Aufgaben zu Geradenscharen - lernen mit Serlo!

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Bestimme die Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter.

$f_a\left(x\right)=2x+4a-2$ wobei $a,x\in\mathbb{R}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter

Setze den Term mit 0 gleich.
	↓
$\displaystyle f_a\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 2x+4a-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4a+2$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 2-4a$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1-2a$

Für a können alle Zahlen eingesetzt werden, der Term kann immer ausgewertet werden. Es ist also keine Fallunterscheidung nötig.

Für $a\in\mathbb{R}$ gibt es eine Nullstelle $x=1-2a$

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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.

$f_b\left(x\right)=2bx-b$ wobei $b,x\in\mathbb{R}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$\displaystyle f_b\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 2bx-b$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +b$
$\displaystyle 2bx$	$=$	$\displaystyle b$	$\displaystyle :2b$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{b}{2b}$

Obwohl man auf den ersten Blick das b im Bruch wegkürzen kann, da es in Zähler und Nenner vorkommt, solltest du den Fall $b=0$ zunächst genauer unter die Lupe nehmen, denn es gilt weiterhin: Es darf nicht durch 0 geteilt werden.

Fall $b=0$ : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_0\left(x\right)=2\cdot0\cdot x-0=0$ liegt auf der x-Achse. Es gibt also unendlich viele Nullstellen.

Fall $b\ne0$ : Die jeweiligen Repräsentanten haben alle eine Nullstelle, nämlich $x=\frac{b}{2b}=\frac{1}{2}$ .

Der konstante Wert der Nullstelle für $b\ne0$ bedeutet, dass dort der Büschelpunkt der Geraden liegt. Dies kann man überprüfen, indem man $x=\frac{1}{2}$ in die Geradenschar einsetzt:

$f_b\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot b\cdot\frac{1}{2}-b=b-b=0$ .

Da $f_b\left(\frac{1}{2}\right)$ ebenfalls unabhängig von b ist, ist $B\left(\frac{1}{2}|0\right)$ gleichzeitig Büschelpunkt und Nullstelle.

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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.

$f_c\left(x\right)=-cx+c+4x+2$ wobei $c,x\in\mathbb{R}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter

Setze die Funktion mit 0 gleich
	↓
$\displaystyle f_c\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle -cx+c+4x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2-c$
$\displaystyle -cx+4x$	$=$	$\displaystyle -2-c$
	↓	Klammere auf der linken Seite x aus, um besser zu sehen, wodurch du dividieren musst.
$\displaystyle x\cdot\left(4-c\right)$	$=$	$\displaystyle -2-c$	$\displaystyle :\left(4-c\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-2-c}{4-c}$
	↓	Du kannst im Zähler ein Minus ausklammern, um den Bruchterm etwas schöner und handlicher zu machen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{2+c}{4-c}$

Da der Parameter im Nenner des Bruchs vorkommt, musst du eine Fallunterscheidung durchführen.

Für $c=4$ würde man durch 0 dividieren, was einen mathematischen Fehler liefert.

Fall $c\ne4$ : Die Repräsentanten haben eine Nullstelle für $x=-\frac{2+c}{4-c}$

Fall $c=4$ : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_4\left(x\right)=-4x+4+4x+2=6$ ist parallel zur x-Achse. Deshalb gibt es in diesem Fall keine Nullstelle.

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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.

$f_d\left(x\right)=\left(d^2+1\right)x+4$ wobei $d,x\in\mathbb{R}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$\displaystyle f_d\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(d^2+1\right)x+4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle \left(d^2+1\right)x$	$=$	$\displaystyle -4$	$\displaystyle :\left(d^2+1\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{4}{d^2+1}$

Da der Parameter im Nenner vorkommt, musst du prüfen, ob der Nenner für Parameterwerte den Wert 0 annimmt, denn man darf nicht durch 0 teilen.

$\displaystyle d^2+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle d^2$	$=$	$\displaystyle -1$

Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat eine negative Zahl ist. Deshalb ist der Nenner nie 0.

Du hättest die alternativ auch überlegen können, wie die Funktion $h\left(d\right)=d^2+1$ aussieht. Es handelt sich um eine Normalparabel, die um 1 nach oben geschoben wurde. Sie hat keine Nullstellen, weshalb $d^2+1=0$ auch keine Lösungen hat.

Für alle $d\in\mathbb{R}$ haben die zugehörigen Repräsentanten also die Nullstelle $x=-\frac{4}{d^2+1}$ .

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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.

$f_{m,n}\left(x\right)=\left(m-2n\right)x+m-n$ wobei $m,n,x\in\mathbb{R}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$\displaystyle f_{m,n}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(m-2n\right)x+m-n$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -m+n$
$\displaystyle \left(m-2n\right)x$	$=$	$\displaystyle n-m$	$\displaystyle :\left(m-2n\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{n-m}{m-2n}$

Unabhängig von der Anzahl der Parameter musst du prüfen, wann der Nenner den Wert 0 annimmt, denn du darfst nicht durch 0 teilen.

$\displaystyle m-2n$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2n$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle 2n$

Wenn m das Doppelte von n ist, wird der Nenner 0. Es gibt unendlich viele Zahlenpaare, für die das gilt. Zum Beispiel $m=2,\ n=1$ oder $m=-30,\ n=-15$ .

Die Menge der Repräsentanten, die diese Beziehung erfüllen kannst du angeben durch

$f_{2n,n}\left(x\right)=\left(2n-2n\right)x+2n-n=n$

Fall $m=2n\ne0$ : Die Graphen der zugehörigen Repräsentanten $f_{2n,n}\left(x\right)=n$ sind parallel zur x-Achse, da $n\in\mathbb{R}\ \backslash \left\{0\right\}$ den y-Achsenabschnitt angibt und die Steigung 0 ist. Es gibt keine Nullstellen.

Fall $m=2n=0$ : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_{0{,}0}\left(x\right)=0$ liegt auf der x-Achse und es gibt unendlich viele Nullstellen.

sonst: Für alle anderen Kombinationen haben die Repräsentanten jeweils eine Nullstelle bei $x=\frac{n-m}{m-2n}$

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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.

$f_k\left(x\right)=k^2x+4kx+4x-1$ wobei $k,x\in\mathbb{R}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Fallunterscheidung mit Parameter

Setze den Term mit 0 gleich
	↓
$\displaystyle f_k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle k^2x+4kx+4x-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Betrachte zunächst den Term auf der linken Seite. Klammere x aus den ersten drei Summanden aus, um die Steigung besser sichtbar zu machen.
$\displaystyle x\cdot\left(k^2+4k+4\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Innerhalb der Klammer entdeckst du die 1. binomische Formel
$\displaystyle x\cdot\left(k+2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle :\left(k+2\right)^{2\ }$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\left(k+2\right)^2}$

Da der Parameter im Nenner vorkommt, musst du untersuchen, wann dieser den Wert 0 annimmt.

$\displaystyle \left(k+2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	$\left(k+2\right)^2=0\ \Leftrightarrow k+2=0$
$\displaystyle k+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle -2$

Fall $k\ne-2$ : Die zugehörigen Repräsentanten haben eine Nullstelle $x=\frac{1}{\left(k+2\right)^2}$ .

Fall $k=-2$ : Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_{-2}\left(x\right)=-1$ ist parallel zur x-Achse und hat somit keine Nullstelle.

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Setze den Term wie gewohnt mit 0 gleich und löse nach x auf. Führe anschließend gegebenenfalls eine Fallunterscheidung durch.