Aufgaben zu Geradenscharen
Mit diesen gemischten Aufgaben, lernst du mit Parametern zu arbeiten und entdeckst interessante Eigenschaften von Geradenscharen!
- 1
Bestimme jeweils den gefragten ReprÀsentanten
, Bestimme den Term von
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
Ersetze ĂŒberall in der Funktionsgleichung a durch 2 und verrechne soweit wie möglich:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den gewĂŒnschten Parameterwert in den Term der Funktion ein.
Bestimme den Term von ï»ż
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
Ersetze ĂŒberall in der Funktionsgleichung i durch -2 und verrechne soweit wie möglich:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den gewĂŒnschten Parameterwert in den Term der Funktion ein.
, Bestimme
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
Ersetze ĂŒberall in der Funktionsgleichung a durch 3 und b durch -3 und verrechne soweit wie möglich:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den gewĂŒnschten Parameterwert in den Term der Funktion ein.
- 2
Gib fĂŒr die Geradenscharen jeweils die Steigung und den y-Achsenabschnitt in AbhĂ€ngigkeit vom Parameter an.
Entscheide anschlieĂend, ob es sich um eine Parallelenschar handelt und fĂŒr welche Parameterwerte die Graphen der zugehörigen ReprĂ€sentanten steigen, fallen oder waagerecht sind.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Die Steigung ist (dieser Teil des Terms wird mit x multipliziert)
Der y-Achsenabschnitt ist (dieser Teil des Terms steht ohne x)
Parallelenschar oder Betrachtung der Steigung.
Da die Steigung vom Parameter a abhĂ€ngig ist, ist sie nicht fĂŒr alle ReprĂ€sentanten gleich und es handelt sich nicht um eine Parallelenschar.
FĂŒr ist die Steigung und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)
FĂŒr ist die Steigung positiv, denn das Produkt aus zwei negativen Zahlen ist eine positive Zahl. Die Gerade steigt.
FĂŒr ist die Steigung negativ und die Gerade fĂ€llt.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
AnschlieĂend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei , fĂ€llt bei und ist waagerecht fĂŒr .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunÀchst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
Die Steigung ist , der y-Achsenabschnitt ist
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung unabhÀngig vom Parameter b ist, sind alle Geraden der Schar parallel.
Die Geraden der Parallelenschar sind monoton fallend.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
AnschlieĂend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei , fĂ€llt bei und ist waagerecht fĂŒr .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunÀchst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
Die Steigung ist , der y-Achsenabschnitt ist
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung abhÀngig vom Parameter c ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Bestimme, wann die Steigung ist, um daraus die drei FĂ€lle fĂŒr die Fallunterscheidung zu ermitteln.
FĂŒr ist und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)
FĂŒr ist die Steigung positiv und die Gerade steigt monoton.
FĂŒr ist die Steigung negativ und die Gerade fĂ€llt monoton.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
AnschlieĂend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei , fĂ€llt bei und ist waagerecht fĂŒr .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunÀchst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
Die Steigung lautet , der y-Achsenabschnitt ist
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung abhÀngig vom Parameter d ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
FĂŒr ist die Steigung und die zugehörige Gerade ist waagerecht. Sie ist nicht nur parallel zur x-Achse, sie liegt auf der x-Achse, da .
Da fĂŒr alle , ist fĂŒr alle ĂŒbrigen Parameterwerte. Die zugehörigen Geraden sind also alle monoton steigend.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
AnschlieĂend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei , fĂ€llt bei und ist waagerecht fĂŒr .
- 3
Gegeben ist die Geradenschar .
Bestimme jeweils den ReprÀsentanten, der durch den angegebenen Punkt verlÀuft. Gib in das Eingabefeld den zugehörigen Parameterwert a ein.
A(2|-3)
â Setze A ein
â Fasse den Term rechts zusammen
Term des gesuchten ReprÀsentanten:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den Punkt in den Term der Geradenschar ein und löse nach a auf.
B(-0,5|4,5)
â Setze B ein
Term des zugehörigen ReprÀsentanten:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den Punkt in den Term der Geradenschar ein und löse nach a auf.
Der ReprÀsentant hat eine Nullstelle bei
Setze die Nullstelle N(-3,75|0) in den Term der Geradenschar ein und löse nach a auf.
- 4
Du sollst prĂŒfen, ob eine Geradenschar einen BĂŒschelpunkt hat. WĂ€hle alle Schritte aus, die du dazu tĂ€tigen musst.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Um einen BĂŒschelpunkt nachzuweisen, musst du folgende Schritte nacheinander ausfĂŒhren:
zwei ReprÀsentanten aus der Schar aussuchen (möglichst einfache)
ReprÀsentanten gleichsetzen und x-Koordinate des Schnittpunktes bestimmen
x-Koordinate in Geradenschar einsetzen
Falls Ergebnis unabhĂ€ngig vom Parameter: BĂŒschelpunkt vorhanden, sonst nicht
Falls BĂŒschelpunkt vorhanden: Koordinaten des BĂŒschelpunktes angeben (x-Wert aus Schnittpunktbestimmung, y-Wert aus Einsetzen in Geradenschar)
- 5
Gib eine Geradenschar an, die den gefragten BĂŒschelpunkt und die gefragte Steigung besitzt.
Forme so um, dass der y-Achsenabschnitt ablesbar ist.
B(0|0) und
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term des GeradenbĂŒschels ĂŒber BĂŒschelpunkt aufstellen
Einsetzen in Punkt-Steigungs-Form:
Der y-Achsenabschnitt ist
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze die gegebenen Angaben in die Punkt-Steigungs-Form einer Gerade ein.
B(-4|2) und
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term des GeradenbĂŒschels ĂŒber BĂŒschelpunkt aufstellen
â Multipliziere die Klammern aus.
â Fasse zusammen
Der y-Achsenabschnitt ist
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze die gegebenen Angaben in die Punkt-Steigungs-Form einer Gerade ein.
- 6
Stelle die Geradenschar auf die durch die angegebenen Punkte festgelegt ist. Forme den Term so um, dass Steigung und y-Achsenabschnitt erkennbar sind.
A(r|2) B(4r|-4)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Steigung berechnen
Setze A und B ein, um die Steigung zu berechnen:
â Setze die Werte von A und B ein
y-Achsenabschnitt berechnen
Setze m und einen Punkt in den allgemeinen Funktionsterm ein:
â Setze m und A ein
Fertigen Funktionsterm angeben
Setze m und t in den allgemeinen Funktionsterm ein:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gehe so vor, wie du ohne Parameter vorgegangen wÀrst
P(2a|a+1) und Q(a+1|2)
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Steigung berechnen
Setze P und Q ein, um die Steigung zu berechnen:
â Setze P und Q ein
y-Achsenabschnitt berechnen
Setze m und einen Punkt in den allgemeinen Funktionsterm ein:
â Setze m und Q ein
fertigen Funktionsterm angeben
Setze m und t in den allgemeinen Funktionsterm ein:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gehe so vor, wie du ohne Parameter vorgegangen wÀrst
- 7
Bestimme die Nullstellen in AbhÀngigkeit vom Parameter.
wobei
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich.
â FĂŒr a können alle Zahlen eingesetzt werden, der Term kann immer ausgewertet werden. Es ist also keine Fallunterscheidung nötig.
FĂŒr gibt es eine Nullstelle
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. FĂŒhre anschlieĂend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
wobei
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich
â Obwohl man auf den ersten Blick das b im Bruch wegkĂŒrzen kann, da es in ZĂ€hler und Nenner vorkommt, solltest du den Fall zunĂ€chst genauer unter die Lupe nehmen, denn es gilt weiterhin: Es darf nicht durch 0 geteilt werden.
Fall : Der Graph des zugehörigen ReprÀsentanten liegt auf der x-Achse. Es gibt also unendlich viele Nullstellen.
Fall : Die jeweiligen ReprÀsentanten haben alle eine Nullstelle, nÀmlich .
Der konstante Wert der Nullstelle fĂŒr bedeutet, dass dort der BĂŒschelpunkt der Geraden liegt. Dies kann man ĂŒberprĂŒfen, indem man in die Geradenschar einsetzt:
.
Da ebenfalls unabhĂ€ngig von b ist, ist gleichzeitig BĂŒschelpunkt und Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. FĂŒhre anschlieĂend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
wobei
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze die Funktion mit 0 gleich
â â Klammere auf der linken Seite x aus, um besser zu sehen, wodurch du dividieren musst.
â Du kannst im ZĂ€hler ein Minus ausklammern, um den Bruchterm etwas schöner und handlicher zu machen.
Da der Parameter im Nenner des Bruchs vorkommt, musst du eine Fallunterscheidung durchfĂŒhren.
FĂŒr wĂŒrde man durch 0 dividieren, was einen mathematischen Fehler liefert.
Fall : Die ReprĂ€sentanten haben eine Nullstelle fĂŒr
Fall : Der Graph des zugehörigen ReprÀsentanten ist parallel zur x-Achse. Deshalb gibt es in diesem Fall keine Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. FĂŒhre anschlieĂend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
wobei
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich
â Da der Parameter im Nenner vorkommt, musst du prĂŒfen, ob der Nenner fĂŒr Parameterwerte den Wert 0 annimmt, denn man darf nicht durch 0 teilen.
Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat eine negative Zahl ist. Deshalb ist der Nenner nie 0.
Du hĂ€ttest die alternativ auch ĂŒberlegen können, wie die Funktion aussieht. Es handelt sich um eine Normalparabel, die um 1 nach oben geschoben wurde. Sie hat keine Nullstellen, weshalb auch keine Lösungen hat.
FĂŒr alle haben die zugehörigen ReprĂ€sentanten also die Nullstelle .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. FĂŒhre anschlieĂend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
wobei
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich
â UnabhĂ€ngig von der Anzahl der Parameter musst du prĂŒfen, wann der Nenner den Wert 0 annimmt, denn du darfst nicht durch 0 teilen.
Wenn m das Doppelte von n ist, wird der Nenner 0. Es gibt unendlich viele Zahlenpaare, fĂŒr die das gilt. Zum Beispiel oder .
Die Menge der ReprĂ€sentanten, die diese Beziehung erfĂŒllen kannst du angeben durch
Fall : Die Graphen der zugehörigen ReprÀsentanten sind parallel zur x-Achse, da den y-Achsenabschnitt angibt und die Steigung 0 ist. Es gibt keine Nullstellen.
Fall : Der Graph des zugehörigen ReprÀsentanten liegt auf der x-Achse und es gibt unendlich viele Nullstellen.
sonst: FĂŒr alle anderen Kombinationen haben die ReprĂ€sentanten jeweils eine Nullstelle bei
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. FĂŒhre anschlieĂend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
wobei
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter
Setze den Term mit 0 gleich
â â Betrachte zunĂ€chst den Term auf der linken Seite. Klammere x aus den ersten drei Summanden aus, um die Steigung besser sichtbar zu machen.
â Innerhalb der Klammer entdeckst du die 1. binomische Formel
Da der Parameter im Nenner vorkommt, musst du untersuchen, wann dieser den Wert 0 annimmt.
â Fall : Die zugehörigen ReprĂ€sentanten haben eine Nullstelle .
Fall : Der Graph des zugehörigen ReprÀsentanten ist parallel zur x-Achse und hat somit keine Nullstelle.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. FĂŒhre anschlieĂend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.
- 8
Gegeben ist die Geradenschar mit und
Gib den Term des ReprÀsentanten an.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
Setze in die Funktionsgleichung ein:
â â Fasse den Term zusammen
Hast du eine Frage oder Feedback?
Um einen konkreten ReprĂ€sentanten zu bekommen, setze den gewĂŒnschten Wert fĂŒr den Parameter ein.
Ermittle den ReprÀsentanten, der durch verlÀuft.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
â Setze P ein
Der gesuchte ReprÀsentant ist
Hast du eine Frage oder Feedback?
Um einen ReprÀsentanten durch einen Punkt zu bestimmen, setze den Punkt in die Funktionsgleichung der Geradenschar ein.
Ermittle den Wert des Parameters so, dass der zugehörige ReprÀsentant die Nullstelle hat.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenscharen
â An der Nullstelle x=-4 ist der Funktionswert 0. Setze die Werte ein
hat eine Nullstelle bei
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze den Funktionsterm mit 0 gleich und setze die Nullstelle in die Gleichung der Funktionenschar ein.
Bestimme die Nullstelle der Geradenschar in AbhÀngigkeit von a
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung
Term nullsetzen
â Löse nach x auf, nicht nach dem Parameter a!
Fallunterscheidung
Laut Angabe darf fĂŒr den Parameter jede Zahl eingesetzt werden ()
Da die Nullstelle den Parameter im Nenner des Bruchs hat, muss eine Fallunterscheidung durchgefĂŒhrt werden, denn:
Merke Es darf nicht durch die Zahl 0 dividiert werden.
Der Nenner hat den Wert 0, wenn . Man unterscheidet also die zwei FĂ€lle und :
Die Nullstelle liegt bei , also
Es gibt keine Nullstelle, denn hat keine Lösung.
(Der Graph ist eine waagerechte Gerade, die Funktion ist die konstante Funktion )
Hast du eine Frage oder Feedback?
Gehe vor wie gewohnt und setze die Funktion mit 0 gleich.
Löse anschlieĂend die Gleichung nach der Variable x auf. Du bekommst ein Ergebnis in AbhĂ€ngigkeit von a.
FĂŒhre ggf. eine Fallunterscheidung durch.
Entscheide, ob es sich um eine Parallelenschar handelt. Bestimme anschlieĂend, fĂŒr welche Werte von a die zugehörigen ReprĂ€sentanten steigende bzw. fallende Geraden sind.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Parallelenschar
Ist die Geradenschar eine Parallelenschar, so haben alle ReprÀsentanten die gleiche Steigung.
In dieser Geradenschar ist die Steigung abhÀngig vom Parameterwert a. Je nachdem, was a ist, ergibt sich also eine andere Steigung.
Deshalb handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Fallunterscheidung fĂŒr steigende und fallende Geraden
Eine Gerade steigt, wenn der Wert von m positiv ist und fĂ€llt, wenn der Wert negativ ist. FĂŒr handelt es sich um eine konstante Funktion deren Graph eine waagerechte Gerade ist.
Untersuche, wann die Steigung positiv/negativ/null ist:
FĂŒr ist die Steigung und die zugehörige Gerade ist parallel zur x-Achse.
FĂŒr ist die Steigung positiv und die zugehörige Gerade steigt.
FĂŒr ist die Steiung negativ und die zugehörige Gerade fĂ€llt.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Betrachte die Steigung der Geradenschar. Ist diese immer gleich?
Wann ist sie positiv, wann negativ?
Untersuche, ob die Geradenschar einen BĂŒschelpunkt hat und bestimme gegebenenfalls seine Koordinaten.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Schnittpunkt von zwei ReprÀsentanten
Suche dir zwei möglichst einfache ReprÀsentanten aus:
Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden ReprÀsentanten:
Nachweis BĂŒschelpunkt durch Einsetzen in den Term der Schar:
Der Termwert ist unabhĂ€ngig vom Parameterwert a, deshalb ist der y-Achsenabschnitt B(0|2) BĂŒschelpunkt der Geradenschar.
VorsichtHinweis zum BĂŒschelpunkt Der BĂŒschelpunkt muss nicht immer auf der y-Achse liegen!
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimme die x-Koordinate des Schnittpunktes von zwei ReprĂ€sentanten und setze anschlieĂend in den Term der Schar ein.
ErhĂ€lst du als Funktionswert einen Wert, der unabhĂ€ngig vom Parameter ist, so besitzt die Gerade einen BĂŒschelpunkt.
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 â Was bedeutet das?