Der gesuchte Repräsentant ist $f_{\mathrm{1,5}}\left(x\right)=\mathrm{0,5}x+2f\_\{1\{,\}5\}\backslash left(x\backslash right)=0\{,\}5x+2$

$f_{\mathrm{1,5}}\left(x\right)=\mathrm{0,5}x+2f\_\{1\{,\}5\}\backslash left(x\backslash right)=0\{,\}5x+2$ hat eine Nullstelle bei $x=-4x=-4$

Term nullsetzen

Fallunterscheidung

Laut Angabe darf für den Parameter $aa$ jede Zahl eingesetzt werden ($a\in \mathbb{R}a\backslash in\backslash mathbb\; R$)

Da die Nullstelle den Parameter $aa$ im Nenner des Bruchs hat, muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden, denn:

Der Nenner hat den Wert 0, wenn $a=1a=1$. Man unterscheidet also die zwei Fälle $a=1a=1$ und $a\mathrm{\ne }1a\backslash ne1$:

$a\mathrm{\ne }1:a\backslash ne1:$ Die Nullstelle liegt bei $x=-\frac{2}{a-1}x=-\backslash frac\{2\}\{a-1\}$, also $N(-\frac{2}{a-1}\mathrm{\mid }0)N\backslash left(-\backslash frac\{2\}\{a-1\}|0\backslash right)$

$a=1:a=1:$ Es gibt keine Nullstelle, denn $x=-\frac{2}{1-1}=-\frac{2}{0}x=-\backslash frac\{2\}\{1-1\}=-\backslash frac\{2\}\{0\}$ hat keine Lösung.

(Der Graph ist eine waagerechte Gerade, die Funktion ist die konstante Funktion $f_1\left(x\right)=2f\_1\backslash left(x\backslash right)=2$)

Parallelenschar

Ist die Geradenschar eine Parallelenschar, so haben alle Repräsentanten die gleiche Steigung.

In dieser Geradenschar ist die Steigung $m=(a-1)m=\backslash left(a-1\backslash right)$ abhängig vom Parameterwert a. Je nachdem, was a ist, ergibt sich also eine andere Steigung.

Deshalb handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.

Fallunterscheidung für steigende und fallende Geraden

Eine Gerade steigt, wenn der Wert von m positiv ist und fällt, wenn der Wert negativ ist. Für $m=0m=0$ handelt es sich um eine konstante Funktion deren Graph eine waagerechte Gerade ist.

Untersuche, wann die Steigung positiv/negativ/null ist:

Für $a=1a=1$ ist die Steigung $m=0m=0$ und die zugehörige Gerade ist parallel zur x-Achse.

Für $a>1a>1$ ist die Steigung $m=a-1m=a-1$ positiv und die zugehörige Gerade steigt.

Für ist die Steiung $m=a-1m=a-1$ negativ und die zugehörige Gerade fällt.

Schnittpunkt von zwei Repräsentanten

$f_a\left(x\right)=(a-1)x+2f\_a\backslash left(x\backslash right)=\backslash left(a-1\backslash right)x+2$

Suche dir zwei möglichst einfache Repräsentanten aus:

$f_0\left(x\right)=-x+2f\_0\backslash left(x\backslash right)=-x+2$

$f_1\left(x\right)=2f\_1\backslash left(x\backslash right)=2$

Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Repräsentanten:

Nachweis Büschelpunkt durch Einsetzen in den Term der Schar:

$f_a\left(0\right)=(a-1)\cdot 0+2=2f\_a\backslash left(0\backslash right)=\backslash left(a-1\backslash right)\backslash cdot0+2=2$

Der Termwert ist unabhängig vom Parameterwert a, deshalb ist der y-Achsenabschnitt B(0|2) Büschelpunkt der Geradenschar.