Komplexere Anwendungsaufgaben mit Extremwertproblemen

Die Aufgabe verlangt die Lösung einer quadratischen Ungleichung.

Für das Volumen $V$ eines quaderförmigen Päckchens mit den Seiten $l,b,h$ gilt:

Da gilt $V=21\,dm^3=21000\,cm^3$ und $l=35\,cm$ ergibt sich:

$35\cdot b\cdot h=21000$.

Somit gilt:

$b\cdot h=600$

Also:

$\displaystyle h=\frac{600}{b}$.

Betrachtet man die Größe $b$ als unabhängige und $h$ als abhängige Variable, so ist der Zusammenhang der beiden Päckchenseiten $b$ und $h$ der einer gebrochenrationale Funktion.

Der Definitionsbereich dieser Funktion - d.h. welche Werte für $b$ in Frage kommen - bestimmt sich nun durch die Größenbegrenzungen in den Tarifbestimmungen der Post.

Mit der vorgegebenen Seitenlänge $l=35\,\mathrm{cm}$ ergibt sich für die zulässige Summe der drei Päckchenmaße die Ungleichung:

Setzt man $h$ in die Volumengleichung $21000=35\cdot b\cdot h$ ein, so ergibt sich die Ungleichung

$21000\color{red}{\leq}35b(55-b)$

So löst man die sich ergebende quadratische Ungleichung:

Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel:

Damit ist die gesuchte Lösungsmenge der $\color{red}{\text{Ungleichung}}\;$ $b^2-55b+600\color{red}{\leq}0$ das Intervall $[15;40]$ zwischen den beiden Nullstellen, da der quadratische Term eine nach oben geöffnete Parabel ergibt.

Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Gleitpunktes $P$ an dessen Koordinaten die Breiten- und Höhenwerte aller in Frage kommenden Päckchen mit dem Volumen $21\,dm^3$ ablesen.

Keine Seite der Päckchen überschreitet dabei die zusätzliche Begrenzung von $60\,cm$.

Bei dieser Teilaufgabe handelt es sich um eine Extremwertbestimmung mit der Zielfunktion des Volumens eines Quaders.

Zielfunktion

$V(l;b;h)=l\cdot b\cdot h$

wenn $l$, $b$ und $h$ die Maße für Länge, Breite und Höhe der Päckchen sind.

Nebenbedingungen sind:

1. $l=35\,cm$

2. Der maximale Wert der Summe aus Länge, Breite und Höhe beträgt $90\,cm$.

   Also: $l+b+h=90\,cm$.

   Somit :

   $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}b+h&=55\,cm\\h&=55\,cm- b\end{aligned}$

Damit ergibt sich durch Einsetzen von $l$ und $h$ in $V(l,b,h)$:

bzw.

Interpretation der Zielfunktion:

V ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von $V'$ ergibt somit ein absolutes Maximum von $V$.

Gemäß den Tarifbestimmungen git für den Definitionsbereich von $V$:$\quad\quad\mathbb{D}_V=[1;60]$

$V'(b)=-70b+1925\quad\text{Setze V'(b)=0}$:

$\Rightarrow V_{max} = -35\cdot 27{,}5^2+1925\cdot 27{,}5 = 26468{,}75$

Ergebnis:

Bei einer vorgegebenen Seitenlänge von $35\,cm$ kann bei DHL im Tarif Päckchen international ein quaderförmiges Päckchen bis zu einem Volumen von rund $26{,}4\,dm^3$ versandt werden.

$l$ mit $1\,cm\leq l\leq60\,cm$ sei die vorgegebene Seitenlänge.

Zielfunktion

$V(b;h)=l\cdot b\cdot h$

Nebenbedingung

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}l+b+h&=&90&\;|\,-l\\b+h&=&90-l&\;|\,-b\\h&=&90-l-b \end{array}$

$h$ in $V(b;h)$ einsetzen:

$V(b)=l\cdot b\cdot (90-l-b)$

bzw.

$V(b)=-l\cdot b^2+l(90-l)b$

Interpretation der Zielfunktion:

$V$ mit $\mathbb{D}_V=[1;60]$ ist eine ganzrationale Funktion 2. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Ihr Graph ist demnach eine nach unten geöffnete Parabel. Die Nullstelle von $V'$ ergibt somit ein maximales Volumen.

$V'(b)=-2l\cdot b+l(90-l)\quad\quad\text{Setze V'(b) gleich Null}.$

$b_{max}$ in die 2. Nebenbedingung eingesetzt ergibt:

$\quad\quad \quad h_{max}=90-l-\displaystyle \frac{90-l}{2}$

$\quad\quad\quad h_{max}=\displaystyle \frac{90-l}{2}\quad\Rightarrow\quad b_{max}=h_{max}$

Ergebnis

Bei einer beliebig vorgegebenen zulässigen Päckchenseite sind beim zugehörigen volumenmäßig größten Päckchen die beiden anderen Seiten gleich lang. Das heißt, dieses Päckchen hat einen quadratischen Querschnitt.

Aus der Teilaufgabe c) ergibt sich für volumenmäßig größte Päckchen in Abhängigkeit der gegebene Seitenlänge $l$:

$V(l)=-l\cdot b^2+l(90-l)b\quad\quad$mit$\quad b=\displaystyle\frac{90-l}{2}$

$b$ eingesetzt ergibt die gesuchte Funktion:

$V(l)=-l\cdot \displaystyle \left(\frac{90-l}{2}\right)^2+l(90-l)\cdot \frac{90-l}{2}$

$V(l)=-\displaystyle \frac{l(90-l)^2}{4}+\frac {l(90-l)^2}{2}$

$V(l)=\displaystyle \frac{1}{4}\cdot l(90-l)^2\quad\quad\mathbb{D}_V=[1;60]$

Interpretation des Ergebnisses

Die volumengrößten Päckchen, die sich bei Vorgabe einer Päckchenseite ergeben, folgen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades.

Deren Maximum ergibt sich für $l=30$ mit $V=27000\,cm^3$.

Für dieses Päckchen erhält man $b=h=30\,cm$. Somit einen Würfel.

Die nachfolgende Zeichnung fasst die Ergebnisse zusammen.

Da die rechteckige Blechtafel V-förmig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Höhe $a$.

Für das Volumen der geknickten Dachrinne gilt somit:

$V_\text{Dachrinne}=\,\text{Dreiecksfläche}_{\triangle ABC}\;\cdot a$

Und da der Buchstabe V achsensymmmetrisch ist, ist die Grundfläche des Prismas ein gleichschenkliges Dreieck mit der vorgegebenen Schenkellänge $\displaystyle \frac b2$, dessen Flächeninhalt A vom Knickwinkel $\gamma$ abhängt.

$\gamma$ ist ein Winkel zwischen $0°$ und $180°$.

Die Abhängigkeit der Dreiecksfläche $A_{\triangle ABC}$ von $\gamma$ kannst du an dem gegebenen Applet für $b=4\,LE$ nachvollziehen.

Wegen des fest vorgegebenen Wertes $a$ für die Höhe des Prismas ist sein Volumen dann am größten, wenn die Dreiecksfläche $A_{\triangle ABC}$ maximal ist.

Als Zielfunktion für die Extremwertaufgabe, das größtmögliche Dachrinnenvolumen zu ermitteln, verwendest du im weiteren deshalb die von $\gamma$ abhängige Dreiecksfläche.

Das Applet macht deutlich, dass sowohl die Grundlinie wie auch die Höhe des Dreiecks vom Knickwinkel $\gamma$ abhängen und mit diesem variieren.

Für die Dreiecksfläche der Grundfläche des Prismas gilt:

$A_{\triangle ABC}=\frac12 \cdot \text {Grundlinie}\cdot\text{Höhe}$

Also ergibt sich die

Zielfunktion

$A(c;h)=c\cdot h$

mit $c\in[0;b/2]$ und $h\in[0;b/2]$

Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ enthält das rechtwinklige Teildreieck $BMC$ mit der gegebenen Hypotenusenlänge $b/2$ und dem variierenden Winkel $\gamma/2$.

Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen $Sinus$ und $Cosinus$ kannst du nun die Dreiecksfläche als Funktion des Knickwinkels $\gamma$ darstellen.

1. Nebenbedingung

$\displaystyle sin\frac{\gamma}{2}=\frac {c}{\frac b 2}$

2. Nebenbedingung

$\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}=\frac{h}{\frac b2}$

Löse die 1. Nebenbedingung nach $c$ und die 2. Nebenbedingung nach $h$ auf.

$\displaystyle c=\frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}$

$\displaystyle h=\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}$

Setze $c$ und $h$ in $A(c;h)$ ein, um die Dreiecksfläche als Funktion von $\gamma$ zu erhalten.

Erinnerung: $b$ ist ein konstanter Wert.

Zielfunktion

$\displaystyle A(\gamma)=\left( \frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}\right )\cdot \left (\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}\right )$

Fasse zusammen.

$\displaystyle A(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot sin\frac{\gamma}{2} \cdot cos\frac{\gamma}{2}$

Bilde unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung $A'(\gamma)$.

$A'(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot (\underbrace{\underbrace{\frac 12 cos\frac {\gamma}{2}}_{\color{red}\text{Kettenregel}}-\underbrace{\frac 12 sin\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}\text{Kettenregel}}}_{\color{red}\text{Produktregel}})\quad|\;\frac 12\; \text{ausklammern}$

$\displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})$

Setze $A'(\frac{\gamma}{2})$ gleich Null um zu berechnen, für welchen Knickwinkel $\gamma$ die Grundfläche des Dachrinnenprimas maximal sein kann.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\displaystyle \frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})&=&0&|\;:\displaystyle \frac{b^2}{8}\\\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2}&=&0&|\; \displaystyle+ sin\frac{\gamma}{2}\\\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}&=& \displaystyle sin\frac{\gamma}{2}&|\;\displaystyle :cos\frac{\gamma}{2}\\1&= &\displaystyle tan\frac{\gamma}{2}&|\; tan^{-1}\\\displaystyle \frac{\gamma}{2}&=&45°&|\;\cdot2\\\gamma&=&90°\end{array}$

Um nachzuweisen, dass $A(\gamma)$ für $\gamma=90°$ tatsächlich maximal ist, hast du zwei Möglichkeiten.

Möglichkeit 1

Bilde die 2. Ableitung von $A(\gamma)$.

$\displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})\;\Rightarrow$

$\displaystyle A''(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (\underbrace{-\frac12 sin\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}}-\underbrace{\frac12 cos\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}})$

$-\frac12$ ausklammern

$\displaystyle A''(\gamma)=-\frac{b^2}{16}\cdot (sin\frac{\gamma}{2}+cos\frac{\gamma}{2})$

Setze $\gamma=\ 90°$ ein:

$\displaystyle A''(90°)=-\frac{b^2}{16}\cdot (\frac12 \sqrt{2}+\frac12 \sqrt{2})\;\color{red}{<}\,0\;\Rightarrow$

$\gamma=90°$ liefert maximalen Flächeninhalt des Grunddreiecks.

Möglichkeit 2 ohne Benutzung der 2. Ableitung:

Die Funktion $A(\gamma)$ hat für die Randpunkte des Definitionsbereichs ($\gamma=0°$ und $\gamma=180°$) ihr Minimum $0$. Dann liefert das (einzige) lokale Extremum dazwischen ein Maximum.

$A(0°)=0$ und $A(180°)=0\quad\Rightarrow\quad A(90°)\;\text{liefert ein Maximum.}$

Für das Volumen der v-förmig geknickten Dachrinne galt:

$V_\text{Dachrinne}=\text{Dreiecksfläche}\cdot a$.

Somit ergibt sich für das größtmöglichde Volumen dieser Dachrinne:

$\displaystyle V_{max}=\frac{b^2}{4} \cdot sin(45°)\cdot cos(45°)\cdot a$.

Also:

$\displaystyle V_{max}=\frac18ab^2$

Da die Blechtafel rechtwinklig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein Quader mit der Höhe a und einem Rechteck mit den Seitenlängen $x$ und $y$ als Grundfläche.

Für das Volumen des Quaders gilt somit:

$V_\text{Quader}=\text{Grundfläche}\cdot\;a$

Da das Volumen des Quaders maximal werden soll, erhältst du folgende

Zielfunktion

mit $\displaystyle x\in \;]0;\frac b2 [\;$ und $y\in ]0;b[$ und der Konstanten $a$.

Da die Blechtafel achsensymmetrisch zur Seite $b$ geknickt wird ergibt sich als

Nebenbedingung

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}2x+y&=b\\y&=b-2x \end{aligned}$

Setze y in $V(x;y)$ ein.

$V(x)=x\cdot (b-2x)\cdot a$

$V(x)=(-2x^2+bx)\cdot a$

Bilde $V'(x)$.

$V'(x)=(-4x+b)\cdot a$

Setze $V'(x)$ gleich Null und löse nach $X$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {rcll}(-4x+b)\cdot a &=&0&| :a\\-4x+b&=&0\\x&=&\displaystyle \frac b4 \end{array}$

Argumentiere, dass sich für $x=b/4$ ein Maximum ergibt.

Es gilt:

$A''(\gamma)=-4a\;\color{red}{<}\;0$.

$A''(x)$ ist also eine negative Konstante.

Das Extremum ist also ein Maximum.

Ohne Benutzung der 2. Ableitung kannst du auch so argumentieren:

Der Graph der Funktion $A(\gamma)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das lokale Extremum deshalb ein Maximum.

$x=\frac{b}{4}$ in $V(x)=(-2x^2+bx)\cdot a$ eingesetzt, ergibt das größtmögliche Volumen $V_{max}$ dieser Dachrinne:

$\displaystyle V_{max}=(-2 \cdot \frac {b^2}{16}+b\cdot \frac b4 ) \cdot a$

Also:

$\displaystyle V_{max}= \frac{ab^2}{8}$

Diese Teilaufgabe ist keine Extremwertaufgabe. Das halbkreisförmig gebogene Blechrechteck ergibt eine Zylinderhälfte der Höhe $a$. Dessen Volumen ist mit den Ergebnissen der Teilaufgaben a) und b) zu vergleichen.

Der Umfang des (ganzen) Grundkreises ist $2b$.

Dann gilt für den Radius $r$:

$2r\pi=2b\quad\Rightarrow\quad r=\displaystyle \frac{b}{\pi}$

Die Dachrinne, d.h. der halbe Zylinder, hat dann folgendes Volumen:

$V_{Rinne} = \displaystyle \frac 12 \cdot \left (\frac{b}{\pi}\right)^2 \cdot \pi \cdot a$.

Damit ergibt sich:

$V_{Rinne}= \displaystyle \frac{1}{2\pi}\cdot a\cdot b^2\quad\approx0{,}16ab^2$

Der Vergleich der drei Teilaufgaben ergibt:

Die beiden maximalen Dachrinnenvolumina der Teilaufgaben a) und b) sind mit $0{,}125ab^2$ gleich und kleiner als das halbkreisförmig gebogene Volumen der Teilaufgabe c) mit $0{,}16ab^2$. Dieses ist somit um rund $28\%$ größer als das Maximum jeder geknickten Rinne.

Die Zielfunktion, deren Maximum zu berechnen ist, ergibt sich aus der Differenz der Rechtecksfläche mit den Seitenlängen $x\,LE$ und $y\,LE$ und der Fläche des Halbkreises zum Radius $x/2\,LE$, multipliziert mit dem Faktor $a\,LE$.

Zielfunktion:

$\quad\quad V(x;y)= [x\cdot y-\underbrace{\displaystyle \frac 12 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2\pi}_{\text{Halbkreisfläche}}]\cdot a$

Die zu knickende und umzubiegende Seitenlänge $b$ ergibt für die Zielfunktion $V(x;y)$ eine Nebenbedingung.

Nebenbedingung:

$\quad\quad x+y+k+y=b$

Berechne $k$ als Kreisbogenlänge des Halbkreises zum Radius $x/2$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\displaystyle k&=&\displaystyle \frac 12 \cdot 2 \cdot\displaystyle (\frac{x}{2})\cdot \pi\\k&=&\displaystyle \frac{1}{2}x\pi\end{array}$

Setze $k$ in die Nebenbedingung ein und löse diese nach $y$ (oder auch nach $x$) auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{r c l l}x+2y+\color{red}{\frac 12 x\pi}&=&b&|\,-x-\frac 12 x\pi\\2y&=&b-x-\frac 12 x\pi &|\;:2\\y&=&\frac 12 b- x(\frac 12 + \frac 14 \pi)&|\;\text{Setze y in V(x;y) ein}\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {r c l l}V(\color{red}{x})&=&\displaystyle [x\cdot \color{red}{(}\frac 12 b- x(\frac 12 + \frac 14 \pi )\color{red}{)}-x^2\cdot \frac{\pi}{8}]\cdot a\\&=&[\displaystyle \frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac 14\pi)-x^2\cdot \frac {\pi}{8}]\cdot a\\&=&\displaystyle [\frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac 14\pi+\frac{\pi}{8})]\cdot a\\&=&\displaystyle [\frac 12 bx - x^2(\frac 12 + \frac{3\pi}{8})]\cdot a\\V(x)&=&\displaystyle (\frac 12 bx - \frac{4+3\pi}{8}x^2)\cdot a\end{array}$

Berechne $V'(x)$ und $V''(x)$.

Setze $V'(x)$ gleich Null und löse nach $x$ auf.

Da $V''(x)$ für jedes $x$ negativ ist, ergibt sich für das Volumen ein Maximum.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ r c l l}\displaystyle \frac 12 b - \frac{4+3\pi}{4}\cdot x_{max}&=&0\\\displaystyle \frac{4+3\pi}{4}\cdot x_{max}&=&\frac 12 b&|\;:\frac {4+3\pi}{4}\\x_{max}&=&\displaystyle \frac{4b}{2(4+3\pi)}\\x_{max}&=&\displaystyle\frac{2b}{4+3\pi}\end{array}$

Für die maximale Halbkreislinie $k$ ergibt dies:

$k_{max}=\displaystyle \frac 12\cdot \color{red}{\frac{2b}{4+3\pi}}\cdot \pi$

$k_{max}=\displaystyle \frac {b\pi}{4+3\pi}$

Setze $x_{max}$ in $y=\frac 12 b-x(\frac 12 + \frac 14 \pi)$ ein, um die maximale y-Kantenlinie des Körpers zu erhalten:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l c l l} y_{max}&=&\displaystyle \frac {b}{2}-\frac{2b}{(4+3\pi)}\cdot (\frac 12 + \frac 14 \pi)&|\,\text{HN}\\&=&\displaystyle \frac b2-\frac{2b}{(4+3\pi)} \cdot \frac{2+\pi}{4}&|\,\text{kürzen}\\&=&\displaystyle \frac b2 -\frac b2 \cdot \frac{2+\pi}{4+3\pi}&|\,\text{ausklammern}\\&=&\displaystyle \frac b2 (1-\frac{2+\pi}{4+3\pi})&|\,\text{HN}\\&=&\displaystyle \frac b2 \cdot \frac{4+3\pi-2-\pi}{4+3\pi}&|\,\text{zusammenfassen}\\&=&\displaystyle\frac b2 \cdot\frac{2+2\pi}{4+3\pi}&|\,\text{kürzen}\\y_{max}&=&\displaystyle b \cdot \frac {1+\pi}{4+3\pi}\end{array}$