Aufgaben zu Geradenscharen

Mit diesen gemischten Aufgaben, lernst du mit Parametern zu arbeiten und entdeckst interessante Eigenschaften von Geradenscharen!

1
Bestimme jeweils den gefragten Repräsentanten
1. $k_a\left(x\right)=2ax+4$ , Bestimme den Term von $k_2$
  $k_2\left(x\right)=4x+4$
  $k_2\left(x\right)=-4x+4$
  $k_2\left(x\right)=2x+4$
  $k_a\left(2\right)=4a+4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
  Ersetze überall in der Funktionsgleichung a durch 2 und verrechne soweit wie möglich:
  $k_2\left(x\right)=2\cdot2\cdot x+4=4x+4$
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  Setze den gewünschten Parameterwert in den Term der Funktion ein.
2. $h_i(x)=2-i+i^2x,$ Bestimme den Term von $h_{-2}$
  $h_{-2}\left(x\right)=4+4x$
  $h_{-2}\left(x\right)=4x$
  $h_{-2}\left(x\right)=-4x$
  $h_{-2}\left(x\right)=4-2x^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
  Ersetze überall in der Funktionsgleichung i durch -2 und verrechne soweit wie möglich:
  $h_{-2}\left(x\right)=2-\left(-2\right)+\left(-2\right)^2x=4+4x$
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  Setze den gewünschten Parameterwert in den Term der Funktion ein.
3. $f_{a;b}\left(x\right)=\left(a+b\right)x+2a+b$ , Bestimme $f_{3;-3}$
  $f_{3;-3}\left(x\right)=9$
  $f_{3;-3}\left(x\right)=6x+3$
  $f_{3;-3}\left(x\right)=3$
  $f_{3;-3}\left(x\right)=3x+9$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
  Ersetze überall in der Funktionsgleichung a durch 3 und b durch -3 und verrechne soweit wie möglich:
  $f_{3;-3}\left(x\right)=\left(3-3\right)x+2\cdot3+\left(-3\right)=3$
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  Setze den gewünschten Parameterwert in den Term der Funktion ein.
2
Gib für die Geradenscharen jeweils die Steigung und den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit vom Parameter an.
Entscheide anschließend, ob es sich um eine Parallelenschar handelt und für welche Parameterwerte die Graphen der zugehörigen Repräsentanten steigen, fallen oder waagerecht sind.
1. $f_a\left(x\right)=-2ax+1,\ a\in\mathbb{R}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
  Steigung und y-Achsenabschnitt
  Die Steigung ist $m=-2a$ (dieser Teil des Terms wird mit x multipliziert)
  Der y-Achsenabschnitt ist $t=1$ (dieser Teil des Terms steht ohne x)
  Parallelenschar oder Betrachtung der Steigung.
  Da die Steigung vom Parameter a abhängig ist, ist sie nicht für alle Repräsentanten gleich und es handelt sich nicht um eine Parallelenschar.
  Für $a=0$ ist die Steigung $m=-2\cdot0=0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)
  Für $a<0$ ist die Steigung $m=-2a$ positiv, denn das Produkt aus zwei negativen Zahlen ist eine positive Zahl. Die Gerade steigt.
  Für $a>0$ ist die Steigung $m=-2a$ negativ und die Gerade fällt.
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  Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
  Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m>0$ , fällt bei $m<0$ und ist waagerecht für $m=0$ .
2. $f_b\left(x\right)=b-\frac{1}{2}x+2,\ b\in\mathbb{R}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
  Steigung und y-Achsenabschnitt
  Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
  $f_b\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+b+2$
  Die Steigung ist $m=-\frac{1}{2}$ , der y-Achsenabschnitt ist $t=b+2$
  Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
  Da die Steigung $m=-\frac{1}{2}$ unabhängig vom Parameter b ist, sind alle Geraden der Schar parallel.
  Die Geraden der Parallelenschar sind monoton fallend.
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  Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
  Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m>0$ , fällt bei $m<0$ und ist waagerecht für $m=0$ .
3. $f_c\left(x\right)=4cx-5c-2x+1,\ c\in\mathbb{R}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
  Steigung und y-Achsenabschnitt
  Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
  $f_c\left(x\right)=4cx-2x-5c+1=\left(4c-2\right)x-5c+1$
  Die Steigung ist $m=4c-2$ , der y-Achsenabschnitt ist $t=-5c+1$
  Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
  Da die Steigung $m=4c-2$ abhängig vom Parameter c ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
  Bestimme, wann die Steigung $m=0$ ist, um daraus die drei Fälle für die Fallunterscheidung zu ermitteln.
  $\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle 4c-2$ $\displaystyle +2$
  $\displaystyle 2$ $=$ $\displaystyle 4c$ $\displaystyle :4$
  $\displaystyle \frac{1}{2}$ $=$ $\displaystyle c$
  Für $c=\frac{1}{2}$ ist $m=0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)
  Für $c>\frac{1}{2}$ ist die Steigung $m=4c-2$ positiv und die Gerade steigt monoton.
  Für $c<\frac{1}{2}$ ist die Steigung $m=4c-2$ negativ und die Gerade fällt monoton.
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  Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
  Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m>0$ , fällt bei $m<0$ und ist waagerecht für $m=0$ .
4. $f_d\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}x-4\right)\cdot d^2+d,\ d\in\mathbb{R}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
  Steigung und y-Achsenabschnitt
  Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
  $f_d\left(x\right)=\frac{1}{3}d^2x-4d^2+d$
  Die Steigung lautet $m=\frac{1}{3}d^2$ , der y-Achsenabschnitt ist $t=4d^2+d$
  Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
  Da die Steigung $m=\frac{1}{3}d^2$ abhängig vom Parameter d ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
  Für $d=0$ ist die Steigung $m=0$ und die zugehörige Gerade ist waagerecht. Sie ist nicht nur parallel zur x-Achse, sie liegt auf der x-Achse, da $f_0\left(x\right)=0$ .
  Da $d^2>0$ für alle $d\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ , ist $m=\frac{1}{3}d^2>0$ für alle übrigen Parameterwerte. Die zugehörigen Geraden sind also alle monoton steigend.
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  Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
  Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m>0$ , fällt bei $m<0$ und ist waagerecht für $m=0$ .

Gegeben ist die Geradenschar $f_a\left(x\right)=\left(a-3\right)x+2{,}5a$ .

Bestimme jeweils den Repräsentanten, der durch den angegebenen Punkt verläuft. Gib in das Eingabefeld den zugehörigen Parameterwert a ein.

A(2|-3)

B(-0,5|4,5)

Der Repräsentant hat eine Nullstelle bei $x=-3{,}75$

4
Du sollst prüfen, ob eine Geradenschar einen Büschelpunkt hat. Wähle alle Schritte aus, die du dazu tätigen musst.
- zwei Repräsentanten bestimmen
- Nullstellen der Repräsentanten bestimmen
- Nullstellen der Geradenschar in Abhängigkeit vom Parameter bestimmen
- y-Achsenabschnitt ablesen
- x-Koordinate des Schnittpunktes der Repräsentanten bestimmen
- x-Koordinate aus einem vorherigem Schritt in den Term der Geradenschar einsetzen
- x-Koordinate aus einem vorherigen Schritt in beide Repräsentanten einsetzen
- Prüfen, ob nach dem Einsetzen einer x-Koordinate ein Ergebnis herauskommt, das unabhängig vom Parameter ist
- Koordinaten des Büschelpunktes angeben, falls vorhanden
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Um einen Büschelpunkt nachzuweisen, musst du folgende Schritte nacheinander ausführen:
zwei Repräsentanten aus der Schar aussuchen (möglichst einfache)
Repräsentanten gleichsetzen und x-Koordinate des Schnittpunktes bestimmen
x-Koordinate in Geradenschar einsetzen
Falls Ergebnis unabhängig vom Parameter: Büschelpunkt vorhanden, sonst nicht
Falls Büschelpunkt vorhanden: Koordinaten des Büschelpunktes angeben (x-Wert aus Schnittpunktbestimmung, y-Wert aus Einsetzen in Geradenschar)

Gib eine Geradenschar an, die den gefragten Büschelpunkt und die gefragte Steigung besitzt.

Forme so um, dass der y-Achsenabschnitt ablesbar ist.

B(0|0) und $m=a$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term des Geradenbüschels über Büschelpunkt aufstellen
Einsetzen in Punkt-Steigungs-Form:
$f_a\left(x\right)=a\left(x-0\right)+0=ax$
Der y-Achsenabschnitt ist $t=0$
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Setze die gegebenen Angaben in die Punkt-Steigungs-Form einer Gerade ein.

B(-4|2) und $m=4b+1$

Stelle die Geradenschar auf die durch die angegebenen Punkte festgelegt ist. Forme den Term so um, dass Steigung und y-Achsenabschnitt erkennbar sind.

A(r|2) B(4r|-4)

P(2a|a+1) und Q(a+1|2)

Bestimme die Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter.

$f_a\left(x\right)=2x+4a-2$ wobei $a,x\in\mathbb{R}$

$f_b\left(x\right)=2bx-b$ wobei $b,x\in\mathbb{R}$

$f_c\left(x\right)=-cx+c+4x+2$ wobei $c,x\in\mathbb{R}$

$f_d\left(x\right)=\left(d^2+1\right)x+4$ wobei $d,x\in\mathbb{R}$

$f_{m,n}\left(x\right)=\left(m-2n\right)x+m-n$ wobei $m,n,x\in\mathbb{R}$

$f_k\left(x\right)=k^2x+4kx+4x-1$ wobei $k,x\in\mathbb{R}$

Gegeben ist die Geradenschar $f_a\left(x\right)=\left(a-1\right)x+2$ mit $D_{f_a}=\mathbb{R}$ und $a \in \mathbb R$

Gib den Term des Repräsentanten $f_{2{,}5}$ an.

Ermittle den Repräsentanten, der durch $P\left(2|3\right)$ verläuft.

Ermittle den Wert des Parameters so, dass der zugehörige Repräsentant die Nullstelle $x=-4$ hat.

Bestimme die Nullstelle der Geradenschar in Abhängigkeit von a

Entscheide, ob es sich um eine Parallelenschar handelt. Bestimme anschließend, für welche Werte von a die zugehörigen Repräsentanten steigende bzw. fallende Geraden sind.
- Ja
- Nein
- Nicht entscheidbar
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Parallelenschar
Ist die Geradenschar eine Parallelenschar, so haben alle Repräsentanten die gleiche Steigung.
In dieser Geradenschar ist die Steigung $m=\left(a-1\right)$ abhängig vom Parameterwert a. Je nachdem, was a ist, ergibt sich also eine andere Steigung.
Deshalb handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Fallunterscheidung für steigende und fallende Geraden
Eine Gerade steigt, wenn der Wert von m positiv ist und fällt, wenn der Wert negativ ist. Für $m=0$ handelt es sich um eine konstante Funktion deren Graph eine waagerechte Gerade ist.
Untersuche, wann die Steigung positiv/negativ/null ist:
$\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle m$
$\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle a-1$ $\displaystyle +1$
$\displaystyle 1$ $=$ $\displaystyle a$
Für $a=1$ ist die Steigung $m=0$ und die zugehörige Gerade ist parallel zur x-Achse.
Für $a>1$ ist die Steigung $m=a-1$ positiv und die zugehörige Gerade steigt.
Für $a<1$ ist die Steiung $m=a-1$ negativ und die zugehörige Gerade fällt.
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Betrachte die Steigung der Geradenschar. Ist diese immer gleich?
Wann ist sie positiv, wann negativ?

Untersuche, ob die Geradenschar einen Büschelpunkt hat und bestimme gegebenenfalls seine Koordinaten.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f_a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(a-3\right)x+2{,}5a$
	↓	Setze A ein
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle \left(a-3\right)\cdot2+2{,}5a$
	↓	Fasse den Term rechts zusammen
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle 2a-6+2{,}5a$
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle 4{,}5a-6$	$\displaystyle +6$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 4{,}5a$	$\displaystyle :4{,}5$
$\displaystyle \frac{2}{3}$	$=$	$\displaystyle a$

$\displaystyle f_a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(a-3\right)x+2{,}5a$
	↓	Setze B ein
$\displaystyle 4{,}5$	$=$	$\displaystyle \left(a-3\right)\cdot\left(-0{,}5\right)+2{,}5a$
$\displaystyle 4{,}5$	$=$	$\displaystyle -0{,}5a+1{,}5+2{,}5a$
$\displaystyle 4{,}5$	$=$	$\displaystyle 2a+1{,}5$	$\displaystyle -1{,}5$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 2a$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle 1{,}5$	$=$	$\displaystyle a$

$\displaystyle f_b\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(4b+1\right)\left(x+4\right)+2$
	↓	Multipliziere die Klammern aus.
	$=$	$\displaystyle 4bx+x+16b+4+2$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$\displaystyle \left(4b+1\right)x+16b+2$

$\displaystyle f_r\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle mx+t$
	↓	Setze m und A ein
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{r}\cdot r+t$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle -2+t$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle t$

$\displaystyle f_a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle mx+t$
	↓	Setze m und Q ein
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 1\cdot\left(a+1\right)+t$	$\displaystyle -a-1$
$\displaystyle 1-a$	$=$	$\displaystyle t$

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4c-2$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 4c$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle c$

$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
	↓	Setze die Werte von A und B ein
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{-4-2}{4r-r}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle -\frac{6}{3r}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{r}$

Setze den Term mit 0 gleich.
	↓
$\displaystyle f_a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 2x+4a-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4a+2$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 2-4a$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1-2a$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$\displaystyle f_b\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 2bx-b$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +b$
$\displaystyle 2bx$	$=$	$\displaystyle b$	$\displaystyle :2b$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{b}{2b}$

Setze die Funktion mit 0 gleich
	↓
$\displaystyle f_c\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -cx+c+4x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2-c$
$\displaystyle -cx+4x$	$=$	$\displaystyle -2-c$
	↓	Klammere auf der linken Seite x aus, um besser zu sehen, wodurch du dividieren musst.
$\displaystyle x\cdot\left(4-c\right)$	$=$	$\displaystyle -2-c$	$\displaystyle :\left(4-c\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-2-c}{4-c}$
	↓	Du kannst im Zähler ein Minus ausklammern, um den Bruchterm etwas schöner und handlicher zu machen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{2+c}{4-c}$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$\displaystyle f_d\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(d^2+1\right)x+4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle \left(d^2+1\right)x$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :\left(d^2+1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{4}{d^2+1}$

$\displaystyle d^2+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle -1$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$\displaystyle f_{m,n}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(m-2n\right)x+m-n$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -m+n$
$\displaystyle \left(m-2n\right)x$	$=$	$\displaystyle n-m$	$\displaystyle :\left(m-2n\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{n-m}{m-2n}$

$\displaystyle m-2n$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2n$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 2n$

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$\displaystyle f_k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle k^2x+4kx+4x-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Betrachte zunächst den Term auf der linken Seite. Klammere x aus den ersten drei Summanden aus, um die Steigung besser sichtbar zu machen.
$\displaystyle x\cdot\left(k^2+4k+4\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Innerhalb der Klammer entdeckst du die 1. binomische Formel
$\displaystyle x\cdot\left(k+2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :\left(k+2\right)^{2\ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\left(k+2\right)^2}$

$\displaystyle \left(k+2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$\left(k+2\right)^2=0\ \Leftrightarrow k+2=0$
$\displaystyle k+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle -2$

Setze $a=2{,}5$ in die Funktionsgleichung ein:
	↓
$\displaystyle f_{2{,}5}(x)$	$=$	$\displaystyle (2{,}5-1)x+2$
	↓	Fasse den Term zusammen
	$=$	$\displaystyle 1{,}5x+2$

$\displaystyle f_a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(a-1\right)x+2$
	↓	Setze P ein
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \left(a-1\right)\cdot2+2$
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle 2a-2+2$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle 1{,}5$	$=$	$\displaystyle a$

$\displaystyle f_a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(a-1\right)x+2$
	↓	An der Nullstelle x=-4 ist der Funktionswert 0. Setze die Werte ein
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \left(a-1\right)\cdot\left(-4\right)+2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle -4a+4$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle -6$	$=$	$\displaystyle -4a$	$\displaystyle :\left(-4\right)$
$\displaystyle 1{,}5$	$=$	$\displaystyle a$

$\displaystyle f_{a\left(x\right)}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse nach x auf, nicht nach dem Parameter a!
$\displaystyle \left(a-1\right)x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle \left(a-1\right)x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle :\left(a-1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{2}{a-1}$

$\displaystyle f_0\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle f_1\left(x\right)$
$\displaystyle -x+2$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

Aufgaben zu Geradenscharen

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Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar oder Betrachtung der Steigung.

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Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

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Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

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Steigung berechnen

y-Achsenabschnitt berechnen

Fertigen Funktionsterm angeben

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Term nullsetzen

Fallunterscheidung

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Parallelenschar

Fallunterscheidung für steigende und fallende Geraden

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Schnittpunkt von zwei Repräsentanten

Nachweis Büschelpunkt durch Einsetzen in den Term der Schar:

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