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Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Aufgabe B2

    Gegeben ist die Funktion f1f_1 mit einer Gleichung der Form

    y=log2(x+b)+1y=\log_2(x+b)+1 (G=R×R;bR)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}; b\in \mathbb{R}).

    Der Graph zu f1f_1 schneidet die y-Achse im Punkt P(03)P(0|3).

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f1f_1 die Gleichung y=log2(x+4)+1y=\log_2(x+4)+1 besitzt.

      Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f1f_1 für x[3,5;6]x\in [- 3{,}5;6] in ein Koordinatensystem.

      (3 P)

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; 6x6-6\le x\le6; 2y5-2\le y\le5

    2. Der Graph der Funktion f1f_1 wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor v=(23)\vec{v}=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} auf den Graphen der

      Funktion f2f_2 abgebildet.

      Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion f2f_2 die Gleichung y=log2(x+6)+2y=-\log_2(x+6)+2 mit (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}) besitzt.

      Zeichnen Sie sodann den Graphen zu f2f_2 für x[5,5;6]x \in[-5{,}5;6] in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. (3 P)

    3. Punkte An(xlog2(x+4)+1)A_n(x|\log_2(x+4)+1) auf dem Graphen zu f1f_1 haben dieselbe Abszisse xx wie Punkte Cn(xlog2(x+6)+2)C_n(x|-\log_2(x+6)+2) auf dem Graphen zu f2f_2. Zusammen mit Punkten BnB_n sind sie für x>3,26x \gt -3{,}26 die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken AnBnCnA_nB_nC_n mit den Hypotenusen [BnCn][B_nC_n]. Es gilt: AnBn=4  LE\overline{A_nB_n}=4\;\text{LE}.

      Zeichnen Sie in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) die Dreiecke A1B1C1A_1B_1C_1 für x=1x =- 1 und A2B2C2A_2B_2C_2 für x=5x =5 ein. (2 P)

    4. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [AnCn][A_nC_n] in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte AnA_n gilt: AnCn(x)=[log2(x2+10x+24)1]  LE\overline {A_nC_n}(x)=[\log_2(x^2+10x+24)-1]\;\text{LE}. (2 P)

    5. Das Dreieck A3B3C3A_3B_3C_3 hat den Flächeninhalt 10  FE10\;\text{FE}.

      Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Punktes A3A_3. (3 P)


    6. Der Eckpunkt B4B_4 des Dreiecks A4B4C4A_4B_4C_4 liegt auf dem Graphen zu f2f_2.

      Berechnen Sie die xx-Koordinate des Punktes B4.B_4. (4 P)


  2. 2

    Aufgabe B3

    Gegeben sind die Geraden gg: y=0,25x3y= 0{,}25x-3 und hh: ⁣y=0,6xy =0{,}6x (G=R×R)(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}).

    Punkte Bn(x0,25x3)B_n(x| 0{,}25x -3) auf der Geraden gg bilden für x>1,57x\gt 1{,}57 zusammen mit dem Punkt

    A(00)A (0| 0) und Punkten CnC_n und DnD_n Rauten ABnCnDnAB_nC_nD_n, wobei die Gerade h=ACnh=AC_n eine der Symmetrieachsen der Rauten ist.

    Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

    1. Zeichnen Sie die Geraden gg und hh sowie die Rauten AB1C1D1AB_1C_1D_1 für x=2,5x =2{,}5 und AB2C2D2AB_2C_2D_2 für x=7x =7 in ein Koordinatensystem. (3 BE)

      Für die Zeichnung: Längeneinheit 1  cm1\;\text{cm}; 1x10-1 \le x \le10 ; 4y8-4 \le y \le 8

    2. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte DnD_n in Abhängigkeit von der Abszisse xx der Punkte BnB_n. (3 BE)

      [[Ergebnis: Dn(0,69x2,640,76x+1,41)]D_n(0{,}69x-2{,}64|0{,}76x+1{,}41)]

    3. Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Raute AB2C2D2AB_2C_2D_2 ein Quadrat ist. (3 BE)

    4. Bestimmen Sie die Gleichung des Trägergraphen tt der Punkte DnD_n.

      Zeichnen Sie sodann den Trägergraphen tt in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein. (3 BE)

    5. Der Punkt D3D_3 der Raute AB3C3D3AB_3C_3D_3 liegt auf der y-Achse.

      Zeichnen Sie die Raute AB3C3D3AB_3C_3D_3 in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

      Berechnen Sie sodann die Koordinaten des Punktes C3C_3 sowie den Flächeninhalt der Raute AB3C3D3AB_3C_3D_3. (5 BE)

      [[Teilergebnis: xC3=3,83]x_{C_3}=3{,}83]


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