Aufgabengruppe A1 - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die reelle Funktion $f : x \mapsto - \frac{1}{4} (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8)$ mit dem Definitionsbereich $D_{f} = ℝ$ .

Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Funktion f und deren Vielfachheit. Begründen Sie dann ohne weitere Rechnung, dass in den Intervallen $] - \sqrt{2}; \sqrt{2} [$ sowie $] \sqrt{2}; 4 [$ jeweils eine Extremstelle liegt. Geben Sie auch deren Art an. (7 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomdivision
Nullstellenberechnung
Setze die Funktion mit 0 gleich.
$f (x) = - \frac{1}{4} (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8)$
$0 = - \frac{1}{4} (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8)$
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann den Wert 0 annimmt, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 wird. Darum kann man den Vorfaktor $- \frac{1}{4}$ bei der Nullstellenberechnung ignorieren.
Löse also die Gleichung
$0 = x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8$
Polynomdivision
Da kein x ausgeklammert werden kann (am Ende steht die Konstante 8), musst du eine Polynomdivision anwenden.
Die erste Nullstelle bekommst du durch Ausprobieren oder den Taschenrechner: $x_{1} = 4$
$\begin{array}{rrcrll} x^{3} & - 4 x^{2} & - 2 x & + 8 : (x - 4) = x^{2} - 2 \\ - ( & x^{3} & - 4 x^{2}) \\ 0 \\ - 2 x & + 8 \\ - (- 2 x & + 8) \end{array}$
Binomische Formel
Löse die entstandene Gleichung $x^{2} - 2 = 0$ mithilfe der 3. binomischen Formel oder durch Umformen.
$0$ $=$ $x^{2} - 2$
↓
Binomische Formel
$0$ $=$ $(x + \sqrt{2}) (x - \sqrt{2})$
Es liegt jeweils eine weitere Nullstelle bei $x_{2} = - \sqrt{2}$ und $x_{3} = \sqrt{2}$ .
Vielfachheiten
Die Funktion ist vom Grad 3 und du hast drei unterschiedliche Nullstellen berechnet. Diese haben also jeweils die Vielfachheit 1.
Folgerung zur Art und ungefähren Position der Extremstellen
Da der Grad 3 ungerade ist und der Leitkoeffizient mit $- \frac{1}{4}$ negativ, kommt die Funktion von oben und geht nach unten.
Die drei einfachen Nullstellen sind schneidende Nullstellen.
Die erste Extremstelle liegt also zwischen den ersten beiden Nullstellen $x = - \sqrt{2}$ und $x = \sqrt{2}$ und ist ein Tiefpunkt. Die nächste Extremstelle liegt zwischen $x = \sqrt{2}$ und $x = 4$ und muss ein Hochpunkt sein.
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Setze den Funktionsterm von f mit 0 gleich
Zur Nullstellenbestimmung benötigst du die Polynomdivision und die Binomische Formel
Gib die Vielfachheiten der Nullstellen an.
Kombiniere die Informationen zu Position und Vielfachheiten der Nullstellen, Leitkoeffizient und Grad. Daraus kannst du die Intervalle ermitteln, in denen die Nullstellen liegen. Außerdem kannst du die Art der Extremstelle folgern. Eine Skizze kann hier helfen.
Berechnen Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen $G_{f}$ . Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (5 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Ableitung bilden
$f (x) = - \frac{1}{4} (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8)$
Leite ab:
$f^{'} (x) = - \frac{1}{4} (3 x^{2} - 8 x - 2)$
Nullstellen der Ableitung bestimmen
Setze die Ableitung mit 0 gleich.
$0 = - \frac{1}{4} (3 x^{2} - 8 x - 2)$
Der Satz vom Nullprodukt erlaubt dir, den Vorfaktor $- \frac{1}{4}$ zu ignorieren.
$0 = 3 x^{2} - 8 x - 2$
Verwende die Mitternachtsformel, um die Gleichung zu lösen:
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$
$x_{1} = - 0,23$ und $x_{2} = 2,90$
Nachweis und Art über die 2. Ableitung bestimmen
Da es nur zwei Nullstellen gibt, die beide Vielfachheit 1 haben, lässt sich die Art der Extremstellen garantiert über die 2. Ableitung bestimmen.
$f^{''} (x) = - \frac{1}{4} (6 x - 8)$
Setze die beiden Kandidaten für Extremstellen in die 2. Ableitung ein:
$f^{''} (- 0,23) = - \frac{1}{4} (6 \cdot (- 0,23) - 8) \approx 2,35 > 0$ . Es handelt sich also um einen Tiefpunkt.
$f^{''} (2,9) = - \frac{1}{4} (6 \cdot 2,9 - 8) \approx - 2,35 < 0$ . Es handelt sich also um einen Hochpunkt.
Lage der Extrempunkte
Setze die beiden x-Werte in die Ausgangsfunktion ein, um die y-Koordinaten zu berechnen.
$f (- 0,23) \approx - 2,06$
$f (2,90) \approx 1,76$
Insgesamt gilt also:
$T I P (- 0,23 | - 2,06)$ und $H O P (2,9 | 1,76)$
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Das Vorgehen zur Bestimmung von Art und Lage der Extremstellen ist immer gleich. Lediglich beim Nachweis bzw. bei der Bestimmung der Art gibt es drei parallele Wege
Ableitung bilden
Nullstellen der Ableitung bestimmen, um Kandidaten für Extremstellen zu finden
Nachweis und Art der Extremstellen über präferierte Methode (2. Ableitung, Monotonietabelle, Skizze)
Lage über Einsetzen der gefundenen Stellen in die Ausgangsfunktion
(Da die Definitionsmenge nicht eingeschränkt ist, musst du keine Randextrema beachten)
Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph $G_{f}$ rechts- bzw. linksgekrümmt ist, sowie die Koordinaten des Wendepunkts. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Krümmungsverhalten
Nullstellen der 2. Ableitung
Die 2. Ableitung kannst du aus der vorherigen Teilaufgabe entnehmen:
$f^{''} (x) = - \frac{1}{4} (6 x - 8)$
Die Nullstellen erhältst du durch einfache Umformungen:
$0$ $=$ $- \frac{1}{4} (6 x - 8)$ $: (- \frac{1}{4})$
$0$ $=$ $6 x - 8$ $+ 8$
$8$ $=$ $6 x$ $: 6$
$\frac{4}{3}$ $=$ $x$
Krümmungstabelle
Verwende die gefundene Stelle in der ersten Zeile der Tabelle und betrachte das Vorzeichen in der Umgebung, um die Krümmung zu ermitteln.
Um festzustellen, ob der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist, setze Werte in die 2. Ableitung ein, die kleiner bzw. größer als die Wendestelle sind.
x
$x < \frac{4}{3}$
$x = \frac{4}{3}$
$x > \frac{4}{3}$
$f^{''} (x)$
$+$
$0$
$-$
$G_{f}$
lgk
WEP
rgk
Die Krümmungsintervalle sind also:
Linksgekrümmt in $] - \infty; \frac{4}{3}]$ und rechtsgekrümmt $[\frac{4}{3}; + \infty [$
Wendepunkt
Setze die Wendestelle in den Term von f ein:
$f (\frac{4}{3}) = - 0,15$
$W E P (\frac{4}{3} | - 0,15)$
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Um die Krümmung eines Funktionsgraphen zu ermitteln, kannst du folgendermaßen vorgehen:
Bestimme die 2. Ableitung
Bestimme die Nullstellen der 2. Ableitung
Fertige eine Krümmungstabelle an. Überprüfe zugleich, ob es sich bei den Nullstellen der 2. Ableitung tatsächlich um Wendestellen handelt
Setze die Wendestellen in die Ausgangsfunktion ein, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu bestimmen
Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}$ im Bereich $- 2 \leq x \leq 4,5$ auch unter Verwendung der vorliegenden Ergebnisse, in ein kartesisches Koordinatensystem (4 BE)
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Um den Funktionsgraph zu zeichnen, benötigst du eine Wertetabelle.
Zusätzlich sollen aber alle bisherigen Ergebnisse vorhanden sein.
Zeichne also zusätzlich ein:
Nullstellen (1.1)
Extrempunkte (1.2)
Wendepunkt (1.3)
Die Gerade $G_{t}$ enthält die Schnittpunkte des Graphen $G_{f}$ mit der y-Achse und mit der x-Achse bei $x = 4$ . Zeigen Sie, dass die Gerade $G_{t}$ Tangente an $G_{f}$ ist und zeichnen Sie $G_{t}$ in das vorhandene Koordinatensystem ein. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente
Geradengleichung aufstellen
Die Gerade soll durch den y-Achsenabschnitt von $G_{f}$ verlaufen, also durch $P (0 | - 2)$ .
Außerdem soll sie durch $Q (4 | 0)$ verlaufen, da sie dort die x-Achse schneidet.
Der y-Achsenabschnitt kann direkt in die Geradengleichung eingesetzt werden:
$y$ $=$ $m x + t$
↓
Setze den y-Achsenabschnitt ein
$y$ $=$ $m x - 2$
↓
Setze den Punkt Q ein, um m zu bestimmen
$0$ $=$ $4 m - 2$ $+ 2$
$2$ $=$ $4 m$ $: 4$
$0,5$ $=$ $m$
$\Rightarrow y = 0,5 x - 2$
Nachweis: Tangente
Überprüfe, dass die Steigung von $G_{f}$ am y-Achsenabschnitt mit der Steigung der Geraden übereinstimmt, indem du $f^{'} (0)$ berechnest.
$f^{'} (x) = - \frac{1}{4} (3 x^{2} - 8 x - 2)$
$f^{'} (0) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2) = 0,5$
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Stelle zuerst die Geradengleichung durch die gegebenen Punkte auf
Prüfe anschließend, dass die Steigung am y-Achsenabschnitt von $G_{f}$ mit der Steigung am y-Achsenabschnitt der Tangente übereinstimmt.
Vergiss nicht, den Graphen ins Koordinatensystem einzuzeichnen.
Die Graphen $G_{f}$ und $G_{t}$ schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Grenzen des Flächenstücks
Wie in der letzten Teilaufgabe angegeben sind die Grenzen $x = 0$ und $x = 4$ .
Differenzfunktion
Der Graph von von f verläuft in diesem Bereich über dem der Tangente. Deshalb musst du $d (x) = f (x) - t (x)$ bilden.
$d (x)$ $=$ $f (x) - t (x)$
$=$ $- \frac{1}{4} (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8) - (0,5 x - 2)$
$=$ $- \frac{1}{4} x^{3} + x^{2} + \frac{1}{2} x - 2 - 0,5 x + 2$
$=$ $- \frac{1}{4} x^{3} + x^{2}$
Integral
Setze die Differenzfunktion und die Grenzen in das unbestimmte Integral ein.
$\int_{0}^{4} d (x) d x = \int_{0}^{4} (- \frac{1}{4} x^{3} + x^{2}) d x = {[- \frac{1}{16} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{4} = \frac{16}{3}$
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Um die Fläche zwischen zwei Graphen zu berechnen, musst du folgendermaßen vorgehen:
Ermittle die Begrenzungen des Flächenstücks. Hierbei kannst du die gegebenen Werte aus der letzten Teilaufgabe verwenden
Berechne die Differenzfunktion, indem du den Funktionsterm des unteren Graphen vom Term des oberen Graphen abziehst
Bestimme mit der Differenzfunktion und den Grenzen den Wert des bestimmten Integrals. Dazu musst du die Stammfunktion bilden.
Gegeben ist zusätzlich die Funktion p mit $D_{p} = ℝ$ und es gilt: $f (x) - p (x) = - \frac{1}{4} (x^{3} - 5 x^{2})$ .
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen $f - p$ mit deren Vielfachheit und erläutern Sie die geometrische Bedeutung dieser Stellen für den Graphen der beiden Funktionen. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen
Nullstellen bestimmen
Setze die Differenzfunktion mit 0 gleich:
$0 = - \frac{1}{4} (x^{3} - 5 x^{2})$
Du kannst $x^{2}$ ausklammern:
$0 = - \frac{1}{4} x^{2} (x - 5)$
Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt für die Nullstellen:
$x = 0$ mit Vielfachheit 2 und $x = 5$ mit Vielfachheit 1
Geometrische Bedeutung
Bei $x = 0$ berühren sich die beiden Graphen. Bei $x = 5$ schneiden Sie sich.
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x	$x < \frac{4}{3}$	$x = \frac{4}{3}$	$x > \frac{4}{3}$
$f^{''} (x)$	$+$	$0$	$-$
$G_{f}$	lgk	WEP	rgk

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$0$	$=$	$x^{2} - 2$
	↓	Binomische Formel
$0$	$=$	$(x + \sqrt{2}) (x - \sqrt{2})$

$0$	$=$	$- \frac{1}{4} (6 x - 8)$	$: (- \frac{1}{4})$
$0$	$=$	$6 x - 8$	$+ 8$
$8$	$=$	$6 x$	$: 6$
$\frac{4}{3}$	$=$	$x$

$y$	$=$	$m x + t$
	↓	Setze den y-Achsenabschnitt ein
$y$	$=$	$m x - 2$
	↓	Setze den Punkt Q ein, um m zu bestimmen
$0$	$=$	$4 m - 2$	$+ 2$
$2$	$=$	$4 m$	$: 4$
$0,5$	$=$	$m$

$d (x)$	$=$	$f (x) - t (x)$
	$=$	$- \frac{1}{4} (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8) - (0,5 x - 2)$
	$=$	$- \frac{1}{4} x^{3} + x^{2} + \frac{1}{2} x - 2 - 0,5 x + 2$
	$=$	$- \frac{1}{4} x^{3} + x^{2}$

Nullstellenberechnung

Polynomdivision

Binomische Formel

Vielfachheiten

Folgerung zur Art und ungefähren Position der Extremstellen

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Ableitung bilden

Nullstellen der Ableitung bestimmen

Nachweis und Art über die 2. Ableitung bestimmen

Lage der Extrempunkte

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Nullstellen der 2. Ableitung

Krümmungstabelle

Wendepunkt

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Geradengleichung aufstellen

Nachweis: Tangente

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Grenzen des Flächenstücks

Differenzfunktion

Integral

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Nullstellen bestimmen

Geometrische Bedeutung

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