Teil B

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B2
Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit einer Gleichung der Form
$y=\log_2(x+b)+1$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}; b\in \mathbb{R})$ .
Der Graph zu $f_{1}$ schneidet die y-Achse im Punkt $P (0 ∣ 3)$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{1}$ die Gleichung $y=\log_2(x+4)+1$ besitzt.
  Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in [- 3{,}5;6]$ in ein Koordinatensystem.
  (3 P)
  Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $-6\le x\le6$ ; $-2\le y\le5$
  
  geg.: $f_1:y=\log_{2}{(x+\mathbf{b)}}+1$ , $f_1\:\cap y$ -Achse in $P (0 ∣ 3)$
  ges.: Parameter $b$ in $f_{1}$ ; Zeichnung Graph zu $f_{1}$
  Berechnung Parameter $b$ : Einsetzen von $P (0 ∣ 3)$ in $f_{1}$ und Auflösen nach $b$
  $3=\log_{2}{(0+b)}+1\qquad \Rightarrow 3-1=\log_{2}{(b)}\qquad \Rightarrow \log_{2}{(b)}=2\qquad b\in\mathbb{R}$
  Logarithmus-Regel: $x=\log_{a}{y}\quad \Leftrightarrow \quad y=a^{x}$ anwenden:
  $\log_{2}{b}=2\quad \Leftrightarrow\quad b=2^{2}=4\quad\Rightarrow \mathbb{L}=\left\{4\right\}$
  $\mathbf {\Rightarrow f_1:\quad y=\log_{2}{(x+4)}+1\qquad \mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R}}$
  Einzeichnen des Graphen $f_{1}$ für $x\in[-3{,}5;6]$
  Berechnung von Wertepaaren:
  $f_1(-3{,}5):\quad y=\log_{2}{(-3{,}5+4)}+1=(-1)+1=0\\ f_1(-3):\quad y=\log_{2}{(-3+4)}+1=0+1=1\\ f_1(0):\quad y=\log_{2}{(0+4)}+1=2+1=3\\ f_1(6):\quad y=\log_{2}{(6+4)}+1=3{,}32+1=4{,}32$
  Wertepaare von $f_{1}$
  Graph zu $f_{1}$
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  Berechne den Parameter $b$ der Logarithmusfunktion $f_{1}$ ;
  Zeichne den Graphen von $f_{1}$ .
2. Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ auf den Graphen der
  Funktion $f_{2}$ abgebildet.
  Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y=-\log_2(x+6)+2$ mit $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ besitzt.
  Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in[-5{,}5;6]$ in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. (3 P)
  
  geg.: Funktionsgraph $f_{1}$ ; Verschiebungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}$
  ges.: $f_{2}$ (=gespiegelte +parallel verschobene $f_{1}$ ); Zeichnung der Graphen
  Spiegelung $f_{1}$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1
  $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\-(\log_{2}{(x+4)}+1)\end{pmatrix}\qquad\qquad \mathbb{G} =\mathbb{R}x \mathbb{R}; \quad x\in\mathbb{R}; \quad x>-4$
  $x'=x\\ y'=-\log_{2}{(x'+4)-1}$
  $\Rightarrow \mathbf{f_{1(gespiegelt)}: \quad y=-\log_{2}{(x+4)-1}}$
  Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}$
  $\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\-(\log_{2}{(x+4)}-1)\end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}\qquad\qquad \mathbb{G} =\mathbb{R}x \mathbb{R}; \quad x\in\mathbb{R}; \quad x>-4$
  $x''=x-2 \quad \Rightarrow x=x''+2$ einsetzen in $y^{''}$
  $y''=-\log_{2}{(x''+2+4)-1+3}=\log_{2}{(x''+6)+2}\qquad \mathbb{G} =\mathbb{R}x \mathbb{R}$
  $\Rightarrow \mathbf{f_{2(gespiegelt\: und\: verschoben)}: \quad y=-\log_{2}{(x+6)+2}}$
  Einzeichnen des Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-5{,}5;6]$
  Berechnung von Werten:
  $f_2 (-5{,}5): y=-\log_{2}{(-5{,}5+6)} +2=-(−1)+2=3\\ f_2 (0): y=-\log_{2}{(0+6)}+2=-2{,}58+2=−0{,}58\\ f_2 (2): y=-\log_{2}{(2+6)}+2=-3+2=−1\\ f_2 (6): y=-\log_{2}{(6+6)}+2=-3{,}58+2=-1{,}58$
  Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$
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  Spiegle $f_{1}$ an der $x -$ Achse und führe eine Parallelverschiebung mit dem Verschiebungsvektor $v$ auf $f_{2}$ aus;
  Zeichne den gespiegelten und parallel verschobenen Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ .
3. Punkte $A_n(x|\log_2(x+4)+1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_n(x|-\log_2(x+6)+2)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Zusammen mit Punkten $B_{n}$ sind sie für $x \gt -3{,}26$ die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ mit den Hypotenusen $[B_{n} C_{n}]$ . Es gilt: $\overline{A_nB_n}=4\;\text{LE}$ .
  Zeichnen Sie in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5$ ein. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
  Eckpunkte von $\mathbf{\triangle A_1B_1C_1\: \text{für}\: x=−1}$ berechnen:
  $A_1\: \text{auf} \:f_1: y=\log_{2}{(x+4)}+1=\log_{2}{(-1+4)} +1=\log_{2}{(3)}+1=1{,}58+1=2{,}58\\ \Rightarrow A_1(−1|2{,}58)$
  $B_1\: \text{Eckpunkt}\: \text{des}\: \triangle {A_1B_1C_1}\: \text{mit} \:A_1B_1=4LE \Rightarrow B_1(−1−4|2{,}58)\\ \Rightarrow B_1(−5|2{,}58)$
  $C_1\: \text{auf}\:f_2: y=-\log_{2}{(x+6)} +2=-\log_{2}{(-1+6)} +2=-2{,}32+2=0{,}32\\ \Rightarrow C_1(−1|−0{,}32)$
  Eckpunkte von $\mathbf{\triangle A_2B_2C_2\: für\: x=5}$ berechnen:
  $A_2\: \text{auf }f_1: y=\log_{2}{(x+4)}+1=\log_{2}{(5+4)}+1=\log_{2}{(9)}+1=3{,}17+1=4{,}17\\ \Rightarrow A_2(5|4{,}17)$
  $B_2\: \text{Eckpunkt des}\: \triangle A_2B_2C_2\: \text{mit}\: A_2B_2=4LE \Rightarrow B_2(5−4|4{,}17)\\ \Rightarrow B_2(1|4{,}17)$
  $C_2 \:\text{ auf}\:f_2:\quad y=-\log_{2}{(x+6)}+2=-\log_{2}{(5+6)}+2= -3{,}46+2= -1{,}46\\ \Rightarrow C_2(5|−1{,}46)$
  $\mathbf {\triangle A_1B_1C_1}$ und $\mathbf {\triangle A_2B_2C_2}$ einzeichnen: siehe Zeichnung zu Aufgabe (b)
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  Berechne die Eckpunkte der Dreiecke und zeichne sie anschließend ins KOSY ein.
4. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\overline {A_nC_n}(x)=[\log_2(x^2+10x+24)-1]\;\text{LE}$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  geg.: Punkte $A_{n}$ liegen auf dem Graphen von $f_{1}$ : $A_n(x)=\log_{2}{(x+4)}+1$
  Punkte $C_{n}$ liegen auf dem Graphen von $f_{2}$ : $C_n(x)=-\log_{2}{(x+6)}+2$
  ges.: $\overline {A_nC_n}(x)$
  Nachweis für $\overline {A_nC_n}(x)$
  $\overline {A_nC_n}(x)=[\log_{2}{(x+4)}+1-(-\log_{2}{(x+6)}+2)]\: LE\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$
  $\overline {A_nC_n}(x)=[\log_{2}{(x+4)}+1+\log_{2}{(x+6)}-2)]$
  $\overline {A_nC_n}(x)=[\log_{2}{(x+4)}+\log_{2}{(x+6)}-1)]$
  mit 1. Logarithmusgesetz $\log_{a}{(x)}+\log_{a}{(y)}=\log_{a}{(x\cdot y)}$ folgt:
  $\overline {A_nC_n}(x)=\log_{2}[{(x+4)}\cdot {(x+6)}]-1$
  $\overline {A_nC_n}(x)= \log_{2}({x^2+4x+6x+24)}-1$
  $\mathbf{\overline {A_nC_n}(x)= [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]$ LE q.e.d.
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  Berechne $\overline {A_nC_n}(x)=f_1-f_2$ und verwende die Logarithmusgesetze, um den Term zusammenzufassen.
5. Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ hat den Flächeninhalt $10\;\text{FE}$ .
  Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  geg.: $\overline {A_nC_n}(x)= \log_{2}({x^2+10x+24)}-1$
  $\qquad \overline {A_nB_n}=4\:LE$ ; $A_\triangle =10\: FE$
  ges.: $x$ -Koordinate von $A_{3}$ enthalten in $\mathbf{\overline {A_nC_n}(x)}$
  Berechnung x über die Dreiecksfläche:
  $\mathbf{{A}(x)=\frac{1}{2}\cdot\overline {A_nB_n}\cdot \overline {A_nC_n}(x)}\\$ ${{A}(x)=0{,}5\cdot4\cdot [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]\: FE\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$
  ${{A}(x)=2\cdot [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]$ | setze A(x) = 10 FE
  ${10=2\cdot [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]$ | :2 $\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$ ${5=\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}$ | +1
  ${6=\log_{2}({x^2+10x+24)}}$ | Logarithmus in Potenz umwandeln
  Es gilt: $\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \Leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$
  $\textcolor{blue}{x^2+10x+24}= \textcolor{green}{2}^{\textcolor{red}6}$ | quadratische Gleichung lösen
  $x^{2} + 10 x + 24 = 64$ | -64
  $x^{2} + 10 x - 40 = 0$ | a-b-c-Formel anwenden
  Berechnung der Diskriminante D:
  $\mathbf{D=b^2-4ac}=10^2-4\cdot1\cdot(-40)=100+160=\textbf{260}$
  $\Rightarrow D>0\Leftrightarrow 2$ Lösungen
  $\mathbf{x_{1{,}2}}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-10\pm\sqrt{260}}{2}=\mathbf{\frac{-10\pm16{,}12}{2}}$
  $\mathbf{x_{1}}=\frac{-10+16{,}12}{2}=\frac{6{,}12}{2}=\mathbf{3{,}06}$ $\mathbf{x_{2}}=\frac{-10-16{,}12}{2}=\frac{-26{,}12}{2}=\mathbf{-13{,}06}$
  Für Nullstellen gilt $x \in\mathbb{R}$ und $x > - 3,26$ : $\Rightarrow \mathbf{ \mathbb{L}=\{3{,}06\}}$
  Die gesuchte $x$ -Koordinate von $A_{3}$ ist $x = 3,06$ .
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  Berechne $x$ über die Dreiecksfläche.
  Berechne dazu die Nullstellen der quadratischen Funktion aus (d) mithilfe der a-b-c-Formel.
6. Der Eckpunkt $B_{4}$ des Dreiecks $A_{4} B_{4} C_{4}$ liegt auf dem Graphen zu $f_{2}$ .
  Berechnen Sie die $x$ -Koordinate des Punktes $B_{4} .$ (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  geg.: $f_1: y=\log_{2}{(x+4)}+1\\$ $\qquad f_2: y=-\log_{2}{(x+6)}+2$
  $\qquad$ Es gilt: $B_n[ (\mathbf{x-4)}|\log_{2}{(x+4)}+1]\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$
  ges.: $x$ -Koordinate von $A_{4}$ enthalten in $\overline {A_nC_n}(x)$
  $\qquad$ $\Rightarrow$ $x$ -Koordinate von $B_{4}$ : $\mathbf{x_{B_{4}}=x_{A_4}-4}$
  Gleichsetzen der Funktionswerte
  $\log_{2}{(x+4)+1}=-\log_{2}{(x+2)}+2$
  Hierbei wurde im Term von $f_{2}$ $x$ durch $x - 4$ ersetzt (siehe geg.).
  $\log_{2}{(x+4)+1}+\log_{2}{(x+2)}+2=0$
  $\log_{2}{(x+4)}+\log_{2}{(x+2)}-1=0$ | 1. Logarithmusgesetz anwenden
  $\textcolor {blue}{\mathbf {\log_{a}{(x)}+\log_{a}{(y)}=\log_{a}{(x\cdot y)}}}$
  $\log_{2}[{(x+4)\cdot(x+2)}]-1=0$
  $\log_{2}[x^2+6x+8]=1$ | Logarithmus in Potenz umwandeln
  $\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \Leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$
  $\textcolor{blue}{x^2+6x+8}= \textcolor{green}{2}^{\textcolor{red}1}$ | quadratische Gleichung lösen
  $x^{2} + 6 x + 8 = 2$ | $\textcolor {blue}{-2}$
  $x^{2} + 6 x + 6 = 0$ |a-b-c-Formel anwenden
  $\mathbf{D=b^2-4ac}=6^2-4\cdot1\cdot6=36-24=\mathbf{12}$
  $\Rightarrow D>0\Leftrightarrow$ 2 Lösungen
  $x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6\pm\sqrt{12}}{2\cdot{1}}=\frac{-6\pm3{,}46}{2}$
  $x_{1}=\frac{-6+3{,}46}{2}=\frac{2{,}54}{2}=-1{,}27$ $x_{2}=\frac{-6-3{,}46}{2}=\frac{-9{,}46}{2}=-4{,}73$
  Nullstellen sind: { $-4{,}73; \mathbf{-1{,}27}$ }
  Es gilt $x \in\mathbb{R}$ und $x > - 3,26$
  Also ist die Lösung $x = - 1,27$ $\mathbb{L}=\{-1{,}27\}$
  $\Rightarrow \mathbf{{x_{B_{4}}=x_{A_4}-4=-1{,}27-4=-5{,}27}}$
  Check:
  $x=−5{,}27 \Rightarrow y=-\log_{2}{(-5{,}27)} +6)+2$
  $y=-\log_{2}{(0{,}73)} +2$
  $\mathbf{y=}-(-0{,}45)+2=\mathbf{2{,}45}$
  $\textcolor{orange}{\mathbf {△ A_4B_4C_4}}$ einzeichnen in die Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$
  Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ mit $\textcolor{red}{\mathbf {△ A_4B_4C_4}}$
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  Setze $f_{1} = f_{2}$ gleich. Ersetze $x$ durch $x - 4$ in $f_{2}$ und bestimme die Nullstellen mithilfe a-b-c-Formel.
2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B3
Gegeben sind die Geraden $g$ : $y = 0,25 x - 3$ und $h$ : ⁣ $y = 0,6 x$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .
Punkte $B_n(x| 0{,}25x -3)$ auf der Geraden $g$ bilden für $x\gt 1{,}57$ zusammen mit dem Punkt
$A (0 ∣ 0)$ und Punkten $C_{n}$ und $D_{n}$ Rauten $A B_{n} C_{n} D_{n}$ , wobei die Gerade $h = A C_{n}$ eine der Symmetrieachsen der Rauten ist.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $h$ sowie die Rauten $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 2,5$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem. (3 BE)
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$ ; $-1 \le x \le10$ ; $-4 \le y \le 8$
  
  geg.: Geraden: $g:y=0{,}25x-3;\qquad h:y=0{,}6x;\qquad \mathbb{G=RxR}$
  $\qquad$ Rauten: $AB_nC_nD_n \quad mit \quad A(0|0),\quad \mathbf{B_n(x|0{,}25x-3)},\quad C_n, D_n$
  $\qquad$ wobei $h = A C_{n}$ Symmetrieachse der Rauten ist
  $\qquad$ Zeichenbereich: $−1\leq x\leq 10$ und $−4\leq y \leq 8$ ; $LE=1\: cm$
  ges.: Geraden $g$ und $h$ ; Raute $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 2,5$ und Raute $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$
  Anleitung zum Einzeichnen
  1. $A (0 ∣ 0$ ) einzeichnen
  2. für $g$ und $h$ jeweils $2$ Punkte berechnen und Geraden ins Koordinatensystem einzeichnen
  3. $B_{1}$ und $B_{2}$ für $x = 2,5$ und $x = 7$ auf $g$ eintragen; dann $C_{1}$ und $D_{1}$ sowie $C_{2}$ und $D_{2}$ zu Rauten ergänzen
  Geraden und Rauten im Koordinatensystem
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  Zeichne die Geraden $g$ und $h$ sowie Rauten ins Koordinatensystem ein.
2. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ . (3 BE)
  $[$ Ergebnis: $D_n(0{,}69x-2{,}64|0{,}76x+1{,}41)]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung mit Matrizen
  geg.: Punkte $B_n(x|0{,}25x-3)$ , Gerade $h : y = 0,6 x$
  ges.: Abbildung der Punkte $B_{n}$ via h nach $D_{n}$
  Berechnung Winkel $\varphi$ zwischen x-Achse und Spiegelachse
  $h : y = 0,6 x$ $\quad \Rightarrow \tan\varphi=0{,}6\quad \Rightarrow \mathbf {\varphi = 30{,}96°}$
  Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel $\alpha$ zur positiven $x -$ Achse
  $\boxed{Sg=\begin{pmatrix} \cos2α & \sin2α \\ \sin2α & -\cos2α \end{pmatrix}}$
  $\textcolor {blue}{\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(2α) & \sin(2α) \\ \sin(2α) & -\cos(2α) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x_B\\y_B \end{pmatrix}}$
  Werte für $x_{B}$ und $y_{B}$ einsetzen:
  $\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(2\varphi) & \sin(2\varphi) \\ \sin(2\varphi) & -\cos(2\varphi) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$
  Wert für $\varphi$ einsetzen und Sinus/Kosinus-Werte berechnen:
  $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(2\cdot 30{,}96°) & \sin(2\cdot 30{,}96°) \\ \sin(2\cdot 30{,}96°) & -\cos(2\cdot 30{,}96°) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$
  $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(61{,}92°) & \sin(61{,}92°) \\ \sin(61{,}92°) & -\cos(61{,}92°) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$
  $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}47 & 0{,}88 \\ 0{,}88 & -0{,}47 \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$
  Multiplikation der Abbildungsmatrix mit einem Vektor
  $\textcolor{blue}{ \text{Multiplikationsregel:}\begin{pmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cdot x+b\cdot y\\c\cdot x+d\cdot y \end{pmatrix}}$
  $\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}47\cdot x+0{,}88\cdot(0{,}25x-3)\\0{,}88\cdot x+(-0{,}47)\cdot(0{,}25x-3) \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}47x+0{,}22x-2{,}64\\0{,}88x-0{,}1175x+1{,}41 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}69x-2{,}64\\0{,}76x+1{,}41 \end{pmatrix}$
  $\Rightarrow$ Koordinaten der Punkte $D_n(x):\quad \mathbf{D_n (0{,}69x-2{,}64 | 0{,}76x+1{,}41)}$
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  Berechne den Winkel $\varphi$ zwischen $x -$ Achse und Spiegelachse.
  Berechne die Abbildung der Punkte $B_{n}$ via Spiegelachse $h$ nach $D_{n}$ .
3. Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Raute $A B_{2} C_{2} D_{2}$ ein Quadrat ist. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften Raute und Quadrat
  geg.: gleichseitiges Parallelogramm, achsensymmetrisch und punktsymmetrisch
  ges.: Ist $A B_{2} C_{2} D_{2}$ ein Quadrat ?
  Berechnung
  Die Raute wäre dann ein Quadrat, wenn zwei Seiten senkrecht zueinander stehen.
  Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt $\mathbf{\overrightarrow{AB_2}\odot \overrightarrow{AD_2}=0}$ ist.
  Mit $A (0 ∣ 0)$ und $B_2 (x|0{,}25\cdot x-3)$ für $x = 7$ $\Rightarrow$
  $\mathbf{\overrightarrow{AB_2}}=\begin{pmatrix}x-0\\(0{,}25x-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7-0\\0{,}25\cdot 7-3\end{pmatrix}=\mathbf{\begin{pmatrix}7\\-1{,}25\end{pmatrix}}$
  Mit $A (0 ∣ 0)$ und $D_2 (0{,}69x-2{,}64 |0{,}76x+1{,}41)$ aus Aufgabe B 2.b für $x = 7$ $\Rightarrow$
  $\mathbf{\overrightarrow{AD_2}}=\begin{pmatrix}0{,}69\cdot x-2{,}64\\0{,}76\cdot x+1{,}41\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}69\cdot 7-2{,}64\\0{,}76\cdot 7+1{,}41\end{pmatrix}=\mathbf{\begin{pmatrix}2{,}19\\6{,}73\end{pmatrix}}$
  Ist das Skalarprodukt $\mathbf{\overrightarrow{AB_2}\odot \overrightarrow{AD_2}=0}$ ?
  $\begin{pmatrix}7\\-1{,}25\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}2{,}19\\6{,}73\end{pmatrix}=7\cdot 2{,}19+(-1{,}25)\cdot 6{,}73=15{,}33-8{,}4125=\mathbf{6{,}9175 \neq 0}$
  $\Rightarrow$ Die Raute $\mathbf{AB_2C_2D_2}$ ist kein Quadrat!
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  Überprüfe, ob die Seiten im rechten Winkel zueinander stehen.
  Berechne dazu die Skalarprodukte.
4. Bestimmen Sie die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_{n}$ .
  Zeichnen Sie sodann den Trägergraphen $t$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein. (3 BE)
  
  geg.: $D_n (0{,}69x-2{,}64|0{,}76x+1{,}41)$
  ges.: Gleichung für Trägergraph $t$
  Aus $D_n (0{,}69x-2{,}64|0{,}76x+1{,}41)$ Gleichungssystem aufstellen:
  $\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}69x-2{,}64\\0{,}76x+1{,}41 \end{pmatrix}$
  I. $\quad \mathbf{x_{D_n}=0{,}69x-2{,}64}$
  II. $\quad \mathbf{y_{D_n}=0{,}76x+1{,}41}$ $\qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};\quad x\in\mathbb{R}; \quad x>1{,}57$
  $x_{D_n}+2{,}64=0{,}69x$ nach $x$ auflösen:
  $\Rightarrow x=\frac{(x_{D_n}+2{,}64)}{0{,}69} \Rightarrow x=\frac{x_{D_n}}{0{,}69}+\frac{2{,}64}{0{,}69}; \quad \Rightarrow \mathbf{x=1{,}45x_{D_n}+3{,}82}$
  $x$ in $y_{D_n}$ einsetzen:
  $y_{D_n}=0{,}76\cdot(1{,}45x_{D_n}+3{,}82)+1{,}41$
  $y_{D_n}=1{,}10x_{D_n}+2{,}90+1{,}41$
  $\mathbf{y_{D_n}=1{,}10x_{D_n}+4{,}31}\qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$
  $\Rightarrow$ Trägergraph $\quad\mathbf{t: \ y=1{,}10x+4{,}31}$
  Einzeichnen des Trägergraphen $t$ durch die Punkte $D_{n}$ :
  Punkte auf $t$ : Graph siehe Aufgabe 2.a
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  Für die Punkte $D_{n}$ gilt $D_n (x' | \text{Trägergraphgleichung})$ :
  1. Gleichungssystem für $I.\: x_D = …$ und $II. \:y_D = …$ aufstellen
  2. $I .$ nach $x^{'}$ auflösen und
  3. in $I I .$ einsetzen.
  4. Trägergraph einzeichnen
5. Der Punkt $D_{3}$ der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf der y-Achse.
  Zeichnen Sie die Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.
  Berechnen Sie sodann die Koordinaten des Punktes $C_{3}$ sowie den Flächeninhalt der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ . (5 BE)
  $[$ Teilergebnis: $x_{C_3}=3{,}83]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächen der Raute
  geg.: Träger $h$ des Punktes $C_{3}$
  ges.: Raute im Koordinatensystem, Punkt $C_{3}$ , Fläche $A B_{3} C_{3} D_{3}$
  Einzeichnen der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ siehe Bild
  Berechnung der Koordinaten von $C_{3}$ :
  Koordinaten von $D_{n}$ in Abhängigkeit der Abszisse $x: D_n (0{,}69x-2{,}64 | 0{,}76x+1{,}41)$ , siehe Aufgabe B 2.b
  $\Rightarrow { 0{,}69x-2{,}64=0} \qquad \quad x\in\mathbb{R}; \quad x>1{,}57$
  $\Rightarrow { 0{,}69x=2{,}64}\qquad x=\frac{2{,}64}{0{,}69}=3{,}826\approx 3{,}83\qquad \Rightarrow L=\{3{,}83\}$
  $x$ in Gleichung für $h$ einsetzen:
  Flächeninhalt der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ ist ein gleichseitiges Parallelogramm,
  $\Rightarrow A_{AB_3C_3D_3}: \:A=a\cdot h_a$
  Berechnung $\textbf{a}$ :
  Der Trägergraph $\mathbf{y=1{,}10x+4{,}31}$ (siehe Aufgabe (d)) ist für $x = 0$ :
  $y=1{,}10x+4{,}31=1{,}10\cdot 0+4{,}31=4{,}31$
  $\Rightarrow$ Strecke $\mathbf{[AD_3]= a = 4{,}31}$ LE
  Berechnung $\mathbf {h_a}$ $≘$ Abstand $d$ zwischen Punkt $C_{3}$ und Strecke $A D_{3}$ ,
  daher ist $\mathbf{d(C_3;AD_3)=3{,}83}$ LE
  Mit $\mathbf{a≙[AD_3]}$ und $\mathbf{{h_a}≙d(C_3;AD_3)}$ $\Rightarrow$
  Fläche $\mathbf{A_{AB_3C_3D_3}}=\overline{AD_3}\cdot d(C_3;AD_3 )=4{,}31\cdot3{,}83=\mathbf{16{,}55\: FE}$
  Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$
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  Zeichne die Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ .
  Berechne die Koordinate $C_{3}$
  Berechne die Fläche der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil B

Aufgabe B2

Berechnung Parameter bbb: Einsetzen von P(0∣3)P(0|3)P(0∣3) in f1f_1f1​ und Auflösen nach bbb

Einzeichnen des Graphen f1f_1f1​ für x∈[−3,5;6]x\in[-3{,}5;6]x∈[−3,5;6]

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Spiegelung f1f_1 f1​ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1

Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit v⃗=(−23)\vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}v=(−23​)

Einzeichnen des Graphen zu f2f_2f2​ für x∈[−5,5;6]x\in[-5{,}5;6]x∈[−5,5;6]

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Eckpunkte von △A1B1C1 fu¨r x=−1\mathbf{\triangle A_1B_1C_1\: \text{für}\: x=−1}△A1​B1​C1​fu¨rx=−1 berechnen:

Eckpunkte von △A2B2C2 fu¨r x=5\mathbf{\triangle A_2B_2C_2\: für\: x=5}△A2​B2​C2​fu¨rx=5 berechnen:

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Nachweis für AnCn‾(x)\overline {A_nC_n}(x)An​Cn​​(x)

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Berechnung x über die Dreiecksfläche:

Berechnung der Diskriminante D:

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Gleichsetzen der Funktionswerte

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Aufgabe B3

Anleitung zum Einzeichnen

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Berechnung Winkel φ\varphiφ zwischen x-Achse und Spiegelachse

Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel α\alphaα zur positiven x−x-x−Achse

Multiplikation der Abbildungsmatrix mit einem Vektor

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Berechnung

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Aus Dn(0,69x−2,64∣0,76x+1,41)D_n (0{,}69x-2{,}64|0{,}76x+1{,}41)Dn​(0,69x−2,64∣0,76x+1,41) Gleichungssystem aufstellen:

xDn+2,64=0,69xx_{D_n}+2{,}64=0{,}69xxDn​​+2,64=0,69x nach xxx auflösen:

xxx in yDny_{D_n}yDn​​ einsetzen:

Einzeichnen des Trägergraphen ttt durch die Punkte DnD_nDn​:

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Einzeichnen der Raute AB3C3D3AB_3C_3D_3AB3​C3​D3​ siehe Bild

Berechnung der Koordinaten von C3C_3C3​:

Flächeninhalt der Raute AB3C3D3AB_3 C_3 D_3AB3​C3​D3​ ist ein gleichseitiges Parallelogramm,

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Berechnung Parameter $b$ : Einsetzen von $P (0 ∣ 3)$ in $f_{1}$ und Auflösen nach $b$

Einzeichnen des Graphen $f_{1}$ für $x\in[-3{,}5;6]$

Spiegelung $f_{1}$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1

Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}$

Einzeichnen des Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-5{,}5;6]$

Eckpunkte von $\mathbf{\triangle A_1B_1C_1\: \text{für}\: x=−1}$ berechnen:

Eckpunkte von $\mathbf{\triangle A_2B_2C_2\: für\: x=5}$ berechnen:

Nachweis für $\overline {A_nC_n}(x)$

Berechnung Winkel $\varphi$ zwischen x-Achse und Spiegelachse

Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel $\alpha$ zur positiven $x -$ Achse

Aus $D_n (0{,}69x-2{,}64|0{,}76x+1{,}41)$ Gleichungssystem aufstellen:

$x_{D_n}+2{,}64=0{,}69x$ nach $x$ auflösen:

$x$ in $y_{D_n}$ einsetzen:

Einzeichnen des Trägergraphen $t$ durch die Punkte $D_{n}$ :

Einzeichnen der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ siehe Bild

Berechnung der Koordinaten von $C_{3}$ :

Flächeninhalt der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ ist ein gleichseitiges Parallelogramm,