Teil B

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B1
Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit einer Gleichung der Form
$y = \log_{2} (x + b) + 1$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ; b \in ℝ)$ .
Der Graph zu $f_{1}$ schneidet die y-Achse im Punkt $P (0 | 3)$ .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{1}$ die Gleichung $y = \log_{2} (x + 4) + 1$ besitzt.
  Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 3,5; 6]$ in ein Koordinatensystem.
  (3 P)
  Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $- 6 \leq x \leq 6$ ; $- 2 \leq y \leq 5$
  
  geg.: $f_{1} : y = \log_{2} (x + 𝐛) + 1$ , $f_{1} \cap y$ -Achse in $P (0 | 3)$
  ges.: Parameter $b$ in $f_{1}$ ; Zeichnung Graph zu $f_{1}$
  Berechnung Parameter $b$ : Einsetzen von $P (0 | 3)$ in $f_{1}$ und Auflösen nach $b$
  $3 = \log_{2} (0 + b) + 1 \Rightarrow 3 - 1 = \log_{2} (b) \Rightarrow \log_{2} (b) = 2 b \in ℝ$
  Logarithmus-Regel: $x = \log_{a} y \Leftrightarrow y = a^{x}$ anwenden:
  $\log_{2} b = 2 \Leftrightarrow b = 2^{2} = 4 \Rightarrow 𝕃 = {4}$
  $\Rightarrow 𝐟_{𝟏} : 𝐲 = \log_{𝟐} (𝐱 + 𝟒) + 𝟏 𝔾 = ℝ \times ℝ$
  Einzeichnen des Graphen $f_{1}$ für $x \in [- 3,5; 6]$
  Berechnung von Wertepaaren:
  $\begin{array}{l} f_{1} (- 3,5) : y = \log_{2} (- 3,5 + 4) + 1 = (- 1) + 1 = 0 \\ f_{1} (- 3) : y = \log_{2} (- 3 + 4) + 1 = 0 + 1 = 1 \\ f_{1} (0) : y = \log_{2} (0 + 4) + 1 = 2 + 1 = 3 \\ f_{1} (6) : y = \log_{2} (6 + 4) + 1 = 3,32 + 1 = 4,32 \end{array}$
  Wertepaare von $f_{1}$
  Graph zu $f_{1}$
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  Berechne den Parameter $b$ der Logarithmusfunktion $f_{1}$ ;
  Zeichne den Graphen von $f_{1}$ .
2. Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array})$ auf den Graphen der
  Funktion $f_{2}$ abgebildet.
  Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y = - \log_{2} (x + 6) + 2$ mit $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ besitzt.
  Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 5,5; 6]$ in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. (3 P)
  
  geg.: Funktionsgraph $f_{1}$ ; Verschiebungsvektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array})$
  ges.: $f_{2}$ (=gespiegelte +parallel verschobene $f_{1}$ ); Zeichnung der Graphen
  Spiegelung $f_{1}$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - (\log_{2} (x + 4) + 1) \end{array}) 𝔾 = ℝ x ℝ; x \in ℝ; x > - 4$
  $\begin{array}{l} x^{'} = x \\ y^{'} = - \log_{2} (x^{'} + 4) - 1 \end{array}$
  $\Rightarrow 𝐟_{𝟏 (𝐠 𝐞 𝐬 𝐩 𝐢 𝐞 𝐠 𝐞 𝐥 𝐭)} : 𝐲 = - \log_{𝟐} (𝐱 + 𝟒) - 𝟏$
  Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array})$
  $(\begin{array}{c} x^{''} \\ y^{''} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - (\log_{2} (x + 4) - 1) \end{array}) \oplus︎ (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array}) 𝔾 = ℝ x ℝ; x \in ℝ; x > - 4$
  $x^{''} = x - 2 \Rightarrow x = x^{''} + 2$ einsetzen in $y^{''}$
  $y^{''} = - \log_{2} (x^{''} + 2 + 4) - 1 + 3 = \log_{2} (x^{''} + 6) + 2 𝔾 = ℝ x ℝ$
  $\Rightarrow 𝐟_{𝟐 (𝐠 𝐞 𝐬 𝐩 𝐢 𝐞 𝐠 𝐞 𝐥 𝐭 𝐮 𝐧 𝐝 𝐯 𝐞 𝐫 𝐬 𝐜 𝐡 𝐨 𝐛 𝐞 𝐧)} : 𝐲 = - \log_{𝟐} (𝐱 + 𝟔) + 𝟐$
  Einzeichnen des Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 5,5; 6]$
  Berechnung von Werten:
  $\begin{array}{l} f_{2} (- 5,5) : y = - \log_{2} (- 5,5 + 6) + 2 = - (- 1) + 2 = 3 \\ f_{2} (0) : y = - \log_{2} (0 + 6) + 2 = - 2,58 + 2 = - 0,58 \\ f_{2} (2) : y = - \log_{2} (2 + 6) + 2 = - 3 + 2 = - 1 \\ f_{2} (6) : y = - \log_{2} (6 + 6) + 2 = - 3,58 + 2 = - 1,58 \end{array}$
  Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$
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  Spiegle $f_{1}$ an der $x -$ Achse und führe eine Parallelverschiebung mit dem Verschiebungsvektor $v$ auf $f_{2}$ aus;
  Zeichne den gespiegelten und parallel verschobenen Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ .
3. Punkte $A_{n} (x | \log_{2} (x + 4) + 1)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ wie Punkte $C_{n} (x | - \log_{2} (x + 6) + 2)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ . Zusammen mit Punkten $B_{n}$ sind sie für $x > - 3,26$ die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken $A_{n} B_{n} C_{n}$ mit den Hypotenusen $[B_{n} C_{n}]$ . Es gilt: $A_{n} B_{n} = 4 LE$ .
  Zeichnen Sie in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) die Dreiecke $A_{1} B_{1} C_{1}$ für $x = - 1$ und $A_{2} B_{2} C_{2}$ für $x = 5$ ein. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Logarithmus
  Eckpunkte von $△ 𝐀_{𝟏} 𝐁_{𝟏} 𝐂_{𝟏} für 𝐱 = - 𝟏$ berechnen:
  $\begin{array}{l} A_{1} auf f_{1} : y = \log_{2} (x + 4) + 1 = \log_{2} (- 1 + 4) + 1 = \log_{2} (3) + 1 = 1,58 + 1 = 2,58 \\ \Rightarrow A_{1} (- 1 | 2,58) \end{array}$
  $\begin{array}{l} B_{1} Eckpunkt des △ A_{1} B_{1} C_{1} mit A_{1} B_{1} = 4 L E \Rightarrow B_{1} (- 1 - 4 | 2,58) \\ \Rightarrow B_{1} (- 5 | 2,58) \end{array}$
  $\begin{array}{l} C_{1} auf f_{2} : y = - \log_{2} (x + 6) + 2 = - \log_{2} (- 1 + 6) + 2 = - 2,32 + 2 = 0,32 \\ \Rightarrow C_{1} (- 1 | - 0,32) \end{array}$
  Eckpunkte von $△ 𝐀_{𝟐} 𝐁_{𝟐} 𝐂_{𝟐} 𝐟 \ddot{𝐮} 𝐫 𝐱 = 𝟓$ berechnen:
  $\begin{array}{l} A_{2} auf f_{1} : y = \log_{2} (x + 4) + 1 = \log_{2} (5 + 4) + 1 = \log_{2} (9) + 1 = 3,17 + 1 = 4,17 \\ \Rightarrow A_{2} (5 | 4,17) \end{array}$
  $\begin{array}{l} B_{2} Eckpunkt des △ A_{2} B_{2} C_{2} mit A_{2} B_{2} = 4 L E \Rightarrow B_{2} (5 - 4 | 4,17) \\ \Rightarrow B_{2} (1 | 4,17) \end{array}$
  $\begin{array}{l} C_{2} auf f_{2} : y = - \log_{2} (x + 6) + 2 = - \log_{2} (5 + 6) + 2 = - 3,46 + 2 = - 1,46 \\ \Rightarrow C_{2} (5 | - 1,46) \end{array}$
  $△ 𝐀_{𝟏} 𝐁_{𝟏} 𝐂_{𝟏}$ und $△ 𝐀_{𝟐} 𝐁_{𝟐} 𝐂_{𝟐}$ einzeichnen: siehe Zeichnung zu Aufgabe (b)
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  Berechne die Eckpunkte der Dreiecke und zeichne sie anschließend ins KOSY ein.
4. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A_{n} C_{n} (x) = [\log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1] LE$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  geg.: Punkte $A_{n}$ liegen auf dem Graphen von $f_{1}$ : $A_{n} (x) = \log_{2} (x + 4) + 1$
  Punkte $C_{n}$ liegen auf dem Graphen von $f_{2}$ : $C_{n} (x) = - \log_{2} (x + 6) + 2$
  ges.: $A_{n} C_{n} (x)$
  Nachweis für $A_{n} C_{n} (x)$
  $A_{n} C_{n} (x) = [\log_{2} (x + 4) + 1 - (- \log_{2} (x + 6) + 2)] L E x \in ℝ; x > - 3,26$
  $A_{n} C_{n} (x) = [\log_{2} (x + 4) + 1 + \log_{2} (x + 6) - 2)]$
  $A_{n} C_{n} (x) = [\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x + 6) - 1)]$
  mit 1. Logarithmusgesetz $\log_{a} (x) + \log_{a} (y) = \log_{a} (x \cdot y)$ folgt:
  $A_{n} C_{n} (x) = \log_{2} [(x + 4) \cdot (x + 6)] - 1$
  $A_{n} C_{n} (x) = \log_{2} (x^{2} + 4 x + 6 x + 24) - 1$
  $𝐀_{𝐧} 𝐂_{𝐧} (𝐱) = [\log_{𝟐} (𝐱^{𝟐} + 𝟏𝟎 𝐱 + 𝟐𝟒) - 𝟏]$ LE q.e.d.
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  Berechne $A_{n} C_{n} (x) = f_{1} - f_{2}$ und verwende die Logarithmusgesetze, um den Term zusammenzufassen.
5. Das Dreieck $A_{3} B_{3} C_{3}$ hat den Flächeninhalt $10 FE$ .
  Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Punktes $A_{3}$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  geg.: $A_{n} C_{n} (x) = \log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1$
  $A_{n} B_{n} = 4 L E$ ; $A_{△} = 10 F E$
  ges.: $x$ -Koordinate von $A_{3}$ enthalten in $𝐀_{𝐧} 𝐂_{𝐧} (𝐱)$
  Berechnung x über die Dreiecksfläche:
  $\begin{array}{l} 𝐀 (𝐱) = \frac{𝟏}{𝟐} \cdot 𝐀_{𝐧} 𝐁_{𝐧} \cdot 𝐀_{𝐧} 𝐂_{𝐧} (𝐱) \end{array}$ $A (x) = 0,5 \cdot 4 \cdot [\log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1] F E x \in ℝ; x > - 3,26$
  $A (x) = 2 \cdot [\log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1]$ | setze A(x) = 10 FE
  $10 = 2 \cdot [\log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1]$ | :2 $x \in ℝ; x > - 3,26$ $5 = \log_{2} (x^{2} + 10 x + 24) - 1$ | +1
  $6 = \log_{2} (x^{2} + 10 x + 24)$ | Logarithmus in Potenz umwandeln
  Es gilt: $𝐱 = \log_{𝐚} (𝐲) \Leftrightarrow 𝐲 = 𝐚^{𝐱}$
  $x^{2} + 10 x + 24 = 2^{6}$ | quadratische Gleichung lösen
  $x^{2} + 10 x + 24 = 64$ | -64
  $x^{2} + 10 x - 40 = 0$ | a-b-c-Formel anwenden
  Berechnung der Diskriminante D:
  $𝐃 = 𝐛^{𝟐} - 𝟒 𝐚 𝐜 = 10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40) = 100 + 160 = 𝟐𝟔𝟎$
  $\Rightarrow D > 0 \Leftrightarrow 2$ Lösungen
  $𝐱_{𝟏,𝟐} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 10 \pm \sqrt{260}}{2} = \frac{- 𝟏𝟎 \pm 𝟏𝟔,𝟏𝟐}{𝟐}$
  $𝐱_{𝟏} = \frac{- 10 + 16,12}{2} = \frac{6,12}{2} = 𝟑,𝟎𝟔$ $𝐱_{𝟐} = \frac{- 10 - 16,12}{2} = \frac{- 26,12}{2} = - 𝟏𝟑,𝟎𝟔$
  Für Nullstellen gilt $x \in ℝ$ und $x > - 3,26$ : $\Rightarrow 𝕃 = {𝟑,𝟎𝟔}$
  Die gesuchte $x$ -Koordinate von $A_{3}$ ist $x = 3,06$ .
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  Berechne $x$ über die Dreiecksfläche.
  Berechne dazu die Nullstellen der quadratischen Funktion aus (d) mithilfe der a-b-c-Formel.
6. Der Eckpunkt $B_{4}$ des Dreiecks $A_{4} B_{4} C_{4}$ liegt auf dem Graphen zu $f_{2}$ .
  Berechnen Sie die $x$ -Koordinate des Punktes $B_{4} .$ (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmus
  geg.: $\begin{array}{l} f_{1} : y = \log_{2} (x + 4) + 1 \end{array}$ $f_{2} : y = - \log_{2} (x + 6) + 2$
  Es gilt: $B_{n} [(𝐱 - 𝟒) | \log_{2} (x + 4) + 1] x \in ℝ; x > - 3,26$
  ges.: $x$ -Koordinate von $A_{4}$ enthalten in $A_{n} C_{n} (x)$
  $\Rightarrow$ $x$ -Koordinate von $B_{4}$ : $𝐱_{𝐁_{𝟒}} = 𝐱_{𝐀_{𝟒}} - 𝟒$
  Gleichsetzen der Funktionswerte
  $\log_{2} (x + 4) + 1 = - \log_{2} (x + 2) + 2$
  Hierbei wurde im Term von $f_{2}$ $x$ durch $x - 4$ ersetzt (siehe geg.).
  $\log_{2} (x + 4) + 1 + \log_{2} (x + 2) + 2 = 0$
  $\log_{2} (x + 4) + \log_{2} (x + 2) - 1 = 0$ | 1. Logarithmusgesetz anwenden
  $\log_{𝐚} (𝐱) + \log_{𝐚} (𝐲) = \log_{𝐚} (𝐱 \cdot 𝐲)$
  $\log_{2} [(x + 4) \cdot (x + 2)] - 1 = 0$
  $\log_{2} [x^{2} + 6 x + 8] = 1$ | Logarithmus in Potenz umwandeln
  $𝐱 = \log_{𝐚} (𝐲) \Leftrightarrow 𝐲 = 𝐚^{𝐱}$
  $x^{2} + 6 x + 8 = 2^{1}$ | quadratische Gleichung lösen
  $x^{2} + 6 x + 8 = 2$ | $- 2$
  $x^{2} + 6 x + 6 = 0$ |a-b-c-Formel anwenden
  $𝐃 = 𝐛^{𝟐} - 𝟒 𝐚 𝐜 = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 𝟏𝟐$
  $\Rightarrow D > 0 \Leftrightarrow$ 2 Lösungen
  $x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{- 6 \pm 3,46}{2}$
  $x_{1} = \frac{- 6 + 3,46}{2} = \frac{2,54}{2} = - 1,27$ $x_{2} = \frac{- 6 - 3,46}{2} = \frac{- 9,46}{2} = - 4,73$
  Nullstellen sind: { $- 4,73; - 𝟏,𝟐𝟕$ }
  Es gilt $x \in ℝ$ und $x > - 3,26$
  Also ist die Lösung $x = - 1,27$ $𝕃 = {- 1,27}$
  $\Rightarrow 𝐱_{𝐁_{𝟒}} = 𝐱_{𝐀_{𝟒}} - 𝟒 = - 𝟏,𝟐𝟕 - 𝟒 = - 𝟓,𝟐𝟕$
  Check:
  $x = - 5,27 \Rightarrow y = - \log_{2} (- 5,27) + 6) + 2$
  $y = - \log_{2} (0,73) + 2$
  $𝐲 = - (- 0,45) + 2 = 𝟐,𝟒𝟓$
  $△ 𝐀_{𝟒} 𝐁_{𝟒} 𝐂_{𝟒}$ einzeichnen in die Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$
  Graphen zu $f_{1}$ und $f_{2}$ mit $△ 𝐀_{𝟒} 𝐁_{𝟒} 𝐂_{𝟒}$
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  Setze $f_{1} = f_{2}$ gleich. Ersetze $x$ durch $x - 4$ in $f_{2}$ und bestimme die Nullstellen mithilfe a-b-c-Formel.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B2
Gegeben sind die Geraden $g$ : $y = 0,25 x - 3$ und $h$ : ⁣ $y = 0,6 x$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .
Punkte $B_{n} (x | 0,25 x - 3)$ auf der Geraden $g$ bilden für $x > 1,57$ zusammen mit dem Punkt
$A (0 | 0)$ und Punkten $C_{n}$ und $D_{n}$ Rauten $A B_{n} C_{n} D_{n}$ , wobei die Gerade $h = A C_{n}$ eine der Symmetrieachsen der Rauten ist.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie die Geraden $g$ und $h$ sowie die Rauten $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 2,5$ und $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$ in ein Koordinatensystem. (3 BE)
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 1 \leq x \leq 10$ ; $- 4 \leq y \leq 8$
  
  geg.: Geraden: $g : y = 0,25 x - 3; h : y = 0,6 x; 𝔾 = ℝ 𝕩 ℝ$
  Rauten: $A B_{n} C_{n} D_{n} m i t A (0 | 0), 𝐁_{𝐧} (𝐱 | 𝟎,𝟐𝟓 𝐱 - 𝟑), C_{n}, D_{n}$
  wobei $h = A C_{n}$ Symmetrieachse der Rauten ist
  Zeichenbereich: $- 1 \leq x \leq 10$ und $- 4 \leq y \leq 8$ ; $L E = 1 c m$
  ges.: Geraden $g$ und $h$ ; Raute $A B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = 2,5$ und Raute $A B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 7$
  Anleitung zum Einzeichnen
  1. $A (0 | 0$ ) einzeichnen
  2. für $g$ und $h$ jeweils $2$ Punkte berechnen und Geraden ins Koordinatensystem einzeichnen
  3. $B_{1}$ und $B_{2}$ für $x = 2,5$ und $x = 7$ auf $g$ eintragen; dann $C_{1}$ und $D_{1}$ sowie $C_{2}$ und $D_{2}$ zu Rauten ergänzen
  Geraden und Rauten im Koordinatensystem
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  Zeichne die Geraden $g$ und $h$ sowie Rauten ins Koordinatensystem ein.
2. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte $D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $B_{n}$ . (3 BE)
  $[$ Ergebnis: $D_{n} (0,69 x - 2,64 | 0,76 x + 1,41)]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelung mit Matrizen
  geg.: Punkte $B_{n} (x | 0,25 x - 3)$ , Gerade $h : y = 0,6 x$
  ges.: Abbildung der Punkte $B_{n}$ via h nach $D_{n}$
  Berechnung Winkel $φ$ zwischen x-Achse und Spiegelachse
  $h : y = 0,6 x$ $\Rightarrow \tan φ = 0,6 \Rightarrow 𝛗 = 𝟑𝟎,𝟗𝟔 °$
  Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel $α$ zur positiven $x -$ Achse
  $S g = (\begin{array}{cc} \cos 2 α & \sin 2 α \\ \sin 2 α & - \cos 2 α \end{array})$
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 α) & \sin (2 α) \\ \sin (2 α) & - \cos (2 α) \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x_{B} \\ y_{B} \end{array})$
  Werte für $x_{B}$ und $y_{B}$ einsetzen:
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 φ) & \sin (2 φ) \\ \sin (2 φ) & - \cos (2 φ) \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x \\ 0,25 x - 3 \end{array})$
  Wert für $φ$ einsetzen und Sinus/Kosinus-Werte berechnen:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (2 \cdot 30,96 °) & \sin (2 \cdot 30,96 °) \\ \sin (2 \cdot 30,96 °) & - \cos (2 \cdot 30,96 °) \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x \\ 0,25 x - 3 \end{array})$
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} \cos (61,92 °) & \sin (61,92 °) \\ \sin (61,92 °) & - \cos (61,92 °) \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x \\ 0,25 x - 3 \end{array})$
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0,47 & 0,88 \\ 0,88 & - 0,47 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x \\ 0,25 x - 3 \end{array})$
  Multiplikation der Abbildungsmatrix mit einem Vektor
  $Multiplikationsregel: (\begin{array}{c} x^{^{'}} \\ y^{^{'}} \end{array}) = (\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{c} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{array})$
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,47 \cdot x + 0,88 \cdot (0,25 x - 3) \\ 0,88 \cdot x + (- 0,47) \cdot (0,25 x - 3) \end{array})$
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,47 x + 0,22 x - 2,64 \\ 0,88 x - 0,1175 x + 1,41 \end{array})$
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,69 x - 2,64 \\ 0,76 x + 1,41 \end{array})$
  $\Rightarrow$ Koordinaten der Punkte $D_{n} (x) : 𝐃_{𝐧} (𝟎,𝟔𝟗 𝐱 - 𝟐,𝟔𝟒 | 𝟎,𝟕𝟔 𝐱 + 𝟏,𝟒𝟏)$
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  Berechne den Winkel $φ$ zwischen $x -$ Achse und Spiegelachse.
  Berechne die Abbildung der Punkte $B_{n}$ via Spiegelachse $h$ nach $D_{n}$ .
3. Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Raute $A B_{2} C_{2} D_{2}$ ein Quadrat ist. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Eigenschaften Raute und Quadrat
  geg.: gleichseitiges Parallelogramm, achsensymmetrisch und punktsymmetrisch
  ges.: Ist $A B_{2} C_{2} D_{2}$ ein Quadrat ?
  Berechnung
  Die Raute wäre dann ein Quadrat, wenn zwei Seiten senkrecht zueinander stehen.
  Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt $\vec{𝐀 𝐁_{𝟐}} ⊙ \vec{𝐀 𝐃_{𝟐}} = 𝟎$ ist.
  Mit $A (0 | 0)$ und $B_{2} (x | 0,25 \cdot x - 3)$ für $x = 7$ $\Rightarrow$
  $\vec{𝐀 𝐁_{𝟐}} = (\begin{array}{c} x - 0 \\ (0,25 x - 3) \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 - 0 \\ 0,25 \cdot 7 - 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 𝟕 \\ - 𝟏,𝟐𝟓 \end{array})$
  Mit $A (0 | 0)$ und $D_{2} (0,69 x - 2,64 | 0,76 x + 1,41)$ aus Aufgabe B 2.b für $x = 7$ $\Rightarrow$
  $\vec{𝐀 𝐃_{𝟐}} = (\begin{array}{c} 0,69 \cdot x - 2,64 \\ 0,76 \cdot x + 1,41 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,69 \cdot 7 - 2,64 \\ 0,76 \cdot 7 + 1,41 \end{array}) = (\begin{array}{c} 𝟐,𝟏𝟗 \\ 𝟔,𝟕𝟑 \end{array})$
  Ist das Skalarprodukt $\vec{𝐀 𝐁_{𝟐}} ⊙ \vec{𝐀 𝐃_{𝟐}} = 𝟎$ ?
  $(\begin{array}{c} 7 \\ - 1,25 \end{array}) ⊙ (\begin{array}{c} 2,19 \\ 6,73 \end{array}) = 7 \cdot 2,19 + (- 1,25) \cdot 6,73 = 15,33 - 8,4125 = 𝟔,𝟗𝟏𝟕𝟓 \neq 𝟎$
  $\Rightarrow$ Die Raute $𝐀 𝐁_{𝟐} 𝐂_{𝟐} 𝐃_{𝟐}$ ist kein Quadrat!
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  Überprüfe, ob die Seiten im rechten Winkel zueinander stehen.
  Berechne dazu die Skalarprodukte.
4. Bestimmen Sie die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Punkte $D_{n}$ .
  Zeichnen Sie sodann den Trägergraphen $t$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein. (3 BE)
  
  geg.: $D_{n} (0,69 x - 2,64 | 0,76 x + 1,41)$
  ges.: Gleichung für Trägergraph $t$
  Aus $D_{n} (0,69 x - 2,64 | 0,76 x + 1,41)$ Gleichungssystem aufstellen:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} 0,69 x - 2,64 \\ 0,76 x + 1,41 \end{array})$
  I. $𝐱_{𝐃_{𝐧}} = 𝟎,𝟔𝟗 𝐱 - 𝟐,𝟔𝟒$
  II. $𝐲_{𝐃_{𝐧}} = 𝟎,𝟕𝟔 𝐱 + 𝟏,𝟒𝟏$ $𝔾 = ℝ \times ℝ; x \in ℝ; x > 1,57$
  $x_{D_{n}} + 2,64 = 0,69 x$ nach $x$ auflösen:
  $\Rightarrow x = \frac{(x_{D_{n}} + 2,64)}{0,69} \Rightarrow x = \frac{x_{D_{n}}}{0,69} + \frac{2,64}{0,69}; \Rightarrow 𝐱 = 𝟏,𝟒𝟓 𝐱_{𝐃_{𝐧}} + 𝟑,𝟖𝟐$
  $x$ in $y_{D_{n}}$ einsetzen:
  $y_{D_{n}} = 0,76 \cdot (1,45 x_{D_{n}} + 3,82) + 1,41$
  $y_{D_{n}} = 1,10 x_{D_{n}} + 2,90 + 1,41$
  $𝐲_{𝐃_{𝐧}} = 𝟏,𝟏𝟎 𝐱_{𝐃_{𝐧}} + 𝟒,𝟑𝟏 𝔾 = ℝ \times ℝ$
  $\Rightarrow$ Trägergraph $𝐭 : 𝐲 = 𝟏,𝟏𝟎 𝐱 + 𝟒,𝟑𝟏$
  Einzeichnen des Trägergraphen $t$ durch die Punkte $D_{n}$ :
  Punkte auf $t$ : Graph siehe Aufgabe 2.a
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  Für die Punkte $D_{n}$ gilt $D_{n} (x^{'} | Trägergraphgleichung)$ :
  1. Gleichungssystem für $I . x_{D} = \dots$ und $I I . y_{D} = \dots$ aufstellen
  2. $I .$ nach $x^{'}$ auflösen und
  3. in $I I .$ einsetzen.
  4. Trägergraph einzeichnen
5. Der Punkt $D_{3}$ der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt auf der y-Achse.
  Zeichnen Sie die Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.
  Berechnen Sie sodann die Koordinaten des Punktes $C_{3}$ sowie den Flächeninhalt der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ . (5 BE)
  $[$ Teilergebnis: $x_{C_{3}} = 3,83]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächen der Raute
  geg.: Träger $h$ des Punktes $C_{3}$
  ges.: Raute im Koordinatensystem, Punkt $C_{3}$ , Fläche $A B_{3} C_{3} D_{3}$
  Einzeichnen der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ siehe Bild
  Berechnung der Koordinaten von $C_{3}$ :
  Koordinaten von $D_{n}$ in Abhängigkeit der Abszisse $x : D_{n} (0,69 x - 2,64 | 0,76 x + 1,41)$ , siehe Aufgabe B 2.b
  $\Rightarrow 0,69 x - 2,64 = 0 x \in ℝ; x > 1,57$
  $\Rightarrow 0,69 x = 2,64 x = \frac{2,64}{0,69} = 3,826 \approx 3,83 \Rightarrow L = {3,83}$
  $x$ in Gleichung für $h$ einsetzen:
  Flächeninhalt der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ ist ein gleichseitiges Parallelogramm,
  $\Rightarrow A_{A B_{3} C_{3} D_{3}} : A = a \cdot h_{a}$
  Berechnung $𝐚$ :
  Der Trägergraph $𝐲 = 𝟏,𝟏𝟎 𝐱 + 𝟒,𝟑𝟏$ (siehe Aufgabe (d)) ist für $x = 0$ :
  $y = 1,10 x + 4,31 = 1,10 \cdot 0 + 4,31 = 4,31$
  $\Rightarrow$ Strecke $[𝐀 𝐃_{𝟑}] = 𝐚 = 𝟒,𝟑𝟏$ LE
  Berechnung $𝐡_{𝐚}$ $≙$ Abstand $d$ zwischen Punkt $C_{3}$ und Strecke $A D_{3}$ ,
  daher ist $𝐝 (𝐂_{𝟑}; 𝐀 𝐃_{𝟑}) = 𝟑,𝟖𝟑$ LE
  Mit $𝐚 ≙ [𝐀 𝐃_{𝟑}]$ und $𝐡_{𝐚} ≙ 𝐝 (𝐂_{𝟑}; 𝐀 𝐃_{𝟑})$ $\Rightarrow$
  Fläche $𝐀_{𝐀 𝐁_{𝟑} 𝐂_{𝟑} 𝐃_{𝟑}} = A D_{3} \cdot d (C_{3}; A D_{3}) = 4,31 \cdot 3,83 = 𝟏𝟔,𝟓𝟓 𝐅 𝐄$
  Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$
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  Zeichne die Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ .
  Berechne die Koordinate $C_{3}$
  Berechne die Fläche der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil B

Aufgabe B1

Berechnung Parameter b: Einsetzen von P(0|3) in f1 und Auflösen nach b

Einzeichnen des Graphen f1 für x∈[−3,5;6]

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Spiegelung f1 an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1

Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit v→=(−23)

Einzeichnen des Graphen zu f2 für x∈[−5,5;6]

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Eckpunkte von △𝐀𝟏𝐁𝟏𝐂𝟏für𝐱=−𝟏 berechnen:

Eckpunkte von △𝐀𝟐𝐁𝟐𝐂𝟐𝐟𝐮¨𝐫𝐱=𝟓 berechnen:

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Nachweis für AnCn(x)

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Berechnung x über die Dreiecksfläche:

Berechnung der Diskriminante D:

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Gleichsetzen der Funktionswerte

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Aufgabe B2

Anleitung zum Einzeichnen

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Berechnung Winkel φ zwischen x-Achse und Spiegelachse

Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel α zur positiven x−Achse

Multiplikation der Abbildungsmatrix mit einem Vektor

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Berechnung

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Aus Dn(0,69x−2,64|0,76x+1,41) Gleichungssystem aufstellen:

xDn+2,64=0,69x nach x auflösen:

x in yDn einsetzen:

Einzeichnen des Trägergraphen t durch die Punkte Dn:

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Einzeichnen der Raute AB3C3D3 siehe Bild

Berechnung der Koordinaten von C3:

Flächeninhalt der Raute AB3C3D3 ist ein gleichseitiges Parallelogramm,

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Berechnung Parameter $b$ : Einsetzen von $P (0 | 3)$ in $f_{1}$ und Auflösen nach $b$

Einzeichnen des Graphen $f_{1}$ für $x \in [- 3,5; 6]$

Spiegelung $f_{1}$ an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1

Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array})$

Einzeichnen des Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 5,5; 6]$

Eckpunkte von $△ 𝐀_{𝟏} 𝐁_{𝟏} 𝐂_{𝟏} für 𝐱 = - 𝟏$ berechnen:

Eckpunkte von $△ 𝐀_{𝟐} 𝐁_{𝟐} 𝐂_{𝟐} 𝐟 \ddot{𝐮} 𝐫 𝐱 = 𝟓$ berechnen:

Nachweis für $A_{n} C_{n} (x)$

Berechnung Winkel $φ$ zwischen x-Achse und Spiegelachse

Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel $α$ zur positiven $x -$ Achse

Aus $D_{n} (0,69 x - 2,64 | 0,76 x + 1,41)$ Gleichungssystem aufstellen:

$x_{D_{n}} + 2,64 = 0,69 x$ nach $x$ auflösen:

$x$ in $y_{D_{n}}$ einsetzen:

Einzeichnen des Trägergraphen $t$ durch die Punkte $D_{n}$ :

Einzeichnen der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ siehe Bild

Berechnung der Koordinaten von $C_{3}$ :

Flächeninhalt der Raute $A B_{3} C_{3} D_{3}$ ist ein gleichseitiges Parallelogramm,