Aufgabengruppe A1

Nullstellenberechnung

Setze die Funktion mit 0 gleich.

$f(x)=-\frac{1}{4}(x^3-4x^2-2x+8)f(x)=-\backslash frac\; 1\; 4(x^3-4x^2-2x+8)$

$0=-\frac{1}{4}(x^3-4x^2-2x+8)0=-\backslash frac\; 1\; 4(x^3-4x^2-2x+8)$

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann den Wert 0 annimmt, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 wird. Darum kann man den Vorfaktor $-\frac{1}{4}-\backslash frac\; 14$ bei der Nullstellenberechnung ignorieren.

Löse also die Gleichung

$0=x^3-4x^2-2x+80=x^3-4x^2-2x+8$

Polynomdivision

Da kein x ausgeklammert werden kann (am Ende steht die Konstante 8), musst du eine Polynomdivision anwenden.

Die erste Nullstelle bekommst du durch Ausprobieren oder den Taschenrechner: $x_1=4x\_1=4$

Binomische Formel

Löse die entstandene Gleichung $x^2-2=0x^2-2=0$ mithilfe der 3. binomischen Formel oder durch Umformen.

Es liegt jeweils eine weitere Nullstelle bei $x_2=-\sqrt{2}x\_2=-\backslash sqrt\{2\}$ und $x_3=\sqrt{2}x\_3=\backslash sqrt\{2\}$.

Vielfachheiten

Die Funktion ist vom Grad 3 und du hast drei unterschiedliche Nullstellen berechnet. Diese haben also jeweils die Vielfachheit 1.

Folgerung zur Art und ungefähren Position der Extremstellen

Da der Grad 3 ungerade ist und der Leitkoeffizient mit $-\frac{1}{4}-\backslash frac\; 1\; 4$negativ, kommt die Funktion von oben und geht nach unten.

Die drei einfachen Nullstellen sind schneidende Nullstellen.

Die erste Extremstelle liegt also zwischen den ersten beiden Nullstellen $x=-\sqrt{2}x=-\backslash sqrt\; 2$ und $x=\sqrt{2}x=\backslash sqrt\; 2$ und ist ein Tiefpunkt. Die nächste Extremstelle liegt zwischen $x=\sqrt{2}x=\backslash sqrt\; 2$ und $x=4x=4$ und muss ein Hochpunkt sein.

Ableitung bilden

$f(x)=-\frac{1}{4}(x^3-4x^2-2x+8)f(x)=-\backslash frac\{1\}\{4\}(x^3-4x^2-2x+8)$

Leite ab:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{4}(3x^2-8x-2)f\text{'}(x)=-\backslash frac\{1\}\{4\}(3x^2-8x-2)$

Nullstellen der Ableitung bestimmen

Setze die Ableitung mit 0 gleich.

$0=-\frac{1}{4}(3x^2-8x-2)0=-\backslash frac\; 1\; 4(3x^2-8x-2)$

Der Satz vom Nullprodukt erlaubt dir, den Vorfaktor $-\frac{1}{4}-\backslash frac\; 1\; 4$ zu ignorieren.

$0=3x^2-8x-20=3x^2-8x-2$

Verwende die Mitternachtsformel, um die Gleichung zu lösen:

$x_{1,2}=\frac{8\pm \sqrt{{(-8)}^2-4\cdot 3\cdot (-2)}}{2\cdot 3}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{8\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash left(-8\backslash right)^2-4\backslash cdot3\backslash cdot\backslash left(-2\backslash right)\}\}\{2\backslash cdot3\}$

$x_1=-0,23x\_1=-0\{,\}23$ und $x_2=2,90x\_2=2\{,\}90$

Nachweis und Art über die 2. Ableitung bestimmen

Da es nur zwei Nullstellen gibt, die beide Vielfachheit 1 haben, lässt sich die Art der Extremstellen garantiert über die 2. Ableitung bestimmen.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-\frac{1}{4}(6x-8)f\text{'}\text{'}\backslash left(x\backslash right)=-\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash left(6x-8\backslash right)$

Setze die beiden Kandidaten für Extremstellen in die 2. Ableitung ein:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-0,23)=-\frac{1}{4}(6\cdot (-0,23)-8)\approx 2,35>0f\text{'}\text{'}\backslash left(-0\{,\}23\backslash right)=-\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash left(6\backslash cdot\backslash left(-0\{,\}23\backslash right)-8\backslash right)\backslash approx2\{,\}35>0$. Es handelt sich also um einen Tiefpunkt.

. Es handelt sich also um einen Hochpunkt.

Lage der Extrempunkte

Setze die beiden x-Werte in die Ausgangsfunktion ein, um die y-Koordinaten zu berechnen.

$f(-0,23)\approx -2,06f\backslash left(-0\{,\}23\backslash right)\backslash \; \backslash approx-2\{,\}06$

$f(2,90)\approx 1,76f\backslash left(2\{,\}90\backslash right)\backslash approx1\{,\}76$

Insgesamt gilt also:

$TIP(-0,23\mathrm{\mid }-2,06)TIP(-0\{,\}23|-2\{,\}06)$ und $HOP(2,9\mathrm{\mid }1,76)HOP(2\{,\}9|1\{,\}76)$

Nullstellen der 2. Ableitung

Die 2. Ableitung kannst du aus der vorherigen Teilaufgabe entnehmen:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{4}(6x-8)f\text{'}\text{'}(x)=-\backslash frac\{1\}\{4\}(6x-8)$

Die Nullstellen erhältst du durch einfache Umformungen:

Krümmungstabelle

Verwende die gefundene Stelle in der ersten Zeile der Tabelle und betrachte das Vorzeichen in der Umgebung, um die Krümmung zu ermitteln.

Um festzustellen, ob der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist, setze Werte in die 2. Ableitung ein, die kleiner bzw. größer als die Wendestelle sind.

Die Krümmungsintervalle sind also:

Linksgekrümmt in $]-\mathrm{\infty };\frac{4}{3}]]-\backslash infty;\backslash frac\; 4\; 3]$ und rechtsgekrümmt $[\frac{4}{3};+\mathrm{\infty }[[\backslash frac\; 4\; 3;+\backslash infty[$

Wendepunkt

Setze die Wendestelle in den Term von f ein:

$f(\frac{4}{3})=-0,15f(\backslash frac\; 4\; 3)=-0\{,\}15$

$WEP(\frac{4}{3}\mathrm{\mid }-0,15)WEP(\backslash frac\; 4\; 3|-0\{,\}15)$

Geradengleichung aufstellen

Die Gerade soll durch den y-Achsenabschnitt von $G_{f}G\_f$ verlaufen, also durch $P(0\mathrm{\mid }-2)P(0|-2)$.

Außerdem soll sie durch $Q(4\mathrm{\mid }0)Q(4|0)$ verlaufen, da sie dort die x-Achse schneidet.

Der y-Achsenabschnitt kann direkt in die Geradengleichung eingesetzt werden:

$\Rightarrow y=0,5x-2\backslash Rightarrow\; y=0\{,\}5x-2$

Nachweis: Tangente

Überprüfe, dass die Steigung von $G_{f}G\_f$ am y-Achsenabschnitt mit der Steigung der Geraden übereinstimmt, indem du $f^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)f\text{'}\backslash left(0\backslash right)$ berechnest.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{4}(3x^2-8x-2)f\text{'}(x)=-\backslash frac\{1\}\{4\}(3x^2-8x-2)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)=-\frac{1}{4}\cdot (-2)=0,5f\text{'}\backslash left(0\backslash right)=-\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash cdot\backslash left(-2\backslash right)=0\{,\}5$

Grenzen des Flächenstücks

Wie in der letzten Teilaufgabe angegeben sind die Grenzen $x=0x=0$ und $x=4x=4$.

Differenzfunktion

Der Graph von von f verläuft in diesem Bereich über dem der Tangente. Deshalb musst du $d\left(x\right)=f\left(x\right)-t\left(x\right)d\backslash left(x\backslash right)=f\backslash left(x\backslash right)-t\backslash left(x\backslash right)$ bilden.

Integral

Setze die Differenzfunktion und die Grenzen in das unbestimmte Integral ein.

${\int }_0^{4}d\left(x\right)dx={\int }_0^4(-\frac{1}{4}{x}^3+x^2)dx={[-\frac{1}{16}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3]}_0^4=\frac{16}{3}\backslash int\_0^4d\backslash left(x\backslash right)dx=\backslash int\_0^4\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{4\}x^3+x^2\backslash right)dx=\backslash left[-\backslash frac\{1\}\{16\}x^4+\backslash frac\{1\}\{3\}x^3\backslash right]\_0^4=\backslash frac\{16\}\{3\}$

Nullstellen bestimmen

Setze die Differenzfunktion mit 0 gleich:

$0=-\frac{1}{4}(x^3-5x^2)0=-\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash left(x^3-5x^2\backslash right)$

Du kannst $x^{2}x^2$ ausklammern:

$0=-\frac{1}{4}{x}^2(x-5)0=-\backslash frac\{1\}\{4\}x^2\backslash left(x-5\backslash right)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt für die Nullstellen:

$x=0x=0$ mit Vielfachheit 2 und $x=5x=5$ mit Vielfachheit 1

Geometrische Bedeutung

Bei $x=0x=0$ berühren sich die beiden Graphen. Bei $x=5x=5$ schneiden Sie sich.

Flächeninhalt in Abhängigkeit von x und r

Die Fläche besteht aus einem Rechteck und einem Halbkreis:

$A_{Gesamt}=A_{Rechteck}+A_{Halbkreis}A\_\{Gesamt\}=A\_\{Rechteck\}+A\_\{Halbkreis\}$

Insgesamt entsteht daraus die Hauptbedingung:

$A(x,r)=2x^2+\frac{1}{2}{r}^2\pi A\backslash left(x,r\backslash right)=2x^2+\backslash frac\{1\}\{2\}r^2\backslash pi$

Nebenbedingung: Rechteckslänge

Die Länge der Strecke [BE] kann auf zwei Arten ausgedrückt werden: $2x2x$ oder $2+2r+22+2r+2$, also

Hauptbedingung in Abhängigkeit von x

Setze die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein, um die Variable r loszuwerden

$\left(I\right)r=x-2\backslash left(I\backslash right)\backslash \; r=x-2$ in

$\left(II\right)A(x,r)=2x^2+\frac{1}{2}{r}^2\pi \backslash left(II\backslash right)\backslash \; A\backslash left(x,r\backslash right)=2x^2+\backslash frac\{1\}\{2\}r^2\backslash pi$

Obere Grenze

Es gilt $\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{DE}+\overline{EF}\le 12\backslash overline\{AB\}+\backslash overline\{BC\}+\backslash overline\{DE\}+\backslash overline\{EF\}\backslash le12$, wobei die Strecken $\left[AB\right]\backslash left[AB\backslash right]$ und $\left[EF\right]\backslash left[EF\backslash right]$ gleich lang sind und $\overline{BC}=\overline{DE}=2\backslash overline\{BC\}=\backslash overline\{DE\}=2$.

Untere Grenze

Die Streckenlänge x muss gleichzeitig größer sein als 2, denn: An der Unterseite des Kanals sind die zwei fixen Strecken $\left[BC\right]\backslash left[BC\backslash right]$ und $\left[DE\right]\backslash left[DE\backslash right]$, die neben dem Radius auf die Länge von $2x2x$ einzahlen. Der Radius kann nicht 0 sein, da der Halbkreis sonst nicht vorhanden ist, allerdings gibt es sonst keine Forderung an eine Mindestgröße.

Ableiten und Nullstellen bestimmen

Die Extremstellen sind die Nullstellen der Ableitung. Bilde also die Ableitung

$A\left(x\right)=(2+0,5\pi )x^2-2\pi x+2\pi A\backslash left(x\backslash right)=\backslash left(2+0\{,\}5\backslash pi\backslash right)x^2-2\backslash pi\; x+2\backslash pi$

$A^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2(2+0,5\pi )x-2\pi =(4+\pi )x-2\pi A\text{'}\backslash left(x\backslash right)=2\backslash left(2+0\{,\}5\backslash pi\backslash right)x-2\backslash pi=\backslash left(4+\backslash pi\backslash right)x-2\backslash pi$

Setze mit 0 gleich und löse die Gleichung:

Art der Extremstelle

Da es sich beim Graphen von A um eine nach oben geöffnete Parabel handelt (Öffnungsfaktor $(2+0,5\pi )>0\backslash left(2+0\{,\}5\backslash pi\backslash right)>0$), ist die Extremstelle ein Tiefpunkt und somit nicht die gesuchte Lösung

Randextrema

Setze den eingeschlossenen Rand $x=4x=4$ direkt in den Funktionsterm ein, beim linken Rand musst du den Grenzwert betrachten, da dieser nicht eingeschlossen ist:

$A\left(4\right)\approx 38,28A\backslash left(4\backslash right)\backslash approx38\{,\}28$

$\underset{x\to 2}{\lim }A(x)=8\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to2\}A(x)=8$.

Absolutes Extremum

Der maximale Flächeninhalt liegt für eine Rohrhöhe von $44$ Metern bei $38,28m^{2}38\{,\}28\; m^2$ Querschnittsfläche.

Flächeninhalt bei $x=4x=4$

Den gesamten Flächeninhalt des Querschnitts könnte man entweder durch die zusammengesetzte Figur (Rechteck und Halbkreis) oder durch die Funktion $A\left(x\right)A\backslash left(x\backslash right)$ bestimmen.

Im letzten Aufgabenteil wurde die Fläche für den Fall $x=4x=4$ sogar schon bestimmt:

$A\left(4\right)\approx 38,28A\backslash left(4\backslash right)\backslash approx38\{,\}28$

Flächeninhalt durch den Wasserpegel

Prozentwert

Bilde den Anteil, den der Flächeninhalt durch das Wasser am gesamten Querschnitt hat: