Teil B

geg.: $f_1:y=\log_{2}{(x+\mathbf{b)}}+1$, $f_1\:\cap y$-Achse in $P(0|3)$

ges.: Parameter $b$ in $f_1$; Zeichnung Graph zu $f_1$

Berechnung Parameter $b$: Einsetzen von $P(0|3)$ in $f_1$ und Auflösen nach $b$

$3=\log_{2}{(0+b)}+1\qquad \Rightarrow 3-1=\log_{2}{(b)}\qquad \Rightarrow \log_{2}{(b)}=2\qquad b\in\mathbb{R}$

Logarithmus-Regel: $x=\log_{a}{y}\quad \Leftrightarrow \quad y=a^{x}$ anwenden:

$\log_{2}{b}=2\quad \Leftrightarrow\quad b=2^{2}=4\quad\Rightarrow \mathbb{L}=\left\{4\right\}$

$\mathbf {\Rightarrow f_1:\quad y=\log_{2}{(x+4)}+1\qquad \mathbb{G}= \mathbb{R} \times \mathbb{R}}$

Einzeichnen des Graphen $f_1$ für $x\in[-3{,}5;6]$

Berechnung von Wertepaaren:

$f_1(-3{,}5):\quad y=\log_{2}{(-3{,}5+4)}+1=(-1)+1=0\\ f_1(-3):\quad y=\log_{2}{(-3+4)}+1=0+1=1\\ f_1(0):\quad y=\log_{2}{(0+4)}+1=2+1=3\\ f_1(6):\quad y=\log_{2}{(6+4)}+1=3{,}32+1=4{,}32$

geg.: Funktionsgraph $f_1$; Verschiebungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}$

ges.: $f_2$ (=gespiegelte +parallel verschobene $f_1$); Zeichnung der Graphen

Spiegelung $f_1$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\-(\log_{2}{(x+4)}+1)\end{pmatrix}\qquad\qquad \mathbb{G} =\mathbb{R}x \mathbb{R}; \quad x\in\mathbb{R}; \quad x>-4$

$x'=x\\ y'=-\log_{2}{(x'+4)-1}$

$\Rightarrow \mathbf{f_{1(gespiegelt)}: \quad y=-\log_{2}{(x+4)-1}}$

Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit $\vec{v}=\begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\-(\log_{2}{(x+4)}-1)\end{pmatrix}\oplus \begin{pmatrix} -2\\3 \end{pmatrix}\qquad\qquad \mathbb{G} =\mathbb{R}x \mathbb{R}; \quad x\in\mathbb{R}; \quad x>-4$

$x''=x-2 \quad \Rightarrow x=x''+2$ einsetzen in $y''$

$y''=-\log_{2}{(x''+2+4)-1+3}=\log_{2}{(x''+6)+2}\qquad \mathbb{G} =\mathbb{R}x \mathbb{R}$

$\Rightarrow \mathbf{f_{2(gespiegelt\: und\: verschoben)}: \quad y=-\log_{2}{(x+6)+2}}$

Einzeichnen des Graphen zu $f_2$ für $x\in[-5{,}5;6]$

Berechnung von Werten:

$f_2 (-5{,}5): y=-\log_{2}{(-5{,}5+6)} +2=-(−1)+2=3\\ f_2 (0): y=-\log_{2}{(0+6)}+2=-2{,}58+2=−0{,}58\\ f_2 (2): y=-\log_{2}{(2+6)}+2=-3+2=−1\\ f_2 (6): y=-\log_{2}{(6+6)}+2=-3{,}58+2=-1{,}58$

Eckpunkte von $\mathbf{\triangle A_1B_1C_1\: \text{für}\: x=−1}$ berechnen:

$A_1\: \text{auf} \:f_1: y=\log_{2}{(x+4)}+1=\log_{2}{(-1+4)} +1=\log_{2}{(3)}+1=1{,}58+1=2{,}58\\ \Rightarrow A_1(−1|2{,}58)$

$B_1\: \text{Eckpunkt}\: \text{des}\: \triangle {A_1B_1C_1}\: \text{mit} \:A_1B_1=4LE \Rightarrow B_1(−1−4|2{,}58)\\ \Rightarrow B_1(−5|2{,}58)$

$C_1\: \text{auf}\:f_2: y=-\log_{2}{(x+6)} +2=-\log_{2}{(-1+6)} +2=-2{,}32+2=0{,}32\\ \Rightarrow C_1(−1|−0{,}32)$

Eckpunkte von $\mathbf{\triangle A_2B_2C_2\: für\: x=5}$ berechnen:

$A_2\: \text{auf }f_1: y=\log_{2}{(x+4)}+1=\log_{2}{(5+4)}+1=\log_{2}{(9)}+1=3{,}17+1=4{,}17\\ \Rightarrow A_2(5|4{,}17)$

$B_2\: \text{Eckpunkt des}\: \triangle A_2B_2C_2\: \text{mit}\: A_2B_2=4LE \Rightarrow B_2(5−4|4{,}17)\\ \Rightarrow B_2(1|4{,}17)$

$C_2 \:\text{ auf}\:f_2:\quad y=-\log_{2}{(x+6)}+2=-\log_{2}{(5+6)}+2= -3{,}46+2= -1{,}46\\ \Rightarrow C_2(5|−1{,}46)$

$\mathbf {\triangle A_1B_1C_1}$ und $\mathbf {\triangle A_2B_2C_2}$ einzeichnen: siehe Zeichnung zu Aufgabe (b)

geg.: Punkte $A_n$ liegen auf dem Graphen von $f_1$: $A_n(x)=\log_{2}{(x+4)}+1$

Punkte $C_n$ liegen auf dem Graphen von $f_2$: $C_n(x)=-\log_{2}{(x+6)}+2$

ges.: $\overline {A_nC_n}(x)$

Nachweis für $\overline {A_nC_n}(x)$

$\overline {A_nC_n}(x)=[\log_{2}{(x+4)}+1-(-\log_{2}{(x+6)}+2)]\: LE\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$

$\overline {A_nC_n}(x)=[\log_{2}{(x+4)}+1+\log_{2}{(x+6)}-2)]$

$\overline {A_nC_n}(x)=[\log_{2}{(x+4)}+\log_{2}{(x+6)}-1)]$

mit 1. Logarithmusgesetz $\log_{a}{(x)}+\log_{a}{(y)}=\log_{a}{(x\cdot y)}$ folgt:

$\overline {A_nC_n}(x)=\log_{2}[{(x+4)}\cdot {(x+6)}]-1$

$\overline {A_nC_n}(x)= \log_{2}({x^2+4x+6x+24)}-1$

$\mathbf{\overline {A_nC_n}(x)= [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]$ LE q.e.d.

geg.: $\overline {A_nC_n}(x)= \log_{2}({x^2+10x+24)}-1$

$\qquad \overline {A_nB_n}=4\:LE$; $A_\triangle =10\: FE$

ges.: $x$-Koordinate von $A_3$ enthalten in $\mathbf{\overline {A_nC_n}(x)}$

Berechnung x über die Dreiecksfläche:

$\mathbf{{A}(x)=\frac{1}{2}\cdot\overline {A_nB_n}\cdot \overline {A_nC_n}(x)}\\$${{A}(x)=0{,}5\cdot4\cdot [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]\: FE\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$

${{A}(x)=2\cdot [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]$ | setze A(x) = 10 FE

${10=2\cdot [\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}]$ | :2 $\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$${5=\log_{2}({x^2+10x+24)}-1}$ | +1

${6=\log_{2}({x^2+10x+24)}}$ | Logarithmus in Potenz umwandeln

Es gilt: $\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \Leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$

$\textcolor{blue}{x^2+10x+24}= \textcolor{green}{2}^{\textcolor{red}6}$ | quadratische Gleichung lösen

$x^2+10x+24= 64$ | -64

$x^2+10x-40= 0$ | a-b-c-Formel anwenden

Berechnung der Diskriminante D:

$\mathbf{D=b^2-4ac}=10^2-4\cdot1\cdot(-40)=100+160=\textbf{260}$

$\Rightarrow D>0\Leftrightarrow 2$ Lösungen

$\mathbf{x_{1{,}2}}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-10\pm\sqrt{260}}{2}=\mathbf{\frac{-10\pm16{,}12}{2}}$

$\mathbf{x_{1}}=\frac{-10+16{,}12}{2}=\frac{6{,}12}{2}=\mathbf{3{,}06}$ $\mathbf{x_{2}}=\frac{-10-16{,}12}{2}=\frac{-26{,}12}{2}=\mathbf{-13{,}06}$

Für Nullstellen gilt $x \in\mathbb{R}$ und $x>-3{,}26$: $\Rightarrow \mathbf{ \mathbb{L}=\{3{,}06\}}$

Die gesuchte $x$-Koordinate von $A_3$ ist $x=3{,}06$ .

geg.: $f_1: y=\log_{2}{(x+4)}+1\\$$\qquad f_2: y=-\log_{2}{(x+6)}+2$

$\qquad$ Es gilt: $B_n[ (\mathbf{x-4)}|\log_{2}{(x+4)}+1]\qquad x \in\mathbb{R};\: x>-3{,}26$

ges.: $x$-Koordinate von $A_4$ enthalten in $\overline {A_nC_n}(x)$

$\qquad$$\Rightarrow$ $x$-Koordinate von $B_4$: $\mathbf{x_{B_{4}}=x_{A_4}-4}$

Gleichsetzen der Funktionswerte

$\log_{2}{(x+4)+1}=-\log_{2}{(x+2)}+2$

Hierbei wurde im Term von $f_2$ $x$ durch $x-4$ ersetzt (siehe geg.).

$\log_{2}{(x+4)+1}+\log_{2}{(x+2)}+2=0$

$\log_{2}{(x+4)}+\log_{2}{(x+2)}-1=0$ | 1. Logarithmusgesetz anwenden

$\textcolor {blue}{\mathbf {\log_{a}{(x)}+\log_{a}{(y)}=\log_{a}{(x\cdot y)}}}$

$\log_{2}[{(x+4)\cdot(x+2)}]-1=0$

$\log_{2}[x^2+6x+8]=1$ | Logarithmus in Potenz umwandeln

$\mathbf{\textcolor{red}{x}= \log_{\textcolor{green}{a}}{(\textcolor{blue}{y})} \Leftrightarrow \textcolor{blue}{y}=\textcolor{green}{a}^{\textcolor{red}x}}$

$\textcolor{blue}{x^2+6x+8}= \textcolor{green}{2}^{\textcolor{red}1}$ | quadratische Gleichung lösen

$x^2+6x+8=2$ | $\textcolor {blue}{-2}$

$x^2+6x+6= 0$ |a-b-c-Formel anwenden

$\mathbf{D=b^2-4ac}=6^2-4\cdot1\cdot6=36-24=\mathbf{12}$

$\Rightarrow D>0\Leftrightarrow$ 2 Lösungen

$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6\pm\sqrt{12}}{2\cdot{1}}=\frac{-6\pm3{,}46}{2}$

$x_{1}=\frac{-6+3{,}46}{2}=\frac{2{,}54}{2}=-1{,}27$ $x_{2}=\frac{-6-3{,}46}{2}=\frac{-9{,}46}{2}=-4{,}73$

Nullstellen sind: {$-4{,}73; \mathbf{-1{,}27}$}

Es gilt $x \in\mathbb{R}$ und $x>-3{,}26$ $$

Also ist die Lösung $x=-1{,}27$ $\mathbb{L}=\{-1{,}27\}$

$\Rightarrow \mathbf{{x_{B_{4}}=x_{A_4}-4=-1{,}27-4=-5{,}27}}$

Check:

$x=−5{,}27 \Rightarrow y=-\log_{2}{(-5{,}27)} +6)+2$

$y=-\log_{2}{(0{,}73)} +2$

$\mathbf{y=}-(-0{,}45)+2=\mathbf{2{,}45}$

$\textcolor{orange}{\mathbf {△ A_4B_4C_4}}$ einzeichnen in die Graphen zu $f_1$ und $f_2$

geg.: Geraden: $g:y=0{,}25x-3;\qquad h:y=0{,}6x;\qquad \mathbb{G=RxR}$

$\qquad$ Rauten: $AB_nC_nD_n \quad mit \quad A(0|0),\quad \mathbf{B_n(x|0{,}25x-3)},\quad C_n, D_n$

$\qquad$ wobei $h=AC_n$ Symmetrieachse der Rauten ist

$\qquad$ Zeichenbereich: $−1\leq x\leq 10$ und $−4\leq y \leq 8$; $LE=1\: cm$

ges.: Geraden $g$ und $h$; Raute $AB_1C_1D_1$ für $x=2{,}5$ und Raute $AB_2C_2D_2$ für $x=7$

Anleitung zum Einzeichnen

1. $A(0|0$) einzeichnen

2. für $g$ und $h$ jeweils $2$ Punkte berechnen und Geraden ins Koordinatensystem einzeichnen

3. $B_1$ und $B_2$ für $x=2{,}5$ und $x=7$ auf $g$ eintragen; dann $C_1$ und $D_1$ sowie $C_2$ und $D_2$ zu Rauten ergänzen

geg.: Punkte $B_n(x|0{,}25x-3)$, Gerade $h: y=0{,}6x$

ges.: Abbildung der Punkte $B_n$ via h nach $D_n$

Berechnung Winkel $\varphi$ zwischen x-Achse und Spiegelachse

$h: y=0{,}6x$ $\quad \Rightarrow \tan\varphi=0{,}6\quad \Rightarrow \mathbf {\varphi = 30{,}96°}$

Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel $\alpha$ zur positiven $x-$Achse

$\boxed{Sg=\begin{pmatrix} \cos2α & \sin2α \\ \sin2α & -\cos2α \end{pmatrix}}$

$\textcolor {blue}{\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(2α) & \sin(2α) \\ \sin(2α) & -\cos(2α) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x_B\\y_B \end{pmatrix}}$

Werte für $x_B$ und $y_B$ einsetzen:

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(2\varphi) & \sin(2\varphi) \\ \sin(2\varphi) & -\cos(2\varphi) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$

Wert für $\varphi$ einsetzen und Sinus/Kosinus-Werte berechnen:

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(2\cdot 30{,}96°) & \sin(2\cdot 30{,}96°) \\ \sin(2\cdot 30{,}96°) & -\cos(2\cdot 30{,}96°) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(61{,}92°) & \sin(61{,}92°) \\ \sin(61{,}92°) & -\cos(61{,}92°) \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}47 & 0{,}88 \\ 0{,}88 & -0{,}47 \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\0{,}25x-3 \end{pmatrix}$

Multiplikation der Abbildungsmatrix mit einem Vektor

$\textcolor{blue}{ \text{Multiplikationsregel:}\begin{pmatrix} x^{'}\\y^{'} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cdot x+b\cdot y\\c\cdot x+d\cdot y \end{pmatrix}}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}47\cdot x+0{,}88\cdot(0{,}25x-3)\\0{,}88\cdot x+(-0{,}47)\cdot(0{,}25x-3) \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}47x+0{,}22x-2{,}64\\0{,}88x-0{,}1175x+1{,}41 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}69x-2{,}64\\0{,}76x+1{,}41 \end{pmatrix}$

$\Rightarrow$ Koordinaten der Punkte $D_n(x):\quad \mathbf{D_n (0{,}69x-2{,}64 | 0{,}76x+1{,}41)}$

geg.: gleichseitiges Parallelogramm, achsensymmetrisch und punktsymmetrisch

ges.: Ist $AB_2C_2D_2$ ein Quadrat ?

Berechnung

Die Raute wäre dann ein Quadrat, wenn zwei Seiten senkrecht zueinander stehen.

Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt $\mathbf{\overrightarrow{AB_2}\odot \overrightarrow{AD_2}=0}$ ist.

Mit $A(0|0)$ und $B_2 (x|0{,}25\cdot x-3)$ für $x=7$ $\Rightarrow$

$\mathbf{\overrightarrow{AB_2}}=\begin{pmatrix}x-0\\(0{,}25x-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7-0\\0{,}25\cdot 7-3\end{pmatrix}=\mathbf{\begin{pmatrix}7\\-1{,}25\end{pmatrix}}$

Mit $A(0|0)$ und $D_2 (0{,}69x-2{,}64 |0{,}76x+1{,}41)$ aus Aufgabe B 2.b für $x=7$ $\Rightarrow$

$\mathbf{\overrightarrow{AD_2}}=\begin{pmatrix}0{,}69\cdot x-2{,}64\\0{,}76\cdot x+1{,}41\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}69\cdot 7-2{,}64\\0{,}76\cdot 7+1{,}41\end{pmatrix}=\mathbf{\begin{pmatrix}2{,}19\\6{,}73\end{pmatrix}}$

Ist das Skalarprodukt $\mathbf{\overrightarrow{AB_2}\odot \overrightarrow{AD_2}=0}$ ?

$\begin{pmatrix}7\\-1{,}25\end{pmatrix}\odot\begin{pmatrix}2{,}19\\6{,}73\end{pmatrix}=7\cdot 2{,}19+(-1{,}25)\cdot 6{,}73=15{,}33-8{,}4125=\mathbf{6{,}9175 \neq 0}$

$\Rightarrow$ Die Raute $\mathbf{AB_2C_2D_2}$ ist kein Quadrat!

geg.: $D_n (0{,}69x-2{,}64|0{,}76x+1{,}41)$

ges.: Gleichung für Trägergraph $t$

Aus $D_n (0{,}69x-2{,}64|0{,}76x+1{,}41)$ Gleichungssystem aufstellen:

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0{,}69x-2{,}64\\0{,}76x+1{,}41 \end{pmatrix}$

I. $\quad \mathbf{x_{D_n}=0{,}69x-2{,}64}$

II. $\quad \mathbf{y_{D_n}=0{,}76x+1{,}41}$ $\qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R};\quad x\in\mathbb{R}; \quad x>1{,}57$

$x_{D_n}+2{,}64=0{,}69x$ nach $x$ auflösen:

$\Rightarrow x=\frac{(x_{D_n}+2{,}64)}{0{,}69} \Rightarrow x=\frac{x_{D_n}}{0{,}69}+\frac{2{,}64}{0{,}69}; \quad \Rightarrow \mathbf{x=1{,}45x_{D_n}+3{,}82}$

$x$ in $y_{D_n}$ einsetzen:

$y_{D_n}=0{,}76\cdot(1{,}45x_{D_n}+3{,}82)+1{,}41$

$y_{D_n}=1{,}10x_{D_n}+2{,}90+1{,}41$

$\mathbf{y_{D_n}=1{,}10x_{D_n}+4{,}31}\qquad \mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

$\Rightarrow$ Trägergraph $\quad\mathbf{t: \ y=1{,}10x+4{,}31}$

Einzeichnen des Trägergraphen $t$ durch die Punkte $D_n$:

geg.: Träger $h$ des Punktes $C_3$

ges.: Raute im Koordinatensystem, Punkt $C_3$, Fläche $AB_3C_3D_3$

Einzeichnen der Raute $AB_3C_3D_3$ siehe Bild