2 \cdot\displaystyle (\frac{x}{2})\cdot \pi\\ k&=&\displaystyle \frac{1}{2}x\pi\end{array}%%

Setze %%k%% in die Nebenbedingung ein und löse diese nach %%y%% (oder auch nach %%x%%) auf.

%%\begin{array}{r c l l} x+2y+\color{red}{\frac 12 x\pi}&=&b&|\,-x-\frac 12 x\pi\\ 2y&=&b-x-\frac 12 x\pi &|\;:2\\ y&=&\frac 12 b- x(\frac 12 + \frac 14 \pi)&|\;\text{Setze y in V(x;y) ein}\end{array}%%

%%\begin{array} {r c l l} V(\color{red}{x})&=&\displaystyle [x\cdot \color{red}{(}\frac 12 b- x(\frac 12 + \frac 14 \pi )\color{red}{)}-x^2\cdot \frac{\pi}{8}]\cdot a\\ &=&[\displaystyle \frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac 14\pi)-x^2\cdot \frac {\pi}{8}]\cdot a\\ &=&\displaystyle [\frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac 14\pi+\frac{\pi}{8})]\cdot a\\ &=&\displaystyle [\frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac{3\pi}{8})]\cdot a\\ V(x)&=&\displaystyle (\frac 12 bx - \frac{4+3\pi}{8}x^2)\cdot a\end{array}%%

Berechne %%V'(x)%% und %%V''(x)%%.

$$V'(x)= \displaystyle \frac 12 b - \frac{4+3\pi}{4}\cdot x$$

$$V''(x)=\displaystyle -\frac{4+3\pi}{4}\color{red}{<}0$$

Setze %%V'(x)%% gleich Null und löse nach %%x%% auf.

Da %%V''(x)%% für jedes %%x%% negativ ist, ergibt sich für das Volumen ein Maximum.

%%\begin{array}{ r c l l} \displaystyle \frac 12 b - \frac{4+3\pi}{4}\cdot x_{max}&=&0\\ \displaystyle \frac{4+3\pi}{4}\cdot x_{max}&=&\frac 12 b&|\;:\frac {4+3\pi}{4}\\ x_{max}&=&\displaystyle \frac{4b}{2(4+3\pi)}\\ x_{max}&=&\displaystyle\frac{2b}{4+3\pi}\end{array}%%

Für die maximale Halbkreislinie %%k%% ergibt dies:

%%k_{max}=\displaystyle \frac 12\cdot \color{red}{\frac{2b}{4+3\pi}}\cdot \pi%%

%%k_{max}=\displaystyle \frac {b\pi}{4+3\pi}%%

Setze %%x_{max}%% in %%y=\frac 12 b-x(\frac 12 + \frac 14 \pi)%% ein, um die maximale y-Kantenlinie des Körpers zu erhalten:

%%\begin{array}{l c l l} y_{max}&=&\displaystyle \frac {b}{2}-\frac{2b}{(4+3\pi)}\cdot (\frac 12 + \frac 14 \pi)&|\,\text{HN}\\ &=&\displaystyle \frac b2-\frac{2b}{(4+3\pi)} \cdot \frac{2+\pi}{4}&|\,\text{kürzen}\\ &=&\displaystyle \frac b2 -\frac b2 \cdot \frac{2+\pi}{4+3\pi}&|\,\text{ausklammern}\\ &=&\displaystyle \frac b2 (1-\frac{2+\pi}{4+3\pi})&|\,\text{HN}\\ &=&\displaystyle \frac b2 \cdot \frac{4+3\pi-2-\pi}{4+3\pi}&|\,\text{zusammenfassen}\\ &=&\displaystyle\frac b2 \cdot\frac{2+2\pi}{4+3\pi}&|\,\text{kürzen}\\ y_{max}&=&\displaystyle b \cdot \frac {1+\pi}{4+3\pi} \end{array}%%

Setze %%x_{max}%% und %%y_{max}%% in

%%V(x;y)=\displaystyle (x\cdot y-x^2\cdot \frac \pi8)\cdot a%%

ein, um das größtmögliche Volumen des Körpers zu erhalten.

%%\begin{array} {l c l l} V_{max}&=&\displaystyle \left(\color{red}{\frac {2b}{4+3\pi}}\cdot\color{green}{b\cdot \frac {1+\pi}{4+3\pi}}-\color{red}{\frac {4b^2}{(4+3\pi)^2}}\cdot \frac \pi 8\right)\cdot a\\ &=&\displaystyle\left(\frac{2b^2(1+\pi)}{(4+3\pi)^2}-\frac{4b^2\pi}{8(4+3\pi)^2}\right)\cdot a&|\,\text{kürzen}\\ &=&\displaystyle \left(\frac{2b^2(1+\pi)}{(4+3\pi)^2}-\frac{b^2\pi}{2(4+3\pi)^2} \right)\cdot a&|\,\text{HN}\\ \displaystyle &=&\displaystyle \frac{4b^2(1+\pi)-b^2\pi}{2(4+3\pi)^2} \cdot a&\,\text{Distributivgesetz}\\ &=&\displaystyle \frac{4b^2+4b^2\pi-b^2\pi}{2(4+3\pi)^2}\cdot a&|\,\text{zusammenfassen}\\ &=&\displaystyle \frac{4b^2+3b^2\pi}{2(4+3\pi)^2}\cdot a&|\,\text{ausklammern}\\ &=&\displaystyle \frac{b^2(4+3\pi)}{2(4+3\pi)^2}\cdot a&|\,\text{kürzen}\\ V_{max}&=\displaystyle \frac{ab^2}{2(4+3\pi)}\end {array}%%

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe a):

Wird die Blechtafel mit den Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%% längs der Seite %%b%% so gebogen, dass die Kantenlängen %%x_{max}%%, %%y_{max}%%, die Halbkreislinie %%k_{max}%% und nochmals die Kante %%y_{max}%% aufeinanderfolgen, so hat der entstehende Körper sein maximales Volumen mit

%%V_{max}=\displaystyle \frac{ab^2}{2(4+3\pi)}%%.

Teilaufgabe b)

Die Mantelfläche eines jeden der quaderförmigen eingedellten Körper ist - unabhängig von seinem Volumen - die Fläche der Blechtafel.

Also:

%%M=a\cdot b%%.

Mantelfläche

Dies kannst du auch rechnerisch folgendermaßen bestätigen:

%%\begin{array}{rcl} M&=&\underbrace{x\cdot a}_{\text{x-Kante}}+2\cdot [\underbrace{\frac12 b-\frac12 x(1+\frac{\pi}{2})}_{\text{y-Kante}}]\cdot a+\underbrace{x\cdot \frac{\pi}{2}\cdot a}_{\text{Kreislinie}}\\ &=&x\cdot a+b\cdot a-x(1+\frac{\pi}{2})\cdot a+x\cdot \frac{\pi}{2}\cdot a\\ &=&x\cdot a+b\cdot a-x\cdot a-x\cdot\frac{\pi}{2}\cdot a +x\cdot \frac{\pi}{2}\cdot a\\ M&=&b\cdot a\end{array}%%

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe b):

Alle Körper, die sich auf die beschriebene Weise aus der Blechtafel mit den Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%% herstellen lassen, haben die gleiche Mantelfläche %%a\cdot b\,LE^2%%.

Teilaufgabe c)

Für die Oberfläche %%O%% eines jeden der betrachteten Körper gilt:

%%O=\text{Mantelfläche}+2\cdot\text{Grundfläche}%%

Bereits in Teilaufgabe a) wurde die Grundfläche bestimmt als Differenzfläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen %%x \,LE%% und %%y\, LE%% und der Halbkreisfläche zum Radius %%\frac{x}{2} \,LE%%.

Für die zu maximierende Oberfläche ergibt sich somit die folgende

Zielfunktion:$$O(x;y)=b\cdot a+2(x\cdot y-x^2\cdot \frac{\pi}{8})$$

Ebenso wie für die Volumenoptimierung in Teilaufgabe a) ergibt sich als

Nebenbedingung:

%%x+y+k+y=b%% mit %%k=\frac12x\pi%%.

%%k%% eingesetzt und nach %%y%% aufgelöst ergibt: $$y=\frac12-\frac12 x(1+\frac{\pi}{2})$$

Setze %%y%% in %%O(x;y)%% ein:

%%\begin{array}{lcl} O(\color{red}{x})&=&b\cdot a+2\left[x\cdot \left(\frac12 b-\frac12 x(1+\frac{\pi}{2})\right)-x^2\cdot\frac{\pi}{8}\right]\\ &=&b\cdot a+2\left[\frac12 bx-\frac12 x^2(1+\frac{\pi}{2})-x^2\cdot \frac{\pi}{8}\right]\\ &=&b\cdot a+bx-x^2(1+\frac{\pi}{2})-x^2\cdot \frac{\pi}{4}\\ &=&b\cdot a+bx-x^2(1+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})\\ O(x)&=&b\cdot a+bx-x^2(1+\frac34 \pi)\end{array}%%

Der Graph von %%O(x)%% ist wegen des negativen Faktors beim %%x^2%%-Glied eine nach unten geöffnete Parabel. Ihr Scheitelpunkt liefert also eine maximale Oberfläche des Körpers.

Mit der 1. Ableitung von %%O(x)%% bestimmst du den x-Wert der maximalen Oberfläche:

%%O'(x)=b-2x(1+\frac34 \pi)%%

Setze %%O'(x)%% gleich Null um %%x_{max}%% zu bestimmen.

%%\begin{array}{rcll} b-2\cdot x_{max}(1+\frac34 \pi)&=&0&|\,HN\\ b-2\cdot x_{max}\cdot \displaystyle\frac{4+3\pi}{4}&=&0&|\,\text{kürzen}\\ b-x_{max}\cdot \displaystyle \frac{4+3\pi}{2}&=&0&|\, \cdot 2\\ x_{max}\cdot (4+3\pi)&=&2b&|\,:(4+3\pi)\\ x_{max}&=&\displaystyle\frac{2b}{4+3\pi}\\\text{Setze}\, x_{max}\,\text{ in O(x) ein.}\end{array}%%

%%\begin{array}{lcll} O_{max}=b\cdot a + b\cdot \displaystyle \frac{2b}{4+3\pi}-\frac{4b^2}{(4+3\pi)^2}\cdot \frac{4+3\pi}{4}\\ \quad\quad=b\cdot a+\displaystyle \frac{2b^2}{4+3\pi}-\frac{b^2}{4+3\pi}\\O_{max}=b\cdot a+\displaystyle \frac{b^2}{4+3\pi}\end{array}%%

Zusammenfassung des Ergebnisses der Teilaufgabe c):

Die größtmögliche Oberfläche für einen Körper, der in der beschriebenen Weise aus einer Blechtafel mit den Seitenlängen %%a\,LE%% und %%b\,LE%% gebildet werden kann, beträgt$$b\cdot a+\frac{b^2}{4+3\pi}.$$

Es ist derselbe Körper, der auch das größtmögliche Volumen aufweist.

Teilaufgabe d)

Der Körper mit dem größten Volumen und gleichzeitig der größten Oberfläche besitzt bei den Blechtafelmaßen %%a=5\,m%% und %%b=10\,m%% folgende Kantenmaße:

%%x-\text{Kante}=\displaystyle\frac{2b}{4+3\pi}=\frac{20}{4+3\pi}\approx{1,49\,m}%%

%%y-\text{Kante}=\displaystyle b\cdot \frac{1+\pi}{4+\pi}\approx{3,09\,m}%%

%%\text{Halbkreiskante}=\displaystyle \frac{b\cdot \pi}{4+3\pi}\approx{2,34\,m}%%

Für das maximale Volumen und die maximale Oberfläche ergibt sich:

%%V_{max}(5;10)\approx{18,622\,m^3}%%

%%O_{max}(5;10)\approx{57,45\,m^2}%%

Im beigefügten Applet kannst du den Gleitpunkt %%G%% der Blechtafel verschieben und damit das Verhalten des zu errichtenden Körpers überprüfen und die Ergebnisse für die Blechtafelmaße %%a=\,5\,LE%% und %%b\,=\,10\,LE%% überprüfen.

Applet

Anhand des beigefügten Applets kannst du durch Verschieben des rechten unteren Eckpunkts %%P%% das Verhalten des Körpers und die Ergebnisse für die Blechtafelmaße %%a=5\,LE%% und %%b=10\,LE%% überprüfen.

Applet
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Aus einer rechteckigen Blechtafel der Länge a LEa\,LE% und der Breite b LEb\,LE soll eine Dachrinne (Länge aa) hergestellt werden, die maximales Wasservolumen aufnehmen kann.
Blechtafel
a)
Die Blechtafel wird V-förmig gebogen.
Welcher "Knickwinkel" ist zu wählen? Welches maximale Wasservolumen ergibt sich?
rechteckige Dachrinne
b)
Die Blechtafel wird rechteckig gebogen. Wie ist das Blech zu biegen, damit sich ein maximales Wasservolumen ergibt?
Dachrinne halbkreisförmig
c)
Die Blechtafel wird halbkreisförmig gebogen. Welches Wasservolumen ergibt sich?
Vergleiche die Ergebnisse der drei Teilaufgaben.

Extremwertaufgabe

In diesen Aufgaben soll eine ebene Fläche auf unterschiedliche Weise so zu einem Körper gebogen werden, dass dieser ein größtmögliches Volumen besitzt.

Teilaufgabe a)


Da die rechteckige Blechtafel V-förmig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Höhe aa.
Für das Volumen der geknickten Dachrinne gilt somit:
VDachrinne= Dreiecksfla¨che△ABC  ⋅aV_\text{Dachrinne}=\,\text{Dreiecksfläche}_{\triangle ABC}\;\cdot a
Prisma
Und da der Buchstabe V achsensymmmetrisch ist, ist die Grundfläche des Prismas ein gleichschenkliges Dreieck mit der vorgegebenen Schenkellänge b2\displaystyle \frac b2, dessen Flächeninhalt A vom Knickwinkel γ\gamma abhängt.
γ\gamma ist ein Winkel zwischen 0°0° und 180°180°.
Die Abhängigkeit der Dreiecksfläche A△ABCA_{\triangle ABC} von γ\gamma kannst du an dem gegebenen Applet für b=4 LEb=4\,LE nachvollziehen.
GeoGebra
Wegen des fest vorgegebenen Wertes aa für die Höhe des Prismas ist sein Volumen dann am größten, wenn die Dreiecksfläche A△ABCA_{\triangle ABC} maximal ist.
Als Zielfunktion für die Extremwertaufgabe, das größtmögliche Dachrinnenvolumen zu ermitteln, verwendest du im weiteren deshalb die von γ\gamma abhängige Dreiecksfläche.
Das Applet macht deutlich, dass sowohl die Grundlinie wie auch die Höhe des Dreiecks vom Knickwinkel γ\gamma abhängen und mit diesem variieren.
Für die Dreiecksfläche der Grundfläche des Prismas gilt:
A△ABC=12⋅Grundlinie⋅Ho¨heA_{\triangle ABC}=\frac12 \cdot \text {Grundlinie}\cdot\text{Höhe}
Also ergibt sich die
Zielfunktion
A(c;h)=c⋅hA(c;h)=c\cdot h
mit c∈[0;b/2]c\in[0;b/2] und h∈[0;b/2]h\in[0;b/2]
Grundfläche
Das gleichschenklige Dreieck ABCABC enthält das rechtwinklige Teildreieck BMCBMC mit der gegebenen Hypotenusenlänge b/2b/2 und dem variierenden Winkel γ/2\gamma/2.
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen SinusSinus und CosinusCosinus kannst du nun die Dreiecksfläche als Funktion des Knickwinkels γ\gamma darstellen.
1. Nebenbedingung
sinγ2=cb2\displaystyle sin\frac{\gamma}{2}=\frac {c}{\frac b 2}
2. Nebenbedingung
cosγ2=hb2\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}=\frac{h}{\frac b2}
Löse die 1. Nebenbedingung nach cc und die 2. Nebenbedingung nach hh auf.
c=b2⋅sinγ2\displaystyle c=\frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}
h=b2⋅cosγ2\displaystyle h=\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}
Setze cc und hh in A(c;h)A(c;h) ein, um die Dreiecksfläche als Funktion von γ\gamma zu erhalten.
Erinnerung: bb ist ein konstanter Wert.
Zielfunktion
A(γ)=(b2⋅sinγ2)⋅(b2⋅cosγ2)\displaystyle A(\gamma)=\left( \frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}\right )\cdot \left (\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}\right )
Fasse zusammen.
A(γ)=b24⋅sinγ2⋅cosγ2\displaystyle A(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot sin\frac{\gamma}{2} \cdot cos\frac{\gamma}{2}
Bilde unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung A′(γ)A'(\gamma).
A′(γ)=b24⋅(12cosγ2⏟Kettenregel−12sinγ2⏟Kettenregel⏟Produktregel)∣  12  ausklammernA'(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot (\underbrace{\underbrace{\frac 12 cos\frac {\gamma}{2}}_\color{red}{\text{Kettenregel}}-\underbrace{\frac 12 sin\frac{\gamma}{2}}_\color{red}{\text{Kettenregel}}}_\color{red}{\text{Produktregel}})\quad|\;\frac 12\; \text{ausklammern}
A′(γ)=b28⋅(cosγ2−sinγ2)\displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})
Setze A′(γ2)A'(\frac{\gamma}{2}) gleich Null um zu berechnen, für welchen Knickwinkel γ\gamma die Grundfläche des Dachrinnenprimas maximal sein kann.
%%\begin{array}{rcll}\displaystyle \frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})&=&0&|\;:\displaystyle \frac{b^2}{8}\\\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2}&=&0&|\; \displaystyle+ sin\frac{\gamma}{2}\\\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}&=& \displaystyle sin\frac{\gamma}{2}&|\;\displaystyle :cos\frac{\gamma}{2}\\1&= &\displaystyle tan\frac{\gamma}{2}&|\; tan^{-1}\\\displaystyle \frac{\gamma}{2}&=&45°&|\;\cdot2\\\gamma&=&90°\end{array}%%
Um nachzuweisen, dass A(γ)A(\gamma) für γ=90°\gamma=90° tatsächlich maximal ist, hast du zwei Möglichkeiten.
Möglichkeit 1
Bilde die 2. Ableitung von A(γ)A(\gamma).
A′(γ)=b28⋅(cosγ2−sinγ2)  ⇒\displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})\;\Rightarrow

A′′(γ)=b28⋅(−12sinγ2⏟Kettenregel−12cosγ2⏟Kettenregel)\displaystyle A''(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (\underbrace{-\frac12 sin\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}}-\underbrace{\frac12 cos\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}})
−12-\frac12 ausklammern
A′′(γ)=−b216⋅(sinγ2+cosγ2)\displaystyle A''(\gamma)=-\frac{b^2}{16}\cdot (sin\frac{\gamma}{2}+cos\frac{\gamma}{2})
Setze γ=90°\gamma=90° ein.
A(90°)=−b216⋅(122+122)  < 0  ⇒\displaystyle A(90°)=-\frac{b^2}{16}\cdot (\frac12 \sqrt{2}+\frac12 \sqrt{2})\;\color{red}{<}\,0\;\Rightarrow
γ=90°\gamma=90° liefert maximalen Flächeninhalt des Grunddreiecks.
Möglichkeit 2 ohne Benutzung der 2. Ableitung:
Die Funktion A(γ)A(\gamma) hat für die Randpunkte des Definitionsbereichs (γ=0°\gamma=0° und γ=180°\gamma=180°) ihr Minimum 00. Dann liefert das (einzige) lokale Extremum dazwischen ein Maximum.
A(0°)=0A(0°)=0 und A(180°)=0⇒A(90°)  liefert ein Maximum.A(180°)=0\quad\Rightarrow\quad A(90°)\;\text{liefert ein Maximum.}
Für das Volumen der v-förmig geknickten Dachrinne galt:
VDachrinne=Dreiecksfla¨che⋅aV_\text{Dachrinne}=\text{Dreiecksfläche}\cdot a.
Somit ergibt sich für das größtmöglichde Volumen dieser Dachrinne:
Vmax=b24⋅sin(45°)⋅cos(45°)⋅a\displaystyle V_{max}=\frac{b^2}{4} \cdot sin(45°)\cdot cos(45°)\cdot a.
Also:
Vmax=18ab2\displaystyle V_{max}=\frac18ab^2

Teilaufgabe b)


Da die Blechtafel rechtwinklig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein Quader mit der Höhe a und einem Rechteck mit den Seitenlängen xx und yy als Grundfläche.
Für das Volumen des Quaders gilt somit:
VQuader=Grundfla¨che⋅  aV_\text{Quader}=\text{Grundfläche}\cdot\;a
Quader
Da das Volumen des Quaders maximal werden soll, erhältst du folgende
Zielfunktion
V(x;y)=x⋅y⋅a\displaystyle V(x;y)=x\cdot y \cdot a
mit x∈  ]0;b2[  \displaystyle x\in \;]0;\frac b2 [\; und y∈]0;b[y\in ]0;b[ und der Konstanten aa.
Da die Blechtafel achsensymmetrisch zur Seite bb geknickt wird ergibt sich als
Nebenbedingung
%%\begin{align}2x+y&=b\\y&=b-2x \end{align}%%
Setze y in V(x;y)V(x;y) ein.
V(x)=x⋅(b−2x)⋅aV(x)=x\cdot (b-2x)\cdot a
V(x)=(−2x2+bx)⋅aV(x)=(-2x^2+bx)\cdot a
Bilde V′(x)V'(x).
V′(x)=(−4x+b)⋅aV'(x)=(-4x+b)\cdot a
Setze V′(x)V'(x) gleich Null und löse nach XX auf.
%%\begin{array} {rcll}(-4x+b)\cdot a &=&0&| :a\\-4x+b&=&0\\x&=&\displaystyle \frac b4 \end{array}%%
Argumentiere, dass sich für x=b/4x=b/4 ein Maximum ergibt.
Es gilt:
A′′(γ)=−4a  <  0A''(\gamma)=-4a\;\color{red}{<}\;0.
A′′(x)A''(x) ist also eine negative Konstante.
Das Extremum ist also ein Maximum.
Ohne Benutzung der 2. Ableitung kannst du auch so argumentieren:
Der Graph der Funktion A(γ)A(\gamma) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das lokale Extremum deshalb ein Maximum.
x=b4x=\frac b4 in V(x)=(−2x2+bx)⋅aV(x)=(-2x^2+bx)\cdot a eingesetzt, ergibt das größtmögliche Volumen VmaxV_{max} dieser Dachrinne:
Vmax=(−2⋅b216+b⋅b4)⋅a\displaystyle V_{max}=(-2 \cdot \frac {b^2}{16}+b\cdot \frac b4 ) \cdot a
Also: