Steigung und y-Achsenabschnitt

Die Steigung ist $m=-2a$ (dieser Teil des Terms wird mit x multipliziert)

Der y-Achsenabschnitt ist $t=1$ (dieser Teil des Terms steht ohne x)

Parallelenschar oder Betrachtung der Steigung.

Da die Steigung vom Parameter a abhängig ist, ist sie nicht für alle Repräsentanten gleich und es handelt sich nicht um eine Parallelenschar.

Für $a=0$ ist die Steigung $m=-2\cdot0=0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)

Für $a<0$ ist die Steigung $m=-2a$ positiv, denn das Produkt aus zwei negativen Zahlen ist eine positive Zahl. Die Gerade steigt.

Für $a>0$ ist die Steigung $m=-2a$ negativ und die Gerade fällt.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.

$f_b\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+b+2$

Die Steigung ist $m=-\frac{1}{2}$, der y-Achsenabschnitt ist $t=b+2$

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

Da die Steigung $m=-\frac{1}{2}$ unabhängig vom Parameter b ist, sind alle Geraden der Schar parallel.

Die Geraden der Parallelenschar sind monoton fallend.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.

$f_c\left(x\right)=4cx-2x-5c+1=\left(4c-2\right)x-5c+1$

Die Steigung ist $m=4c-2$, der y-Achsenabschnitt ist $t=-5c+1$

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

Da die Steigung $m=4c-2$ abhängig vom Parameter c ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.

Bestimme, wann die Steigung $m=0$ ist, um daraus die drei Fälle für die Fallunterscheidung zu ermitteln.

Für $c=\frac{1}{2}$ ist $m=0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)

Für $c>\frac{1}{2}$ ist die Steigung $m=4c-2$ positiv und die Gerade steigt monoton.

Für $c<\frac{1}{2}$ ist die Steigung $m=4c-2$ negativ und die Gerade fällt monoton.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.

$f_d\left(x\right)=\frac{1}{3}d^2x-4d^2+d$

Die Steigung lautet $m=\frac{1}{3}d^2$, der y-Achsenabschnitt ist $t=4d^2+d$

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

Da die Steigung $m=\frac{1}{3}d^2$ abhängig vom Parameter d ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.

Für $d=0$ ist die Steigung $m=0$ und die zugehörige Gerade ist waagerecht. Sie ist nicht nur parallel zur x-Achse, sie liegt auf der x-Achse, da $f_0\left(x\right)=0$.

Da $d^2>0$ für alle $d\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$, ist $m=\frac{1}{3}d^2>0$ für alle übrigen Parameterwerte. Die zugehörigen Geraden sind also alle monoton steigend.