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Aufgabengruppe A1

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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  1. 1

    Gegeben ist die reelle Funktion f:x↩−14(x3−4x2−2x+8)f:x\mapsto-\frac 14(x^3-4x^2-2x+8) mit dem Definitionsbereich Df=RD_f=\mathbb R.

    1. Bestimmen Sie sĂ€mtliche Nullstellen der Funktion f und deren Vielfachheit. BegrĂŒnden Sie dann ohne weitere Rechnung, dass in den Intervallen ]−2;2[]-\sqrt2;\sqrt2[ sowie ]2;4[]\sqrt 2;4[ jeweils eine Extremstelle liegt. Geben Sie auch deren Art an. (7 BE)

    2. Berechnen Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen GfG_f. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (5 BE)

    3. Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph GfG_f rechts- bzw. linksgekrĂŒmmt ist, sowie die Koordinaten des Wendepunkts. (4 BE)

    4. Zeichnen Sie den Graphen GfG_f im Bereich −2≀x≀4,5-2\leq x\leq4{,}5 auch unter Verwendung der vorliegenden Ergebnisse, in ein kartesisches Koordinatensystem (4 BE)

    5. Die Gerade GtG_t enthÀlt die Schnittpunkte des Graphen GfG_f mit der y-Achse und mit der x-Achse bei x=4x=4. Zeigen Sie, dass die Gerade GtG_t Tangente an GfG_f ist und zeichnen Sie GtG_t in das vorhandene Koordinatensystem ein. (4 BE)

    6. Die Graphen GfG_f und GtG_t schließen ein endliches FlĂ€chenstĂŒck ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines FlĂ€cheninhalts. (4 BE)

    7. Gegeben ist zusĂ€tzlich die Funktion p mit Dp=RD_p=\mathbb R und es gilt: f(x)−p(x)=−14(x3−5x2)f(x)-p(x)=-\frac 1 4(x^3-5x^2).

      Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen f−pf-p mit deren Vielfachheit und erlĂ€utern Sie die geometrische Bedeutung dieser Stellen fĂŒr den Graphen der beiden Funktionen. (4 BE)

  2. 2

    Der Querschnitt eines Abflusskanals ist begrenzt durch ein Rechteck und einen Halbkreis mit Radius r. Alle Angaben sind in Meter. Auf Einheiten wird in der Rechnung verzichtet.

    Bild
    1. Zeigen Sie, dass sich die Maßzahl A(x) der QuerschnittsflĂ€che des Kanals in AbhĂ€ngigkeit von x durch A(x)=(2+0,5π)x2−2πx+2πA\left(x\right)=\left(2+0{,}5\pi\right)x^2-2\pi x+2\pi darstellen lĂ€sst. (5 BE)

    2. Die Strecken [AB], [BC], [DE] und [EF] besitzen in der Summe höchstens eine LÀnge von 12 m.

      Weisen Sie nach, dass dann fĂŒr die sinnvolle maximale Definitionsmenge DAD_A der Funktion A:x↩A(x)A:x\mapsto A\left(x\right) gilt: DA=]2;4]D_A=]2;4] . (3 BE)

    3. Bestimmen Sie x so, dass die zugehörige QuerschnittsflÀche maximalen Inhalt annimmt. (4 BE)

    4. Nun sei x=4.x = 4. Der Kanal ist bis 1 m unter der Oberkante gefĂŒllt. Berechnen Sie, wie viel Prozent der QuerschnittsflĂ€che des Kanals ausgelastet sind. (3 BE)


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