Berechne den Abstand d(x) eines beliebigen Punktes $P(x\vert2^x)$ des Bachs von der Straße.

Benutze dazu im gleichschenkligen Dreieck den Satz des Pythagoras.

$d^2(x)+d^2(x)=\left(2^x-x\right)^2$

$d^2(x)=\frac12\cdot\left(2^x-x\right)^2$

$d(x)=\frac1{\sqrt2}\cdot\left(2^x-x\right)$

Um das Minimum von $d(x)$ zu berechnen, brauchst du mit Hilfe der Ableitung der Exponentialfunktion $2^x$ die Ableitung $d'(x)$.

$d'(x)=\frac1{\sqrt2}\left(\ln(2)\cdot2^x-1\right)$

Setze $d'(x)=0$ um das Minimum von d(x) zu berechnen.

$\frac1{\sqrt2}\cdot\left(\ln(2)\cdot2^x-1\right)=0$

der 2. Faktor muss 0 werden

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ln(2)\cdot2^x-1=0$

nach $2^x$ auflösen

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle 2^x=\frac1{\ln(2)}$

nach x mit Hilfe einer Logarithmusfunktion auflösen

$\displaystyle x=\frac1{\ln(2)}\cdot\ln\left(\frac1{\ln(2)}\right)$

$x\approx0{,}53$

Noch fehlt der Nachweis, dass $x\approx0{,}53$ tasächlich ein Abstandsminimum liefert.

Da $2^x$ streng monton steigend ist, gilt:$d'(0{,}53-h)<0$ und $d'(0{,}53+h)>0$.Damit liefert $x\approx0{,}53$ das Abstandsminimum.

Berechne $d(0{,}53)$.

Bestätige das Rechenergebnis am nebenstehenden Applet.

Verschiebe dazu den Punkt P auf dem Fluss und lies den jeweiligen Abstand d zur Straße ab. Beachte dabei: 1 LE = 10 m.

Bilde die Ableitung der Exponentialfunktion.

$f(x)=2^x\Rightarrow f'(x)=\ln(2)\cdot2^x$

Setze $f'(x)$ gleich 1.

$\ln(2)\cdot2^x=1$

Teile durch $\ln(2)$

$\displaystyle 2^x=\frac1{\ln(2)}$

Löse die Gleichung durch Logarithmieren.

$\displaystyle x=\frac1{\ln(2)}\cdot\ln\left(\frac1{\ln(2)}\right)$

Einsatz des Taschenrechners.

$x\approx0{,}53$

Setze $x=0{,}53$ und berechne den Näherungswert der y-Koordinate.

$P(0{,}53\vert1{,}44)$

HNF von s:

Du erhältst den gesuchten Abstand $d(P;s)$, wenn du die Koordinaten von P in die linke Seite der HNF einsetzt.

$d_{min}=\;d(P;s)\approx0{,}64$

Der geringfügige Unterschied zum ersten Ergebnis resultiert aus dem Rundungswert der y-Koordinate von P.