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Komplexere Anwendungsaufgaben mit Extremwertproblemen

Absolut extrem! Mit diesen Anwendungsaufgaben lernst du, Extremwertprobleme zu lösen und vertiefst dein Wissen.

  1. 1

    Ein Versandhaus verschickt seine Artikel weltweit als Päckchen der Deutschen Post AG (DHL) mit deren Gebührenordnung für quaderförmige Päckchen international. Aus verpackungstechnischen Gründen des Versandhauses ist die Länge einer Seite mit 35cm35\,\mathrm{cm} festgelegt.

    Die Päckchen müssen Mindestmaße einhalten.

    Für die Maximalgröße ist beim Tarif Päckchen international die Summe aus Länge, Breite und Höhe begrenzt und keine der Seiten darf länger als 60cm60\,\mathrm{cm} sein.

    Das Maximalgewicht für Päckchen ist 2kg2\,\mathrm{kg}.

    Bild
    1. Bestimme für ein Volumen von V=21dm3V=21\,\mathrm{dm^3} den Zusammenhang von Breite und Höhe.

    2. Wie groß ist das für eine vorgegebene Seitenlänge von 35cm35\,\mathrm{cm} erreichbare maximale Volumen eines Päckchens?

    3. Verallgemeinere die Teilaufgabe b) indem du zeigst, dass für jede vorgegebene zugelassene Päckchenseitenlänge l  (1cml60cm)l \;(1\,\text{cm}\leq \,l\,\leq60\,\text{cm}) das Päckchen mit dem größtmöglichen Volumen einen quadratischen Querschnitt besitzt.

    4. Gibt die Funktion für das maximale Volumen eines Päckchens in Abhängigkeit von einer vorgegebenen zulässigen Päckchenseitenlänge l  (1cml60cm)l\;(1\,\text{cm}\leq \,l\,\leq\,60\,\text{cm}) an.

  2. 2

    Langfristige Klimaprognosen prophezeien auch für unser Wetter zunehmende Sturmschäden, von denen auch Bahnstrecken betroffen sein können.

    \quad\quad

    Sturmschaden
    Skizze der Situation in einem Koordinatensystem

    Neben der Bahnlinie b(x)=0,5x+1b(x)=0{,}5x+1 steht im Punkt A(51)A(5|1) eine 20m20\,m hohe Fichte.

    Ob sie für die Bahnstrecke eine Gefahr darstellt?

  3. 3

    Zwischen einer Straße und einem Bach soll als Hochwasserschutz ein Damm errichtet werden.

    Aus technischen Gründen ist dies aber nur möglich, wenn der Bach der Straße auf höchstens 5 m nahekommt.

    Bild

    Berechne, ob der Schutzdamm bei dem gegebenen Geländeplan (1LE = 10 m) gebaut werden kann, wenn der Bach dem Graphen der Funktion f(x)=2xf(x)=2^xund die Straße dem Graphen der Funktion s(x)=xs(x)=x folgen.

    Bild
  4. 4

    Aus einer rechteckigen Blechtafel der Länge aLEa\,LE% und der Breite bLEb\,LE soll eine Dachrinne (Länge aa) hergestellt werden, die maximales Wasservolumen aufnehmen kann.

    Blechtafel
    1. Die Blechtafel wird V-förmig gebogen.

      Welcher "Knickwinkel" ist zu wählen? Welches maximale Wasservolumen ergibt sich?

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    2. Die Blechtafel wird rechteckig gebogen. Wie ist das Blech zu biegen, damit sich ein maximales Wasservolumen ergibt?

      rechteckige Dachrinne
    3. Die Blechtafel wird halbkreisförmig gebogen. Welches Wasservolumen ergibt sich?

      Vergleiche die Ergebnisse der drei Teilaufgaben.

      Dachrinne halbkreisförmig
  5. 5

    Eine rechteckige Blechtafel mit den Seitenlängen aLEa\,LE und bLEb\,LE wird zu einem quaderförmigen Gegenstand so geknickt und gebogen, dass dieser an der oberen Mantelfläche halbkreisförmig eingedellt ist. Der Körper sei durch seine beiden Grundflächen abgeschlossen. (Siehe die nachfolgende Skizze.)

    Bild
    1. Bestimme das größtmögliche Volumen eines solchen Körpers.

    2. Bestimme seine Mantelfläche.

    3. Berechne die größtmögliche Oberfläche des Körpers.

    4. Welche Kantenmaße hat dieser größtmögliche Körper für b=10mb=10\,m und a=5ma=5\,m?

  6. 6
    Bild

    Eine Wüstenrallye gewinnt

    1. bei einer "traditionellen" Rallye, wer als Erster am Ziel ankommt,

    2. bei einer "alternativen" Rallye, wer den geringsten Bezinverbrauch hat.

    Vor dem Start steht das Team vor folgendem Problem:

    Der Startort liegt mitten in der Wüste und ist 50km50\,\text{km} vom Zielort entfernt.

    Der direkte Weg zum Ziel führt durch den Wüstensand. Dort kann das Fahrzeug des Teams eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 60km/h60\,\text{km/h}bei einem Durchschnittsverbrauch von 20Liter/100km20\,\text{Liter/100km} erreichen.

    In 30km30\,\text{km} Entfernung vom Standort führt allerdings eine schnurgerade Karawanenstraße zum Zielort. Dort könnte das Fahrzeug eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100km/h100\,\text{km/h}% bei einem Durchschnittsverbrauch von nur 4Liter/100km4\,\text{Liter/100km} fahren.

    1. Welche Route wird das Team bei der traditionellen Rallye wählen?

    2. Welche Route wird das Team bei einer alternativen wählen, wenn es jede Route zwischen Startort, Straße und Zielort fahren kann? Nach welcher Zeit bzw. mit welchem Verbrauch wird es jeweils das Ziel erreichen?


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