Aufgaben zu Geradenscharen - lernen mit Serlo!

Gib für die Geradenscharen jeweils die Steigung und den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit vom Parameter an.

Entscheide anschließend, ob es sich um eine Parallelenschar handelt und für welche Parameterwerte die Graphen der zugehörigen Repräsentanten steigen, fallen oder waagerecht sind.

$f_a\left(x\right)=-2ax+1,\ a\in\mathbb{R}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Die Steigung ist $m = - 2 a$ (dieser Teil des Terms wird mit x multipliziert)
Der y-Achsenabschnitt ist $t = 1$ (dieser Teil des Terms steht ohne x)
Parallelenschar oder Betrachtung der Steigung.
Da die Steigung vom Parameter a abhängig ist, ist sie nicht für alle Repräsentanten gleich und es handelt sich nicht um eine Parallelenschar.
Für $a = 0$ ist die Steigung $m=-2\cdot0=0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)
Für $a < 0$ ist die Steigung $m = - 2 a$ positiv, denn das Produkt aus zwei negativen Zahlen ist eine positive Zahl. Die Gerade steigt.
Für $a > 0$ ist die Steigung $m = - 2 a$ negativ und die Gerade fällt.
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Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .
$f_b\left(x\right)=b-\frac{1}{2}x+2,\ b\in\mathbb{R}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
$f_b\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+b+2$
Die Steigung ist $m=-\frac{1}{2}$ , der y-Achsenabschnitt ist $t = b + 2$
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung $m=-\frac{1}{2}$ unabhängig vom Parameter b ist, sind alle Geraden der Schar parallel.
Die Geraden der Parallelenschar sind monoton fallend.
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Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .
$f_c\left(x\right)=4cx-5c-2x+1,\ c\in\mathbb{R}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
$f_c\left(x\right)=4cx-2x-5c+1=\left(4c-2\right)x-5c+1$
Die Steigung ist $m = 4 c - 2$ , der y-Achsenabschnitt ist $t = - 5 c + 1$
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung $m = 4 c - 2$ abhängig vom Parameter c ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Bestimme, wann die Steigung $m = 0$ ist, um daraus die drei Fälle für die Fallunterscheidung zu ermitteln.
$\displaystyle 0$ $=$ $\displaystyle 4c-2$ $\displaystyle +2$
$\displaystyle 2$ $=$ $\displaystyle 4c$ $\displaystyle :4$
$\displaystyle \frac{1}{2}$ $=$ $\displaystyle c$
Für $c=\frac{1}{2}$ ist $m = 0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)
Für $c>\frac{1}{2}$ ist die Steigung $m = 4 c - 2$ positiv und die Gerade steigt monoton.
Für $c<\frac{1}{2}$ ist die Steigung $m = 4 c - 2$ negativ und die Gerade fällt monoton.
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Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .
$f_d\left(x\right)=\left(\frac{1}{3}x-4\right)\cdot d^2+d,\ d\in\mathbb{R}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Aussehen von Geradenscharen
Steigung und y-Achsenabschnitt
Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.
$f_d\left(x\right)=\frac{1}{3}d^2x-4d^2+d$
Die Steigung lautet $m=\frac{1}{3}d^2$ , der y-Achsenabschnitt ist $t = 4 d^{2} + d$
Parallelenschar und Betrachtung der Steigung
Da die Steigung $m=\frac{1}{3}d^2$ abhängig vom Parameter d ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.
Für $d = 0$ ist die Steigung $m = 0$ und die zugehörige Gerade ist waagerecht. Sie ist nicht nur parallel zur x-Achse, sie liegt auf der x-Achse, da $f_0\left(x\right)=0$ .
Da $d^{2} > 0$ für alle $d\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ , ist $m=\frac{1}{3}d^2>0$ für alle übrigen Parameterwerte. Die zugehörigen Geraden sind also alle monoton steigend.
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Die Steigung ist der Teil des Terms, der mit x multipliziert wird, der y-Achsenabschnitt ist der Teil ohne x.
Anschließend kannst du die Steigung betrachten. Eine Gerade steigt bei $m > 0$ , fällt bei $m < 0$ und ist waagerecht für $m = 0$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 4c-2$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle 4c$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle \frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle c$

Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar oder Betrachtung der Steigung.

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Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

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Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

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Steigung und y-Achsenabschnitt

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

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