geg.: Geraden: $g:y=0{,}25x-3;\qquad h:y=0{,}6x;\qquad \mathbb{G=RxR}$

$\qquad$ Rauten: $AB_nC_nD_n \quad mit \quad A(0|0),\quad \mathbf{B_n(x|0{,}25x-3)},\quad C_n, D_n$

$\qquad$ wobei $h=AC_n$ Symmetrieachse der Rauten ist

$\qquad$ Zeichenbereich: $−1\leq x\leq 10$ und $−4\leq y \leq 8$; $LE=1\: cm$

ges.: Geraden $g$ und $h$; Raute $AB_1C_1D_1$ für $x=2{,}5$ und Raute $AB_2C_2D_2$ für $x=7$

Anleitung zum Einzeichnen

1. $A(0|0$) einzeichnen

2. für $g$ und $h$ jeweils $2$ Punkte berechnen und Geraden ins Koordinatensystem einzeichnen

3. $B_1$ und $B_2$ für $x=2{,}5$ und $x=7$ auf $g$ eintragen; dann $C_1$ und $D_1$ sowie $C_2$ und $D_2$ zu Rauten ergänzen

geg.: Punkte $B_n(x|0{,}25x-3)$, Gerade $h: y=0{,}6x$

ges.: Abbildung der Punkte $B_n$ via h nach $D_n$

Berechnung Winkel $\varphi$ zwischen x-Achse und Spiegelachse

$h: y=0{,}6x$ $\quad \Rightarrow \tan\varphi=0{,}6\quad \Rightarrow \mathbf {\varphi = 30{,}96°}$

Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel $\alpha$ zur positiven $x-$Achse

$\boxed{Sg=\begin{pmatrix} \cos2α & \sin2α \\ \sin2α & -\cos2α \end{pmatrix}}$

$\textcolor {blue}{\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(2α) & \sin(2α) \\ \sin(2α) & -\cos(2α) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x_B\\y_B \end{pmatrix}}$

Werte für $x_B$ und $y_B$ einsetzen:

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(2\varphi) & \sin(2\varphi) \\ \sin(2\varphi) & -\cos(2\varphi) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$

Wert für $\varphi$ einsetzen und Sinus/Kosinus-Werte berechnen:

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(2\cdot 30{,}96°) & \sin(2\cdot 30{,}96°) \\ \sin(2\cdot 30{,}96°) & -\cos(2\cdot 30{,}96°) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(61{,}92°) & \sin(61{,}92°) \\ \sin(61{,}92°) & -\cos(61{,}92°) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}47 & 0{,}88 \\ 0{,}88 & -0{,}47 \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$

Multiplikation der Abbildungsmatrix mit einem Vektor

$\textcolor{blue}{ \text{Multiplikationsregel:}\begin{pmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cdot x+b\cdot y\\c\cdot x+d\cdot y \end{pmatrix}}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}47\cdot x+0{,}88\cdot(0{,}25x-3)\\0{,}88\cdot x+(-0{,}47)\cdot(0{,}25x-3) \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}47x+0{,}22x-2{,}64\\0{,}88x-0{,}1175x+1{,}41 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}69x-2{,}64\\0{,}76x+1{,}41 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow$ Koordinaten der Punkte $D_n(x):\quad \mathbf{D_n (0{,}69x-2{,}64 | 0{,}76x+1{,}41)}$

geg.: gleichseitiges Parallelogramm, achsensymmetrisch und punktsymmetrisch

ges.: Ist $AB_2C_2D_2$ ein Quadrat ?

Berechnung

Die Raute wäre dann ein Quadrat, wenn zwei Seiten senkrecht zueinander stehen.

Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt $\mathbf{\overrightarrow{AB_2}\odot \overrightarrow{AD_2}=0}$ ist.

Mit $A(0|0)$ und $B_2 (x|0{,}25\cdot x-3)$ für $x=7$ $\Rightarrow$

$\mathbf{\overrightarrow{AB_2}}=\begin{pmatrix}x-0\\(0{,}25x-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7-0\\0{,}25\cdot 7-3\end{pmatrix}=\mathbf{\begin{pmatrix}7\\-1{,}25\end{pmatrix}}$

Mit $A(0|0)$ und $D_2 (0{,}69x-2{,}64 |0{,}76x+1{,}41)$ aus Aufgabe B 2.b für $x=7$ $\Rightarrow$

$\mathbf{\overrightarrow{AD_2}}=\begin{pmatrix}0{,}69\cdot x-2{,}64\\0{,}76\cdot x+1{,}41\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}69\cdot 7-2{,}64\\0{,}76\cdot 7+1{,}41\end{pmatrix}=\mathbf{\begin{pmatrix}2{,}19\\6{,}73\end{pmatrix}}$

Ist das Skalarprodukt $\mathbf{\overrightarrow{AB_2}\odot \overrightarrow{AD_2}=0}$ ?

$\begin{pmatrix}7\\-1{,}25\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}2{,}19\\6{,}73\end{pmatrix}=7\cdot 2{,}19+(-1{,}25)\cdot 6{,}73=15{,}33-8{,}4125=\mathbf{6{,}9175 \neq 0}$

$\Rightarrow$ Die Raute $\mathbf{AB_2C_2D_2}$ ist kein Quadrat!

geg.: $D_n (0{,}69x-2{,}64|0{,}76x+1{,}41)$

ges.: Gleichung für Trägergraph $t$

Aus $D_n (0{,}69x-2{,}64|0{,}76x+1{,}41)$ Gleichungssystem aufstellen:

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}69x-2{,}64\\0{,}76x+1{,}41 \end{pmatrix}$

I. $\quad \mathbf{x_{D_n}=0{,}69x-2{,}64}$

II. $\quad \mathbf{y_{D_n}=0{,}76x+1{,}41}$ $\qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};\quad x\in\mathbb{R}; \quad x>1{,}57$

$x_{D_n}+2{,}64=0{,}69x$ nach $x$ auflösen:

$\Rightarrow x=\frac{(x_{D_n}+2{,}64)}{0{,}69} \Rightarrow x=\frac{x_{D_n}}{0{,}69}+\frac{2{,}64}{0{,}69}; \quad \Rightarrow \mathbf{x=1{,}45x_{D_n}+3{,}82}$

$x$ in $y_{D_n}$ einsetzen:

$y_{D_n}=0{,}76\cdot(1{,}45x_{D_n}+3{,}82)+1{,}41$

$y_{D_n}=1{,}10x_{D_n}+2{,}90+1{,}41$

$\mathbf{y_{D_n}=1{,}10x_{D_n}+4{,}31}\qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

$\Rightarrow$ Trägergraph $\quad\mathbf{t: \ y=1{,}10x+4{,}31}$

Einzeichnen des Trägergraphen $t$ durch die Punkte $D_n$:

geg.: Träger $h$ des Punktes $C_3$

ges.: Raute im Koordinatensystem, Punkt $C_3$, Fläche $AB_3C_3D_3$

Einzeichnen der Raute $AB_3C_3D_3$ siehe Bild

Berechnung der Koordinaten von $C_3$:

Koordinaten von $D_n$ in Abhängigkeit der Abszisse $x: D_n (0{,}69x-2{,}64 | 0{,}76x+1{,}41)$, siehe Aufgabe B 2.b

$\Rightarrow { 0{,}69x-2{,}64=0} \qquad \quad x\in\mathbb{R}; \quad x>1{,}57$

$\Rightarrow { 0{,}69x=2{,}64}\qquad x=\frac{2{,}64}{0{,}69}=3{,}826\approx 3{,}83\qquad \Rightarrow L=\{3{,}83\}$

$x$ in Gleichung für $h$ einsetzen:

Flächeninhalt der Raute $AB_3 C_3 D_3$ ist ein gleichseitiges Parallelogramm,

$\Rightarrow A_{AB_3C_3D_3}: \:A=a\cdot h_a$

Berechnung $\textbf{a}$:

Der Trägergraph $\mathbf{y=1{,}10x+4{,}31}$ (siehe Aufgabe (d)) ist für $x=0$:

$y=1{,}10x+4{,}31=1{,}10\cdot 0+4{,}31=4{,}31$

$\Rightarrow$ Strecke $\mathbf{[AD_3]= a = 4{,}31}$ LE

Berechnung $\mathbf {h_a}$ $≙$ Abstand $d$ zwischen Punkt $C_3$ und Strecke $AD_3$,

daher ist $\mathbf{d(C_3;AD_3)=3{,}83}$ LE

Mit $\mathbf{a≙[AD_3]}$ und $\mathbf{{h_a}≙d(C_3;AD_3)}$ $\Rightarrow$

Fläche $\mathbf{A_{AB_3C_3D_3}}=\overline{AD_3}\cdot d(C_3;AD_3 )=4{,}31\cdot3{,}83=\mathbf{16{,}55\: FE}$