Berechne den Abstand d(x) eines beliebigen Punktes $P(x\mathrm{\mid }{2}^x)P(x\backslash vert2^x)$ des Bachs von der Straße.

Benutze dazu im gleichschenkligen Dreieck den Satz des Pythagoras.

$d^2(x)+d^2(x)={(2^x-x)}^{2}d^2(x)+d^2(x)=\backslash left(2^x-x\backslash right)^2$

$d^2(x)=\frac{1}{2}\cdot {(2^x-x)}^{2}d^2(x)=\backslash frac12\backslash cdot\backslash left(2^x-x\backslash right)^2$

$d(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (2^x-x)d(x)=\backslash frac1\{\backslash sqrt2\}\backslash cdot\backslash left(2^x-x\backslash right)$

Um das Minimum von $d(x)d(x)$ zu berechnen, brauchst du mit Hilfe der Ableitung der Exponentialfunktion $2^{x}2^x$ die Ableitung $d^{\mathrm{\prime }}(x)d\text{'}(x)$.

$d^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ln (2)\cdot 2^x-1)d\text{'}(x)=\backslash frac1\{\backslash sqrt2\}\backslash left(\backslash ln(2)\backslash cdot2^x-1\backslash right)$

Setze $d^{\mathrm{\prime }}(x)=0d\text{'}(x)=0$ um das Minimum von d(x) zu berechnen.

$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot (\ln (2)\cdot 2^x-1)=0\backslash frac1\{\backslash sqrt2\}\backslash cdot\backslash left(\backslash ln(2)\backslash cdot2^x-1\backslash right)=0$

der 2. Faktor muss 0 werden

$\ln (2)\cdot 2^x-1=0\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ln(2)\backslash cdot2^x-1=0$

nach $2^{x}2^x$ auflösen

${\displaystyle 2^x=\frac{1}{\ln (2)}}\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash displaystyle\; 2^x=\backslash frac1\{\backslash ln(2)\}$

nach x mit Hilfe einer Logarithmusfunktion auflösen

${\displaystyle x=\frac{1}{\ln (2)}\cdot \ln \left(\frac{1}{\ln (2)}\right)}\backslash displaystyle\; x=\backslash frac1\{\backslash ln(2)\}\backslash cdot\backslash ln\backslash left(\backslash frac1\{\backslash ln(2)\}\backslash right)$

$x\approx \mathrm{0,53}x\backslash approx0\{,\}53$

Noch fehlt der Nachweis, dass $x\approx \mathrm{0,53}x\backslash approx0\{,\}53$ tasächlich ein Abstandsminimum liefert.

Da $2^{x}2^x$ streng monton steigend ist, gilt: und $d^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{0,53}+h)>0d\text{'}(0\{,\}53+h)>0$.Damit liefert $x\approx \mathrm{0,53}x\backslash approx0\{,\}53$ das Abstandsminimum.

Berechne $d(\mathrm{0,53})d(0\{,\}53)$.

Bestätige das Rechenergebnis am nebenstehenden Applet.

Verschiebe dazu den Punkt P auf dem Fluss und lies den jeweiligen Abstand d zur Straße ab. Beachte dabei: 1 LE = 10 m.

Bilde die Ableitung der Exponentialfunktion.

$f(x)=2^x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln (2)\cdot 2^{x}f(x)=2^x\backslash Rightarrow\; f\text{'}(x)=\backslash ln(2)\backslash cdot2^x$

Setze $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ gleich 1.

$\ln (2)\cdot 2^x=1\backslash ln(2)\backslash cdot2^x=1$

Teile durch $\ln (2)\backslash ln(2)$

${\displaystyle 2^x=\frac{1}{\ln (2)}}\backslash displaystyle\; 2^x=\backslash frac1\{\backslash ln(2)\}$

Löse die Gleichung durch Logarithmieren.

${\displaystyle x=\frac{1}{\ln (2)}\cdot \ln \left(\frac{1}{\ln (2)}\right)}\backslash displaystyle\; x=\backslash frac1\{\backslash ln(2)\}\backslash cdot\backslash ln\backslash left(\backslash frac1\{\backslash ln(2)\}\backslash right)$

Einsatz des Taschenrechners.

$x\approx \mathrm{0,53}x\backslash approx0\{,\}53$

Setze $x=\mathrm{0,53}x=0\{,\}53$ und berechne den Näherungswert der y-Koordinate.

$P(\mathrm{0,53}\mathrm{\mid }\mathrm{1,44})P(0\{,\}53\backslash vert1\{,\}44)$

HNF von s:

Du erhältst den gesuchten Abstand $d(P;s)d(P;s)$, wenn du die Koordinaten von P in die linke Seite der HNF einsetzt.

$d_{min}=d(P;s)\approx \mathrm{0,64}d\_\{min\}=\backslash ;d(P;s)\backslash approx0\{,\}64$

Der geringfügige Unterschied zum ersten Ergebnis resultiert aus dem Rundungswert der y-Koordinate von P.