Da die rechteckige Blechtafel V-förmig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Höhe $a$.

Für das Volumen der geknickten Dachrinne gilt somit:

$V_\text{Dachrinne}=\,\text{Dreiecksfläche}_{\triangle ABC}\;\cdot a$

Und da der Buchstabe V achsensymmmetrisch ist, ist die Grundfläche des Prismas ein gleichschenkliges Dreieck mit der vorgegebenen Schenkellänge $\displaystyle \frac b2$, dessen Flächeninhalt A vom Knickwinkel $\gamma$ abhängt.

$\gamma$ ist ein Winkel zwischen $0°$ und $180°$.

Die Abhängigkeit der Dreiecksfläche $A_{\triangle ABC}$ von $\gamma$ kannst du an dem gegebenen Applet für $b=4\,LE$ nachvollziehen.

Wegen des fest vorgegebenen Wertes $a$ für die Höhe des Prismas ist sein Volumen dann am größten, wenn die Dreiecksfläche $A_{\triangle ABC}$ maximal ist.

Als Zielfunktion für die Extremwertaufgabe, das größtmögliche Dachrinnenvolumen zu ermitteln, verwendest du im weiteren deshalb die von $\gamma$ abhängige Dreiecksfläche.

Das Applet macht deutlich, dass sowohl die Grundlinie wie auch die Höhe des Dreiecks vom Knickwinkel $\gamma$ abhängen und mit diesem variieren.

Für die Dreiecksfläche der Grundfläche des Prismas gilt:

$A_{\triangle ABC}=\frac12 \cdot \text {Grundlinie}\cdot\text{Höhe}$

Also ergibt sich die

Zielfunktion

$A(c;h)=c\cdot h$

mit $c\in[0;b/2]$ und $h\in[0;b/2]$

Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ enthält das rechtwinklige Teildreieck $BMC$ mit der gegebenen Hypotenusenlänge $b/2$ und dem variierenden Winkel $\gamma/2$.

Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen $Sinus$ und $Cosinus$ kannst du nun die Dreiecksfläche als Funktion des Knickwinkels $\gamma$ darstellen.

1. Nebenbedingung

$\displaystyle sin\frac{\gamma}{2}=\frac {c}{\frac b 2}$

2. Nebenbedingung

$\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}=\frac{h}{\frac b2}$

Löse die 1. Nebenbedingung nach $c$ und die 2. Nebenbedingung nach $h$ auf.

$\displaystyle c=\frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}$

$\displaystyle h=\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}$

Setze $c$ und $h$ in $A(c;h)$ ein, um die Dreiecksfläche als Funktion von $\gamma$ zu erhalten.

Erinnerung: $b$ ist ein konstanter Wert.

Zielfunktion

$\displaystyle A(\gamma)=\left( \frac b2 \cdot sin\frac{\gamma}{2}\right )\cdot \left (\frac b2 \cdot cos\frac{\gamma}{2}\right )$

Fasse zusammen.

$\displaystyle A(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot sin\frac{\gamma}{2} \cdot cos\frac{\gamma}{2}$

Bilde unter Verwendung der Produktregel und der Kettenregel die Ableitung $A'(\gamma)$.

$A'(\gamma)=\frac{b^2}{4}\cdot (\underbrace{\underbrace{\frac 12 cos\frac {\gamma}{2}}_{\color{red}\text{Kettenregel}}-\underbrace{\frac 12 sin\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}\text{Kettenregel}}}_{\color{red}\text{Produktregel}})\quad|\;\frac 12\; \text{ausklammern}$

$\displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})$

Setze $A'(\frac{\gamma}{2})$ gleich Null um zu berechnen, für welchen Knickwinkel $\gamma$ die Grundfläche des Dachrinnenprimas maximal sein kann.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\displaystyle \frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})&=&0&|\;:\displaystyle \frac{b^2}{8}\\\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2}&=&0&|\; \displaystyle+ sin\frac{\gamma}{2}\\\displaystyle cos\frac{\gamma}{2}&=& \displaystyle sin\frac{\gamma}{2}&|\;\displaystyle :cos\frac{\gamma}{2}\\1&= &\displaystyle tan\frac{\gamma}{2}&|\; tan^{-1}\\\displaystyle \frac{\gamma}{2}&=&45°&|\;\cdot2\\\gamma&=&90°\end{array}$

Um nachzuweisen, dass $A(\gamma)$ für $\gamma=90°$ tatsächlich maximal ist, hast du zwei Möglichkeiten.

Möglichkeit 1

Bilde die 2. Ableitung von $A(\gamma)$.

$\displaystyle A'(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (cos\frac{\gamma}{2}-sin\frac{\gamma}{2})\;\Rightarrow$

$\displaystyle A''(\gamma)=\frac{b^2}{8}\cdot (\underbrace{-\frac12 sin\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}}-\underbrace{\frac12 cos\frac{\gamma}{2}}_{\color{red}{\text{Kettenregel}}})$

$-\frac12$ ausklammern

$\displaystyle A''(\gamma)=-\frac{b^2}{16}\cdot (sin\frac{\gamma}{2}+cos\frac{\gamma}{2})$

Setze $\gamma=\ 90°$ ein:

$\displaystyle A''(90°)=-\frac{b^2}{16}\cdot (\frac12 \sqrt{2}+\frac12 \sqrt{2})\;\color{red}{<}\,0\;\Rightarrow$

$\gamma=90°$ liefert maximalen Flächeninhalt des Grunddreiecks.

Möglichkeit 2 ohne Benutzung der 2. Ableitung:

Die Funktion $A(\gamma)$ hat für die Randpunkte des Definitionsbereichs ($\gamma=0°$ und $\gamma=180°$) ihr Minimum $0$. Dann liefert das (einzige) lokale Extremum dazwischen ein Maximum.

$A(0°)=0$ und $A(180°)=0\quad\Rightarrow\quad A(90°)\;\text{liefert ein Maximum.}$

Für das Volumen der v-förmig geknickten Dachrinne galt:

$V_\text{Dachrinne}=\text{Dreiecksfläche}\cdot a$.

Somit ergibt sich für das größtmöglichde Volumen dieser Dachrinne:

$\displaystyle V_{max}=\frac{b^2}{4} \cdot sin(45°)\cdot cos(45°)\cdot a$.

Also:

$\displaystyle V_{max}=\frac18ab^2$

Da die Blechtafel rechtwinklig geknickt wird, entsteht aus dem ebenen Rechteck ein Quader mit der Höhe a und einem Rechteck mit den Seitenlängen $x$ und $y$ als Grundfläche.

Für das Volumen des Quaders gilt somit:

$V_\text{Quader}=\text{Grundfläche}\cdot\;a$

Da das Volumen des Quaders maximal werden soll, erhältst du folgende

Zielfunktion

mit $\displaystyle x\in \;]0;\frac b2 [\;$ und $y\in ]0;b[$ und der Konstanten $a$.

Da die Blechtafel achsensymmetrisch zur Seite $b$ geknickt wird ergibt sich als

Nebenbedingung

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}2x+y&=b\\y&=b-2x \end{aligned}$

Setze y in $V(x;y)$ ein.

$V(x)=x\cdot (b-2x)\cdot a$

$V(x)=(-2x^2+bx)\cdot a$

Bilde $V'(x)$.

$V'(x)=(-4x+b)\cdot a$

Setze $V'(x)$ gleich Null und löse nach $X$ auf.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {rcll}(-4x+b)\cdot a &=&0&| :a\\-4x+b&=&0\\x&=&\displaystyle \frac b4 \end{array}$

Argumentiere, dass sich für $x=b/4$ ein Maximum ergibt.

Es gilt:

$A''(\gamma)=-4a\;\color{red}{<}\;0$.

$A''(x)$ ist also eine negative Konstante.

Das Extremum ist also ein Maximum.

Ohne Benutzung der 2. Ableitung kannst du auch so argumentieren:

Der Graph der Funktion $A(\gamma)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Das lokale Extremum deshalb ein Maximum.

$x=\frac{b}{4}$ in $V(x)=(-2x^2+bx)\cdot a$ eingesetzt, ergibt das größtmögliche Volumen $V_{max}$ dieser Dachrinne:

$\displaystyle V_{max}=(-2 \cdot \frac {b^2}{16}+b\cdot \frac b4 ) \cdot a$

Also:

$\displaystyle V_{max}= \frac{ab^2}{8}$

Diese Teilaufgabe ist keine Extremwertaufgabe. Das halbkreisförmig gebogene Blechrechteck ergibt eine Zylinderhälfte der Höhe $a$. Dessen Volumen ist mit den Ergebnissen der Teilaufgaben a) und b) zu vergleichen.

Der Umfang des (ganzen) Grundkreises ist $2b$.

Dann gilt für den Radius $r$:

$2r\pi=2b\quad\Rightarrow\quad r=\displaystyle \frac{b}{\pi}$

Die Dachrinne, d.h. der halbe Zylinder, hat dann folgendes Volumen:

$V_{Rinne} = \displaystyle \frac 12 \cdot \left (\frac{b}{\pi}\right)^2 \cdot \pi \cdot a$.

Damit ergibt sich:

$V_{Rinne}= \displaystyle \frac{1}{2\pi}\cdot a\cdot b^2\quad\approx0{,}16ab^2$

Der Vergleich der drei Teilaufgaben ergibt:

Die beiden maximalen Dachrinnenvolumina der Teilaufgaben a) und b) sind mit $0{,}125ab^2$ gleich und kleiner als das halbkreisförmig gebogene Volumen der Teilaufgabe c) mit $0{,}16ab^2$. Dieses ist somit um rund $28\%$ größer als das Maximum jeder geknickten Rinne.