Flächeninhalt in Abhängigkeit von x und r

Die Fläche besteht aus einem Rechteck und einem Halbkreis:

$A_{Gesamt}=A_{Rechteck}+A_{Halbkreis}A\_\{Gesamt\}=A\_\{Rechteck\}+A\_\{Halbkreis\}$

Insgesamt entsteht daraus die Hauptbedingung:

$A(x,r)=2x^2+\frac{1}{2}{r}^2\pi A\backslash left(x,r\backslash right)=2x^2+\backslash frac\{1\}\{2\}r^2\backslash pi$

Nebenbedingung: Rechteckslänge

Die Länge der Strecke [BE] kann auf zwei Arten ausgedrückt werden: $2x2x$ oder $2+2r+22+2r+2$, also

Hauptbedingung in Abhängigkeit von x

Setze die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein, um die Variable r loszuwerden

$\left(I\right)r=x-2\backslash left(I\backslash right)\backslash \; r=x-2$ in

$\left(II\right)A(x,r)=2x^2+\frac{1}{2}{r}^2\pi \backslash left(II\backslash right)\backslash \; A\backslash left(x,r\backslash right)=2x^2+\backslash frac\{1\}\{2\}r^2\backslash pi$

Obere Grenze

Es gilt $\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{DE}+\overline{EF}\le 12\backslash overline\{AB\}+\backslash overline\{BC\}+\backslash overline\{DE\}+\backslash overline\{EF\}\backslash le12$, wobei die Strecken $\left[AB\right]\backslash left[AB\backslash right]$ und $\left[EF\right]\backslash left[EF\backslash right]$ gleich lang sind und $\overline{BC}=\overline{DE}=2\backslash overline\{BC\}=\backslash overline\{DE\}=2$.

Untere Grenze

Die Streckenlänge x muss gleichzeitig größer sein als 2, denn: An der Unterseite des Kanals sind die zwei fixen Strecken $\left[BC\right]\backslash left[BC\backslash right]$ und $\left[DE\right]\backslash left[DE\backslash right]$, die neben dem Radius auf die Länge von $2x2x$ einzahlen. Der Radius kann nicht 0 sein, da der Halbkreis sonst nicht vorhanden ist, allerdings gibt es sonst keine Forderung an eine Mindestgröße.

Ableiten und Nullstellen bestimmen

Die Extremstellen sind die Nullstellen der Ableitung. Bilde also die Ableitung

$A\left(x\right)=(2+\mathrm{0,5}\pi )x^2-2\pi x+2\pi A\backslash left(x\backslash right)=\backslash left(2+0\{,\}5\backslash pi\backslash right)x^2-2\backslash pi\; x+2\backslash pi$

$A^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2(2+\mathrm{0,5}\pi )x-2\pi =(4+\pi )x-2\pi A\text{'}\backslash left(x\backslash right)=2\backslash left(2+0\{,\}5\backslash pi\backslash right)x-2\backslash pi=\backslash left(4+\backslash pi\backslash right)x-2\backslash pi$

Setze mit 0 gleich und löse die Gleichung:

Art der Extremstelle

Da es sich beim Graphen von A um eine nach oben geöffnete Parabel handelt (Öffnungsfaktor $(2+\mathrm{0,5}\pi )>0\backslash left(2+0\{,\}5\backslash pi\backslash right)>0$), ist die Extremstelle ein Tiefpunkt und somit nicht die gesuchte Lösung

Randextrema

Setze den eingeschlossenen Rand $x=4x=4$ direkt in den Funktionsterm ein, beim linken Rand musst du den Grenzwert betrachten, da dieser nicht eingeschlossen ist:

$A\left(4\right)\approx \mathrm{38,28}A\backslash left(4\backslash right)\backslash approx38\{,\}28$

$\underset{x\to 2}{\lim }A(x)=8\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to2\}A(x)=8$.

Absolutes Extremum

Der maximale Flächeninhalt liegt für eine Rohrhöhe von $44$ Metern bei $\mathrm{38,28}{m}^{2}38\{,\}28\; m^2$ Querschnittsfläche.

Flächeninhalt bei $x=4x=4$

Den gesamten Flächeninhalt des Querschnitts könnte man entweder durch die zusammengesetzte Figur (Rechteck und Halbkreis) oder durch die Funktion $A\left(x\right)A\backslash left(x\backslash right)$ bestimmen.

Im letzten Aufgabenteil wurde die Fläche für den Fall $x=4x=4$ sogar schon bestimmt:

$A\left(4\right)\approx \mathrm{38,28}A\backslash left(4\backslash right)\backslash approx38\{,\}28$

Flächeninhalt durch den Wasserpegel

Prozentwert

Bilde den Anteil, den der Flächeninhalt durch das Wasser am gesamten Querschnitt hat: