Aufgabengruppe A1

Nullstellenberechnung

Setze die Funktion mit 0 gleich.

$f(x)=-\frac 1 4(x^3-4x^2-2x+8)$

$0=-\frac 1 4(x^3-4x^2-2x+8)$

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann den Wert 0 annimmt, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 wird. Darum kann man den Vorfaktor $-\frac 14$ bei der Nullstellenberechnung ignorieren.

Löse also die Gleichung

$0=x^3-4x^2-2x+8$

Polynomdivision

Da kein x ausgeklammert werden kann (am Ende steht die Konstante 8), musst du eine Polynomdivision anwenden.

Die erste Nullstelle bekommst du durch Ausprobieren oder den Taschenrechner: $x_1=4$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcrll} &x^3&-4x^2&-2x&+8:(x-4)=x^2-2\\ -(&x^3&-4x^2)\\ &&0\\ &&&-2x&+8\\ &&&-(-2x&+8) \end{array}$

Binomische Formel

Löse die entstandene Gleichung $x^2-2=0$ mithilfe der 3. binomischen Formel oder durch Umformen.

Es liegt jeweils eine weitere Nullstelle bei $x_2=-\sqrt{2}$ und $x_3=\sqrt{2}$.

Vielfachheiten

Die Funktion ist vom Grad 3 und du hast drei unterschiedliche Nullstellen berechnet. Diese haben also jeweils die Vielfachheit 1.

Folgerung zur Art und ungefähren Position der Extremstellen

Da der Grad 3 ungerade ist und der Leitkoeffizient mit $-\frac 1 4$negativ, kommt die Funktion von oben und geht nach unten.

Die drei einfachen Nullstellen sind schneidende Nullstellen.

Die erste Extremstelle liegt also zwischen den ersten beiden Nullstellen $x=-\sqrt 2$ und $x=\sqrt 2$ und ist ein Tiefpunkt. Die nächste Extremstelle liegt zwischen $x=\sqrt 2$ und $x=4$ und muss ein Hochpunkt sein.

Ableitung bilden

$f(x)=-\frac{1}{4}(x^3-4x^2-2x+8)$

Leite ab:

$f'(x)=-\frac{1}{4}(3x^2-8x-2)$

Nullstellen der Ableitung bestimmen

Setze die Ableitung mit 0 gleich.

$0=-\frac 1 4(3x^2-8x-2)$

Der Satz vom Nullprodukt erlaubt dir, den Vorfaktor $-\frac 1 4$ zu ignorieren.

$0=3x^2-8x-2$

Verwende die Mitternachtsformel, um die Gleichung zu lösen:

$x_{1{,}2}=\frac{8\pm\sqrt{\left(-8\right)^2-4\cdot3\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot3}$

$x_1=-0{,}23$ und $x_2=2{,}90$

Nachweis und Art über die 2. Ableitung bestimmen

Da es nur zwei Nullstellen gibt, die beide Vielfachheit 1 haben, lässt sich die Art der Extremstellen garantiert über die 2. Ableitung bestimmen.

$f''\left(x\right)=-\frac{1}{4}\left(6x-8\right)$

Setze die beiden Kandidaten für Extremstellen in die 2. Ableitung ein:

$f''\left(-0{,}23\right)=-\frac{1}{4}\left(6\cdot\left(-0{,}23\right)-8\right)\approx2{,}35>0$. Es handelt sich also um einen Tiefpunkt.

$f''\left(2{,}9\right)=-\frac{1}{4}\left(6\cdot2{,}9-8\right)\approx-2{,}35<0$. Es handelt sich also um einen Hochpunkt.

Lage der Extrempunkte

Setze die beiden x-Werte in die Ausgangsfunktion ein, um die y-Koordinaten zu berechnen.

$f\left(-0{,}23\right)\ \approx-2{,}06$

$f\left(2{,}90\right)\approx1{,}76$

Insgesamt gilt also:

$TIP(-0{,}23|-2{,}06)$ und $HOP(2{,}9|1{,}76)$

Nullstellen der 2. Ableitung

Die 2. Ableitung kannst du aus der vorherigen Teilaufgabe entnehmen:

$f''(x)=-\frac{1}{4}(6x−8)$

Die Nullstellen erhältst du durch einfache Umformungen:

Krümmungstabelle

Verwende die gefundene Stelle in der ersten Zeile der Tabelle und betrachte das Vorzeichen in der Umgebung, um die Krümmung zu ermitteln.

Um festzustellen, ob der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist, setze Werte in die 2. Ableitung ein, die kleiner bzw. größer als die Wendestelle sind.

Die Krümmungsintervalle sind also:

Linksgekrümmt in $]-\infty;\frac 4 3]$ und rechtsgekrümmt $[\frac 4 3;+\infty[$

Wendepunkt

Setze die Wendestelle in den Term von f ein:

$f(\frac 4 3)=-0{,}15$

$WEP(\frac 4 3|-0{,}15)$

Geradengleichung aufstellen

Die Gerade soll durch den y-Achsenabschnitt von $G_f$ verlaufen, also durch $P(0|-2)$.

Außerdem soll sie durch $Q(4|0)$ verlaufen, da sie dort die x-Achse schneidet.

Der y-Achsenabschnitt kann direkt in die Geradengleichung eingesetzt werden:

$\Rightarrow y=0{,}5x-2$

Nachweis: Tangente

Überprüfe, dass die Steigung von $G_f$ am y-Achsenabschnitt mit der Steigung der Geraden übereinstimmt, indem du $f'\left(0\right)$ berechnest.

$f'(x)=-\frac{1}{4}(3x^2-8x-2)$

$f'\left(0\right)=-\frac{1}{4}\cdot\left(-2\right)=0{,}5$

Grenzen des Flächenstücks

Wie in der letzten Teilaufgabe angegeben sind die Grenzen $x=0$ und $x=4$.

Differenzfunktion

Der Graph von von f verläuft in diesem Bereich über dem der Tangente. Deshalb musst du $d\left(x\right)=f\left(x\right)-t\left(x\right)$ bilden.

Integral

Setze die Differenzfunktion und die Grenzen in das unbestimmte Integral ein.

$\int_0^4d\left(x\right)dx=\int_0^4\left(-\frac{1}{4}x^3+x^2\right)dx=\left[-\frac{1}{16}x^4+\frac{1}{3}x^3\right]_0^4=\frac{16}{3}$

Nullstellen bestimmen

Setze die Differenzfunktion mit 0 gleich:

$0=-\frac{1}{4}\left(x^3-5x^2\right)$

Du kannst $x^2$ ausklammern:

$0=-\frac{1}{4}x^2\left(x-5\right)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt für die Nullstellen:

$x=0$ mit Vielfachheit 2 und $x=5$ mit Vielfachheit 1

Geometrische Bedeutung

Bei $x=0$ berühren sich die beiden Graphen. Bei $x=5$ schneiden Sie sich.

Flächeninhalt in Abhängigkeit von x und r

Die Fläche besteht aus einem Rechteck und einem Halbkreis:

$A_{Gesamt}=A_{Rechteck}+A_{Halbkreis}$

Insgesamt entsteht daraus die Hauptbedingung:

$A\left(x,r\right)=2x^2+\frac{1}{2}r^2\pi$

Nebenbedingung: Rechteckslänge

Die Länge der Strecke [BE] kann auf zwei Arten ausgedrückt werden: $2x$ oder $2+2r+2$, also

Hauptbedingung in Abhängigkeit von x

Setze die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein, um die Variable r loszuwerden

$\left(I\right)\ r=x-2$ in

$\left(II\right)\ A\left(x,r\right)=2x^2+\frac{1}{2}r^2\pi$

Obere Grenze

Es gilt $\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{DE}+\overline{EF}\le12$, wobei die Strecken $\left[AB\right]$ und $\left[EF\right]$ gleich lang sind und $\overline{BC}=\overline{DE}=2$.

Untere Grenze

Die Streckenlänge x muss gleichzeitig größer sein als 2, denn: An der Unterseite des Kanals sind die zwei fixen Strecken $\left[BC\right]$ und $\left[DE\right]$, die neben dem Radius auf die Länge von $2x$ einzahlen. Der Radius kann nicht 0 sein, da der Halbkreis sonst nicht vorhanden ist, allerdings gibt es sonst keine Forderung an eine Mindestgröße.

Ableiten und Nullstellen bestimmen

Die Extremstellen sind die Nullstellen der Ableitung. Bilde also die Ableitung

$A\left(x\right)=\left(2+0{,}5\pi\right)x^2-2\pi x+2\pi$

$A'\left(x\right)=2\left(2+0{,}5\pi\right)x-2\pi=\left(4+\pi\right)x-2\pi$

Setze mit 0 gleich und löse die Gleichung:

Art der Extremstelle

Da es sich beim Graphen von A um eine nach oben geöffnete Parabel handelt (Öffnungsfaktor $\left(2+0{,}5\pi\right)>0$), ist die Extremstelle ein Tiefpunkt und somit nicht die gesuchte Lösung

Randextrema

Setze den eingeschlossenen Rand $x=4$ direkt in den Funktionsterm ein, beim linken Rand musst du den Grenzwert betrachten, da dieser nicht eingeschlossen ist:

$A\left(4\right)\approx38{,}28$

$\lim\limits_{x\to2}A(x)=8$.

Absolutes Extremum

Der maximale Flächeninhalt liegt für eine Rohrhöhe von $4$ Metern bei $38{,}28 m^2$ Querschnittsfläche.

Flächeninhalt bei $x=4$

Den gesamten Flächeninhalt des Querschnitts könnte man entweder durch die zusammengesetzte Figur (Rechteck und Halbkreis) oder durch die Funktion $A\left(x\right)$ bestimmen.

Im letzten Aufgabenteil wurde die Fläche für den Fall $x=4$ sogar schon bestimmt:

$A\left(4\right)\approx38{,}28$

Flächeninhalt durch den Wasserpegel

Prozentwert

Bilde den Anteil, den der Flächeninhalt durch das Wasser am gesamten Querschnitt hat: