Für a können alle Zahlen eingesetzt werden, der Term kann immer ausgewertet werden. Es ist also keine Fallunterscheidung nötig.

Für $a\in ℝ$ gibt es eine Nullstelle $x=1-2a$

Obwohl man auf den ersten Blick das b im Bruch wegkürzen kann, da es in Zähler und Nenner vorkommt, solltest du den Fall $b=0$ zunächst genauer unter die Lupe nehmen, denn es gilt weiterhin: Es darf nicht durch 0 geteilt werden.

Fall $b=0$: Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_0\left(x\right)=2\cdot 0\cdot x-0=0$ liegt auf der x-Achse. Es gibt also unendlich viele Nullstellen.

Fall $b\ne 0$: Die jeweiligen Repräsentanten haben alle eine Nullstelle, nämlich $x=\frac{b}{2b}=\frac{1}{2}$.

Der konstante Wert der Nullstelle für $b\ne 0$ bedeutet, dass dort der Büschelpunkt der Geraden liegt. Dies kann man überprüfen, indem man $x=\frac{1}{2}$ in die Geradenschar einsetzt:

$f_b\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot b\cdot \frac{1}{2}-b=b-b=0$.

Da $f_b\left(\frac{1}{2}\right)$ ebenfalls unabhängig von b ist, ist $B\left(\frac{1}{2}|0\right)$ gleichzeitig Büschelpunkt und Nullstelle.

Da der Parameter im Nenner des Bruchs vorkommt, musst du eine Fallunterscheidung durchführen.

Für $c=4$ würde man durch 0 dividieren, was einen mathematischen Fehler liefert.

Fall $c\ne 4$: Die Repräsentanten haben eine Nullstelle für $x=-\frac{2+c}{4-c}$

Fall $c=4$: Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_4\left(x\right)=-4x+4+4x+2=6$ ist parallel zur x-Achse. Deshalb gibt es in diesem Fall keine Nullstelle.

Da der Parameter im Nenner vorkommt, musst du prüfen, ob der Nenner für Parameterwerte den Wert 0 annimmt, denn man darf nicht durch 0 teilen.

Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat eine negative Zahl ist. Deshalb ist der Nenner nie 0.

Du hättest die alternativ auch überlegen können, wie die Funktion $h\left(d\right)=d^2+1$aussieht. Es handelt sich um eine Normalparabel, die um 1 nach oben geschoben wurde. Sie hat keine Nullstellen, weshalb $d^2+1=0$ auch keine Lösungen hat.

Für alle $d\in ℝ$ haben die zugehörigen Repräsentanten also die Nullstelle $x=-\frac{4}{d^2+1}$.

Unabhängig von der Anzahl der Parameter musst du prüfen, wann der Nenner den Wert 0 annimmt, denn du darfst nicht durch 0 teilen.

Wenn m das Doppelte von n ist, wird der Nenner 0. Es gibt unendlich viele Zahlenpaare, für die das gilt. Zum Beispiel $m=2,n=1$ oder $m=-30,n=-15$.

Die Menge der Repräsentanten, die diese Beziehung erfüllen kannst du angeben durch

$f_{2n,n}\left(x\right)=(2n-2n)x+2n-n=n$

Fall $m=2n\ne 0$: Die Graphen der zugehörigen Repräsentanten $f_{2n,n}\left(x\right)=n$ sind parallel zur x-Achse, da $n\in ℝ\backslash \left\{0\right\}$ den y-Achsenabschnitt angibt und die Steigung 0 ist. Es gibt keine Nullstellen.

Fall $m=2n=0$: Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_{\mathrm{0,0}}\left(x\right)=0$ liegt auf der x-Achse und es gibt unendlich viele Nullstellen.

sonst: Für alle anderen Kombinationen haben die Repräsentanten jeweils eine Nullstelle bei $x=\frac{n-m}{m-2n}$

Da der Parameter im Nenner vorkommt, musst du untersuchen, wann dieser den Wert 0 annimmt.

Fall $k\ne -2$: Die zugehörigen Repräsentanten haben eine Nullstelle $x=\frac{1}{{(k+2)}^2}$.

Fall $k=-2$: Der Graph des zugehörigen Repräsentanten $f_{-2}\left(x\right)=-1$ ist parallel zur x-Achse und hat somit keine Nullstelle.