Steigung und y-Achsenabschnitt

Die Steigung ist $m=-2am=-2a$ (dieser Teil des Terms wird mit x multipliziert)

Der y-Achsenabschnitt ist $t=1t=1$ (dieser Teil des Terms steht ohne x)

Parallelenschar oder Betrachtung der Steigung.

Da die Steigung vom Parameter a abhängig ist, ist sie nicht für alle Repräsentanten gleich und es handelt sich nicht um eine Parallelenschar.

Für $a=0a=0$ ist die Steigung $m=-2\cdot 0=0m=-2\backslash cdot0=0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)

Für ist die Steigung $m=-2am=-2a$ positiv, denn das Produkt aus zwei negativen Zahlen ist eine positive Zahl. Die Gerade steigt.

Für $a>0a>0$ ist die Steigung $m=-2am=-2a$ negativ und die Gerade fällt.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.

$f_b\left(x\right)=-\frac{1}{2}x+b+2f\_b\backslash left(x\backslash right)=-\backslash frac\{1\}\{2\}x+b+2$

Die Steigung ist $m=-\frac{1}{2}m=-\backslash frac\{1\}\{2\}$, der y-Achsenabschnitt ist $t=b+2t=b+2$

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

Da die Steigung $m=-\frac{1}{2}m=-\backslash frac\{1\}\{2\}$ unabhängig vom Parameter b ist, sind alle Geraden der Schar parallel.

Die Geraden der Parallelenschar sind monoton fallend.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.

$f_c\left(x\right)=4cx-2x-5c+1=(4c-2)x-5c+1f\_c\backslash left(x\backslash right)=4cx-2x-5c+1=\backslash left(4c-2\backslash right)x-5c+1$

Die Steigung ist $m=4c-2m=4c-2$, der y-Achsenabschnitt ist $t=-5c+1t=-5c+1$

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

Da die Steigung $m=4c-2m=4c-2$ abhängig vom Parameter c ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.

Bestimme, wann die Steigung $m=0m=0$ ist, um daraus die drei Fälle für die Fallunterscheidung zu ermitteln.

Für $c=\frac{1}{2}c=\backslash frac\{1\}\{2\}$ ist $m=0m=0$ und die Gerade ist waagerecht (parallel zur x-Achse)

Für $c>\frac{1}{2}c>\backslash frac\{1\}\{2\}$ ist die Steigung $m=4c-2m=4c-2$ positiv und die Gerade steigt monoton.

Für ist die Steigung $m=4c-2m=4c-2$ negativ und die Gerade fällt monoton.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Bringe zunächst den Term in eine ordentliche Form: Alles, was mit x multipliziert wird, kommt nach vorn und bildet die Steigung, der Rest gehört zum y-Achsenabschnitt.

$f_d\left(x\right)=\frac{1}{3}{d}^{2}x-4d^2+df\_d\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{3\}d^2x-4d^2+d$

Die Steigung lautet $m=\frac{1}{3}{d}^{2}m=\backslash frac\{1\}\{3\}d^2$, der y-Achsenabschnitt ist $t=4d^2+dt=4d^2+d$

Parallelenschar und Betrachtung der Steigung

Da die Steigung $m=\frac{1}{3}{d}^{2}m=\backslash frac\{1\}\{3\}d^2$ abhängig vom Parameter d ist, handelt es sich nicht um eine Parallelenschar.

Für $d=0d=0$ ist die Steigung $m=0m=0$ und die zugehörige Gerade ist waagerecht. Sie ist nicht nur parallel zur x-Achse, sie liegt auf der x-Achse, da $f_0\left(x\right)=0f\_0\backslash left(x\backslash right)=0$.

Da $d^2>0d^2>0$ für alle $d\in \mathbb{R}\mathrm{\backslash }\{0\}d\backslash in\backslash mathbb\{R\}\backslash backslash\backslash \{0\backslash \}$, ist $m=\frac{1}{3}{d}^2>0m=\backslash frac\{1\}\{3\}d^2>0$ für alle übrigen Parameterwerte. Die zugehörigen Geraden sind also alle monoton steigend.