Aufgaben zu Geradenscharen - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Geradenschar $f_{a} (x) = (a - 1) x + 2$ mit $D_{f_{a}} = ℝ$ und $a \in ℝ$

Gib den Term des Repräsentanten $f_{2,5}$ an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
Setze $a = 2,5$ in die Funktionsgleichung ein:
↓
$f_{2,5} (x)$ $=$ $(2,5 - 1) x + 2$
↓
Fasse den Term zusammen
$=$ $1,5 x + 2$
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Um einen konkreten Repräsentanten zu bekommen, setze den gewünschten Wert für den Parameter ein.
Ermittle den Repräsentanten, der durch $P (2 | 3)$ verläuft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
$f_{a} (x)$ $=$ $(a - 1) x + 2$
↓
Setze P ein
$3$ $=$ $(a - 1) \cdot 2 + 2$
$3$ $=$ $2 a - 2 + 2$ $: 2$
$1,5$ $=$ $a$
Der gesuchte Repräsentant ist $f_{1,5} (x) = 0,5 x + 2$
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Um einen Repräsentanten durch einen Punkt zu bestimmen, setze den Punkt in die Funktionsgleichung der Geradenschar ein.
Ermittle den Wert des Parameters so, dass der zugehörige Repräsentant die Nullstelle $x = - 4$ hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
$f_{a} (x)$ $=$ $(a - 1) x + 2$
↓
An der Nullstelle x=-4 ist der Funktionswert 0. Setze die Werte ein
$0$ $=$ $(a - 1) \cdot (- 4) + 2$ $- 2$
$- 2$ $=$ $- 4 a + 4$ $- 4$
$- 6$ $=$ $- 4 a$ $: (- 4)$
$1,5$ $=$ $a$
$f_{1,5} (x) = 0,5 x + 2$ hat eine Nullstelle bei $x = - 4$
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Setze den Funktionsterm mit 0 gleich und setze die Nullstelle in die Gleichung der Funktionenschar ein.
Bestimme die Nullstelle der Geradenschar in Abhängigkeit von a

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung
Term nullsetzen
$f_{a (x)}$ $=$ $0$
↓
Löse nach x auf, nicht nach dem Parameter a!
$(a - 1) x + 2$ $=$ $0$ $- 2$
$(a - 1) x$ $=$ $- 2$ $: (a - 1)$
$x$ $=$ $- \frac{2}{a - 1}$
Fallunterscheidung
Laut Angabe darf für den Parameter $a$ jede Zahl eingesetzt werden ( $a \in ℝ$ )
Da die Nullstelle den Parameter $a$ im Nenner des Bruchs hat, muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden, denn:
Merke
Es darf nicht durch die Zahl 0 dividiert werden.
Der Nenner hat den Wert 0, wenn $a = 1$ . Man unterscheidet also die zwei Fälle $a = 1$ und $a \neq 1$ :
$a \neq 1 :$ Die Nullstelle liegt bei $x = - \frac{2}{a - 1}$ , also $N (- \frac{2}{a - 1} | 0)$
$a = 1 :$ Es gibt keine Nullstelle, denn $x = - \frac{2}{1 - 1} = - \frac{2}{0}$ hat keine Lösung.
(Der Graph ist eine waagerechte Gerade, die Funktion ist die konstante Funktion $f_{1} (x) = 2$ )
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Gehe vor wie gewohnt und setze die Funktion mit 0 gleich.
Löse anschließend die Gleichung nach der Variable x auf. Du bekommst ein Ergebnis in Abhängigkeit von a.
Führe ggf. eine Fallunterscheidung durch.
Entscheide, ob es sich um eine Parallelenschar handelt. Bestimme anschließend, für welche Werte von a die zugehörigen Repräsentanten steigende bzw. fallende Geraden sind.
- Ja
- Nein
- Nicht entscheidbar
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Parallelenschar
Ist die Geradenschar eine Parallelenschar, so haben alle Repräsentanten die gleiche Steigung.
In dieser Geradenschar ist die Steigung $m = (a - 1)$ abhängig vom Parameterwert a. Je nachdem, was a ist, ergibt sich also eine andere Steigung.
Deshalb handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Fallunterscheidung für steigende und fallende Geraden
Eine Gerade steigt, wenn der Wert von m positiv ist und fällt, wenn der Wert negativ ist. Für $m = 0$ handelt es sich um eine konstante Funktion deren Graph eine waagerechte Gerade ist.
Untersuche, wann die Steigung positiv/negativ/null ist:
$0$ $=$ $m$
$0$ $=$ $a - 1$ $+ 1$
$1$ $=$ $a$
Für $a = 1$ ist die Steigung $m = 0$ und die zugehörige Gerade ist parallel zur x-Achse.
Für $a > 1$ ist die Steigung $m = a - 1$ positiv und die zugehörige Gerade steigt.
Für $a < 1$ ist die Steiung $m = a - 1$ negativ und die zugehörige Gerade fällt.
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Betrachte die Steigung der Geradenschar. Ist diese immer gleich?
Wann ist sie positiv, wann negativ?
Untersuche, ob die Geradenschar einen Büschelpunkt hat und bestimme gegebenenfalls seine Koordinaten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Schnittpunkt von zwei Repräsentanten
$f_{a} (x) = (a - 1) x + 2$
Suche dir zwei möglichst einfache Repräsentanten aus:
$f_{0} (x) = - x + 2$
$f_{1} (x) = 2$
Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Repräsentanten:
$f_{0} (x)$ $=$ $f_{1} (x)$
$- x + 2$ $=$ $2$ $- 2$
$- x$ $=$ $0$
$x$ $=$ $0$
Nachweis Büschelpunkt durch Einsetzen in den Term der Schar:
$f_{a} (0) = (a - 1) \cdot 0 + 2 = 2$
Der Termwert ist unabhängig vom Parameterwert a, deshalb ist der y-Achsenabschnitt B(0|2) Büschelpunkt der Geradenschar.
VorsichtHinweis zum Büschelpunkt
Der Büschelpunkt muss nicht immer auf der y-Achse liegen!
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Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunktes von zwei Repräsentanten und setze anschließend in den Term der Schar ein.
Erhälst du als Funktionswert einen Wert, der unabhängig vom Parameter ist, so besitzt die Gerade einen Büschelpunkt.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Setze $a = 2,5$ in die Funktionsgleichung ein:
	↓
$f_{2,5} (x)$	$=$	$(2,5 - 1) x + 2$
	↓	Fasse den Term zusammen
	$=$	$1,5 x + 2$

$f_{a} (x)$	$=$	$(a - 1) x + 2$
	↓	Setze P ein
$3$	$=$	$(a - 1) \cdot 2 + 2$
$3$	$=$	$2 a - 2 + 2$	$: 2$
$1,5$	$=$	$a$

$f_{a} (x)$	$=$	$(a - 1) x + 2$
	↓	An der Nullstelle x=-4 ist der Funktionswert 0. Setze die Werte ein
$0$	$=$	$(a - 1) \cdot (- 4) + 2$	$- 2$
$- 2$	$=$	$- 4 a + 4$	$- 4$
$- 6$	$=$	$- 4 a$	$: (- 4)$
$1,5$	$=$	$a$

$f_{a (x)}$	$=$	$0$
	↓	Löse nach x auf, nicht nach dem Parameter a!
$(a - 1) x + 2$	$=$	$0$	$- 2$
$(a - 1) x$	$=$	$- 2$	$: (a - 1)$
$x$	$=$	$- \frac{2}{a - 1}$

$f_{0} (x)$	$=$	$f_{1} (x)$
$- x + 2$	$=$	$2$	$- 2$
$- x$	$=$	$0$
$x$	$=$	$0$

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Term nullsetzen

Fallunterscheidung

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Parallelenschar

Fallunterscheidung für steigende und fallende Geraden

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Schnittpunkt von zwei Repräsentanten

Nachweis Büschelpunkt durch Einsetzen in den Term der Schar:

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